Resumen Formulas, Ejercicios de Estadística Descriptiva. Universidad de Granada (UGR)
Laura.Reyes
Laura.Reyes

Resumen Formulas, Ejercicios de Estadística Descriptiva. Universidad de Granada (UGR)

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Asignatura: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, Profesor: Juan Antonio Maldonado, Carrera: Estadística, Universidad: UGR
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Microsoft Word - FORMULARIO

1

FORMULARIO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

TEMA 1 ..................................................................................................................................................................... 3

MEDIDAS DE POSICIÓN .................................................................................................................................. 3

MEDIA ................................................................................................................................................................ 3

MEDIA ARITMÉTICA ................................................................................................................................. 3

MEDIA ARMÓNICA .................................................................................................................................. 3

MEDIA GEOMÉTRICA .............................................................................................................................. 3

MEDIA CUADRÁTICA.............................................................................................................................. 3

MEDIA PONDERADA ............................................................................................................................... 3

MEDIANA .......................................................................................................................................................... 4

MODA ................................................................................................................................................................ 4

CUANTILES ...................................................................................................................................................... 4

MEDIDAS DE DISPERSIÓN .............................................................................................................................. 5

MEDIDAS ABSOLUTAS ................................................................................................................................. 5

RECORRIDO O RANGO ........................................................................................................................ 5

RECORRIDO INTERCUARTÍLICO ....................................................................................................... 5

DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA ........................................ 5

DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO DE LA MEDIANA ............................................................. 5

VARIANZA ................................................................................................................................................... 5

DESVIACIÓN TÍPICA ................................................................................................................................ 5

MEDIDAS RELATIVAS ................................................................................................................................... 5

COEFICIENTE DE APERTURA ............................................................................................................... 5

RECORRIDO RELATIVO ......................................................................................................................... 5

RECORRIDO SEMI-INTERCUARTÍLICO ............................................................................................ 5

COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON ................................................................................ 5

ÍNDICE DE DISPERSIÓN RESPECTO DE LA MEDIANA ................................................................ 5

MOMENTOS .................................................................................................................................................... 6

RELACIÓN ENTRE MOMENTOS.......................................................................................................... 6

MEDIDAS DE FORMA ........................................................................................................................................ 7

MEDIDAS DE ASIMETRÍA (coeficientes que miden la asimetría) ........................................................ 7

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER ......................................................................................... 7

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON ................................................................................... 7

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE BOWLEY .................................................................................... 7

COEFICIENTE ABSOLUTO DE ASIMETRÍA ..................................................................................... 7

MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS .................................................................................... 8

COEFICIENTE DE CURTOSIS DE FISHER .......................................................................................... 8

COEFICIENTE DE CURTOSIS DE KELLEY ......................................................................................... 8

2

TEMA 2 ..................................................................................................................................................................... 9 DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS ....................................................................................................... 9

ERROR CUADRÁTICO MEDIO ................................................................................................................. 9 RECTAS DE REGRESIÓN .................................................................................................................................. 9

REGRESIÓN HIPERBÓLICA ......................................................................................................................... 9 REGRESIÓN EXPONENCIAL ...................................................................................................................... 9 REGRESIÓN POTENCIAL ......................................................................................................................... 10 REGRESIÓN PARABÓLICA ...................................................................................................................... 10

RAZÓN DE CORRELACIÓN ....................................................................................................................... 10 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL ....................................................................................... 10

RELACIÓN ENTRE CARACTERES CUALITATIVOS ............................................................................. 10 ASOCIACIÓN ENTRE CARACTERES NOMINALES ........................................................................ 10

COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN .................................................................................................... 10 COEFICIENTE DE CONTINGENCIA ........................................................................................... 10

CUADRADO MEDIO DE CONTINGENCIA ............................................................................. 10

COEFICIENTE DE CONTINGENCIA DE PEARSON ............................................................... 10

COEFICIENTE DE CONTIGENCIA DE TSCHUPROW .......................................................... 11

ASOCIACIÓN ENTRE CARACTERES ORDINALES ......................................................................... 11 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS .................................................................... 11

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS DE SPEARMAN................................. 11

COEFICIENTES DE KENDALL ........................................................................................................ 12

TEMA 3 .................................................................................................................................................................. 13 ÍNDICES SIMPLES ............................................................................................................................................. 13 ÍNDICES COMPUESTOS ................................................................................................................................ 13

ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS ............................................................................................ 13 INDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA ARITMÉTICA .......... 13 ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA GEOMÉTRICA ........ 13 ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA ARMÓNICA ............ 13 ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA AGREGATIVA ........ 13

ÍNDICES COMPUESTOS SIN PONDERAR .......................................................................................... 14 ÍNDICE DE SAUERBECK O DE LA MEDIA ARITMÉTICA .......................................................... 14 ÍNDICE DE BRADSTREET Y DUROT O DE LA MEDIA AGREGATIVA ................................. 14

ÍNDICES DE LASPEYRES, PAASCHE Y FISCHER .................................................................................... 14 ÍNDICE DE LASPEYRES .............................................................................................................................. 14 ÍNDICE DE PAASCHE ................................................................................................................................ 14 ÍNDICE DE FISHER O IDEAL.................................................................................................................... 14

ÍNDICES DE PRECIOS, DE CANTIDADES Y DE VALOR .................................................................... 15 ÍNDICES DE LASPEYRES ............................................................................................................................ 15

ÍNDICE DE PRECIOS.............................................................................................................................. 15 ÍNDICE DE CANTIDADES ................................................................................................................... 15

ÍNDICES DE PAASCHE .............................................................................................................................. 15 ÍNDICE DE PRECIOS.............................................................................................................................. 15 ÍNDICE DE CANTIDADES ................................................................................................................... 15

ÍNDICES DE FICHER O IDEALES ............................................................................................................ 15 ÍNDICE DE PRECIOS.............................................................................................................................. 15 ÍNDICE DE CANTIDADES ................................................................................................................... 15

DEFLACIÓN DE SERIES DE ÍNDICES ........................................................................................................ 16

3

TEMA 1

MEDIDAS DE POSICIÓN

MEDIA

MEDIA ARITMÉTICA Es la suma de todos los valores de la variable dividida por el número total de observaciones.

�̅� = 1

�� �� ��

Las propiedades son las siguientes:  Está acotada por los extremos de la variables; es decir, entre el extremo superior y el

inferior.  Si se somete una variable X a una transformación lineal afín, la media aritmética de la nueva

variable es la imagen de la media de X por la misma transformación.  La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones típicas respecto a la media

aritmética es mínima

MEDIA ARMÓNICA Se usa para promediar datos de magnitudes que son cocientes de dos magnitudes; esto es, magnitudes relativas (su unidad de medida es referida a una unidad de otra variable). Por ejemplo, para promediar velocidades, rendimientos o productividades. Se define como la inversa de la media aritmética de los valores inversos de la variable:

�� = ��

∑ �� ��

MEDIA GEOMÉTRICA Se usa cuando se desea promedia daros de una variable que tiene efectos multiplicativos acumulativos en la evolución de una determinada característica con un valor inicial fijo.

�� = ��

MEDIA CUADRÁTICA Es la menos utilizada y, fundamentalmente, su uso se reduce al cálculo de promedios sobre superficies.

�� = �� ��

MEDIA PONDERADA

�� = �� ��

4

MEDIANA La mediana de uan distribución es un valor que divide a los individuos de la población en dos efectos iguales, supuestos por valore creciente del carácter; esto es, si el conjunto de observaciones se ordena de menor a mayor, la mediana Me es un número que divide esta ordenación en dos partes con e mismo número de datos en cada una.

Variables discretas

1._

2._ �� ≥

a) �� > ���� = ��

b) �� = ���� =

Variables contínuas

1._

2._ �� ≥

a) �� = ���� = �� (�������������� ����������������)

b) �� > > ��  ��  (�� , �� ]

���� = �� + �� ∗

MODA La moda de una distribución es el valor de mayor frecuencia (absoluta o relativa), el que más se repite

Variables discretas La moda es el valor �� tal que su �� es el mayor de todos.

Variables contínuas

���� = �� + �� ∗ ( )

( ) ( )

CUANTILES 1) ���� 2) ��  (�� , �� ] �� ≥ �� 3) �� = �� → �� = ��

�� > ��

�� = �� + �� ∗

5

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

MEDIDAS ABSOLUTAS

RECORRIDO O RANGO ���� = �� − ��

RECORRIDO INTERCUARTÍLICO �� = �� − ��

DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA

�� ̅ = �� |�� − �̅�| = ∑|�� − �̅�|��

��

DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO DE LA MEDIANA

�� = �� |�� − ����| = ∑|�� − ����|��

��

VARIANZA

������(��) = ���� = �� (�� − �̅�) = ∑ �� (�� − �̅�)

�� =

∑ ���� ������

�� − ����

DESVIACIÓN TÍPICA

 = + 

MEDIDAS RELATIVAS

COEFICIENTE DE APERTURA

�� = ��

��

RECORRIDO RELATIVO

�� = ��

�̅� =

�� − ��

�̅�

RECORRIDO SEMI-INTERCUARTÍLICO

�� = �� − ��

�� + ��

COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON

������ =  |�̅�|

ÍNDICE DE DISPERSIÓN RESPECTO DE LA MEDIANA

�� = ��

����

6

MOMENTOS Sea r un número entero y positivo. Se llama momento de orden r respecto al valor “a” a la cantidad

��. = �� (�� − ��) = 1

�� �� (�� − ��)

Según los valores de “a” se definen dos clases de momentos:

 Momentos no centrales, o momentos respecto del origen: en este caso, el valor a = 0, y se denotan por

�� = �� (�� − ��)

 Momentos centrales o momentos respecto de la media aritmética: en este caso, el valor a = �̅�, y se denotan por

�� = �� (�� − �̅�)

RELACIÓN ENTRE MOMENTOS Momentos centrales en función de los no centrales:

�� = �� (�� − �� ) = �� (−1) ��

�� �� �� = (−1)

��

�� �� �� ��

= (−1) ��

�� �� ��

Momentos no centrales en función de los centrales y de �� :

�� = �� �� = �� [(�� − �� ) + �� ] = �� ��

�� �� (�� − �� )

= ��

�� �� �� (�� − �� ) =

��

�� �� ��

�� = �� − �� �� = �� − ��

�� = �� − 3�� �� + 2�� �� = �� + 3�� �� + ��

�� = �� + 4�� �� + 6�� �� − 3�� �� = �� + 4�� �� + 6�� �� + ��

7

MEDIDAS DE FORMA

MEDIDAS DE ASIMETRÍA (coeficientes que miden la asimetría) Dada una variable estadística X, se entiende por asimetría de X a la falta de simetría respecto del eje vertical x = x . Diremos, pues, que una distribución es simétrica si la perpendicular que pasa por la media aritmética divide al diagrama diferencial (histograma, en el caso continuo; o diagrama de barras, en el caso discreto) en dos partes iguales. Esto equivale a decir que a ambos lados de ese eje, y equidistantes de él, hay pares de valores/intervalos con la misma frecuencia. De lo contrario, diremos que es asimétrica.

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER

�� = ��

 =

�� − 3�� �� + 2��

�� = ∑ �� (�� − �̅�)

��

�� (��) = ��

�� = ��

�� − �̅�

��

 Si �� (��) < 0 la distribución es asimétrica por la derecha o positiva.  Si �� (��) > 0 la distribución es asimétrica por la izquierda o negativa.  Si la distribución es simétrica, entonces �� (��) = 0.

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON

���� = �̅���

 =

�̅� − ����

���� = 3(�̅� − ����)

Tiene la misma interpretación que �� (��).

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE BOWLEY

�� = (�� − ����) − (���� − �� )

(�� − ����) + (���� − �� ) =

�� + �� − 2����

�� − ��

COEFICIENTE ABSOLUTO DE ASIMETRÍA

�� = �� + �� − 2����

�̅�

8

MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS Miden la menor o mayor concentración central de frecuencias de una distribución respecto a la presenta una distribución Normal de su misma media y su misma desviación típica.

COEFICIENTE DE CURTOSIS DE FISHER

�� (��) = ��

�� − 3 = ��

�� − �̅�

�� − 3

de tal forma que diremos que una distribución es: platicúrtica si �� (��) < 0; mesocúrtica si �� (��) = 0 y leptocúrtica si �� (��) > 0.

COEFICIENTE DE CURTOSIS DE KELLEY

�� = 1

2

�� − ��

�� − �� − 0′263

(0.263 es el valor para una distribución Normal); la interpretación es la misma que la del coedificiente de curtosis de Fisher.

9

TEMA 2

DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS

�� = 1

��. �� �� = �� �� = ��

�� = 1

�� . �� �� = �� �� = ��

������ �� = �� (�� − �̅�)

 = �� − �� ��

�� = 1

�� �� �� ��

ERROR CUADRÁTICO MEDIO

���������� ����������á�������� ���������� = �� �� − ��(�� )

RECTAS DE REGRESIÓN �� = ���� + ��

�� =  

�� = �� −  

�̅�

REGRESIÓN HIPERBÓLICA

�� = ��

�� + ��

��′ =  

�� = �̅� − ����′

REGRESIÓN EXPONENCIAL

�� = ����

��′ =  

�� = �� − ��′�̅�

10

REGRESIÓN POTENCIAL

�� = ����

��′ =  

�� = ��′ − ����′

REGRESIÓN PARABÓLICA

�� = �� + �� �̅� + �� �̅�

ф(�� , �� , �� ) = �� − �� − �� �� − �� ��

RAZÓN DE CORRELACIÓN Coincide con el producto de los coeficientes de correlación, o pendientes de las dos rectas.

ɳ = 1 −  

=  

= ���� = ��

�� ��

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL

�� = ��

�� ��

RELACIÓN ENTRE CARACTERES CUALITATIVOS

ASOCIACIÓN ENTRE CARACTERES NOMINALES

COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN COEFICIENTE DE CONTINGENCIA

 = (�� − �� )

��

Está comprendida entre 0 ≤  ≤ n · min {p − 1, q − 1}.

CUADRADO MEDIO DE CONTINGENCIA

�� =  ��

= 1

��

��

�� − 1

Tanto este como el coeficiente de contingencia no pueden ser nunca negativos. Si los atributos fuesen independientes, ambos serían nulos.

COEFICIENTE DE CONTINGENCIA DE PEARSON

�� = 

�� +  =

��

1 + ��

El limite superior es y, en cualquier caso, varía entre 0 y 1.

11

COEFICIENTE DE CONTIGENCIA DE TSCHUPROW

�� = ��

(�� − 1)(�� − 1)

Está comprendido entre 0 y 1.

ASOCIACIÓN ENTRE CARACTERES ORDINALES

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS DE SPEARMAN

Si designamos por A y B los criterios de ordenación y por �� e �� sus rangos correspondientes, el coeficiente de correlación por rangos de Spearman se obtendrá facilmente a partir del coeficente de correlación lineal.

�� =

1 ��

∑ (�� − �̅�)(�� − ��)

1 ��

∑ (�� − �̅�) 1 ��

∑ (�� − ��)

=

1 ��

∑ �� �� − �̅���

�� ��

Teniendo en cuenta que tanto �� como �� son rangos, se tiene:

�� = �� = 1 + 2+. . . +�� = 1 + ��

2 ��

�� = �� = 1 + 2 +. . . +�� = ��(�� + 1)(2�� + 1)

6

y, por tanto

�̅� = �� =

1 + �� 2

��

�� =

1 + ��

2

(�� − �̅�) = (�� − ��) = �� − (∑ �� )

�� =

��(�� + 1)(2�� + 1)

6 −

1 + �� 2

��

�� =

�� − ��

12

12

Por otra parte, si denotamos por �� = �� − �� , y teniendo en cuenta que es este caso �̅� = �� , se tiene

�� = (�� − �� )

= [(�� − �̅�) − (�� − ��)]

= (�� − �̅�) + (�� − ��) − 2 (�� − �̅�) − (�� − ��)

de donde

(�� − �̅�) − (�� − ��) =

�� − �� 12

+ �� − ��

12 − ∑ ��

2 =

�� − ��

12 −

∑ ��

2

con lo que el coeficiente de correlación por rangos de Spearman será

�� = 1 − 6 ∑ ��

�� − ��

Al coeficiente de correlación por rangos de Spearman también se le demomina coeficente de correlación ordinal y varía entre -1 y 1.

COEFICIENTES DE KENDALL

�� < ��  ��∗, ��∗ = ��(��) = 1, ���� ���� ℎ���� ������������������

−1, ���� ℎ���� ������������������  

�� = 

Para j = 2, 3, …, n

�� = ��

��(�� − 1) 2

13

TEMA 3

ÍNDICES SIMPLES

�� / = ��

��

���������������������� → �� / = 100 ��

��

ÍNDICES COMPUESTOS

ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS

INDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA ARITMÉTICA

�� / = ∑ �� / ��

∑ ��

�� / es la media aritmética ponderada de los índices simples �� / con coeficientes de ponderación �� .

ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA GEOMÉTRICA

�� / = �� /

�� / es la media geométrica ponderada de los índices simples �� / con coeficientes de ponderación �� .

ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA ARMÓNICA

�� / = ∑ ��

∑ ��

�� /

�� / es la media armónica ponderada de los índices simples �� / con coeficientes de ponderación �� .

ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA AGREGATIVA

�� / ∗ =

∑ �� ��

∑ �� ��

14

ÍNDICES COMPUESTOS SIN PONDERAR

ÍNDICE DE SAUERBECK O DE LA MEDIA ARITMÉTICA

�� / = ∑

�� ��

�� =

∑ �� /

��

ÍNDICE DE BRADSTREET Y DUROT O DE LA MEDIA AGREGATIVA

�� / = ∑ ��

∑ ��

ÍNDICES DE LASPEYRES, PAASCHE Y FISCHER

ÍNDICE DE LASPEYRES El índice de Laspeyres es la media aritmética ponderada de los índices simples �� / con

coeficientes de ponderación �� que miden la importancia reletiva de la variable xi en el periodo base t = 0.

�� / = ∑ �� / ��

∑ ��

ÍNDICE DE PAASCHE El índice de Paasche es la media armónica ponderada de los índices simples �� / con coeficientes

de ponderación �� que miden la importancia reletiva de la variable xi en el periodo base t.

�� / = ∑ ��

∑ ��

�� /

ÍNDICE DE FISHER O IDEAL El índice de Fisher o “ideal” es la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche.

�� / = �� / �� /

15

ÍNDICES DE PRECIOS, DE CANTIDADES Y DE VALOR

�� = �� = �� ��

�� / (��) = �� / (��)�� / (��)

ÍNDICES DE LASPEYRES

ÍNDICE DE PRECIOS Es la media aritmética ponderada de los índices simples de precios de los artículos con poderaciones dadas por los valores de la producción de cada artículo en el periodo base, esto es:

�� / (��) = ∑ �� ��

∑ �� ��

ÍNDICE DE CANTIDADES Es la media aritmética ponderada de los índices simples de cantidades de los artículos con poderaciones dadas por los valores de la producción de cada artículo en el periodo base, esto es:

�� / (��) = ∑ �� ��

∑ �� ��

ÍNDICES DE PAASCHE

ÍNDICE DE PRECIOS Es la media armónica ponderada de los índices simples de precios con poderaciones dadas por los valores de la producción de cada artículo en el periodo base, esto es:

�� / (��) = ∑ �� ��

∑ �� ��

ÍNDICE DE CANTIDADES Es la media armónica ponderada de los índices simples de cantidades con poderaciones dadas por los valores de la producción de cada artículo en el periodo base, esto es:

�� / (��) = ∑ �� ��

∑ �� ��

ÍNDICES DE FICHER O IDEALES

ÍNDICE DE PRECIOS El índice de precios de Fischer esla media geométrica de los índices de precios de Laspeyres y Paasche, esto es:

�� / (��) = �� / (��)�� / (��)

ÍNDICE DE CANTIDADES El índice de cantidades de Fisher es la media geométrica de los índices de cantidades de Laspeyres y Paasche, esto es:

�� / (��) = �� / (��)�� / (��)

16

DEFLACIÓN DE SERIES DE ÍNDICES La deflacción es el procedimiento que permite homogeneizar el valor de una cesta de bienes a lo largo del tiempo eliminando el efecto de la inflación, lo que se consigue dividiendo los valores de la desta de bienes por un índice de precios adecuado, conocido como deflactor. Entoces, diremos que hemos traducido una serie de valores monetarios corrientes a valores moneteraios constantes, o valores monetarios constantes, o valores monetarios de un año base, precisamente el año base del índice de precios utilizado como deflactor.

Si denotamos por �� el valor monetario corriente de una cesta de bienes en el año t, esto es,

�� = �� ��

y utilizamos como deflactor un índice de precios de Paasche con base en el año 0, el valor deflaccionado de la cesta de bienes está dado por

��

�� / (��) =

∑ �� ��

∑ �� �� ∑ �� ��

= �� �� = ��

es decir, el valor de la cesta de bienes a precios del año base.

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