Resumen integral definida, Resúmenes de Matemática Empresarial. Universidad Politécnica de Madrid (UPM)
1965rocio
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Resumen integral definida, Resúmenes de Matemática Empresarial. Universidad Politécnica de Madrid (UPM)

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Asignatura: matematicas empresariales, Profesor: Cualquiera de los de, Carrera: Ingeniería Industrial, Universidad: UPM
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BLOQUE II: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 7

INTEGRAL DEFINIDA.

CÁLCULO DE ÁREAS

RESUMEN TEÓRICO

Tema 7.Integral definida. Cálculo de áreas

Matemáticas Empresariales . Grado en Administración y Dirección de Empresas.

2

1. Integral Definida ............................................................................................................ 3

2. Métodos de Integración ................................................................................................ 5

3. Aplicaciones .................................................................................................................. 6

3.1. Cálculo de áreas de recintos limitados por funciones ...................................................... 6

3.2. Funciones continuas de distribución de probabilidad ..................................................... 7

4. Funciones Eulerianas ................................................................................................... 8

4.1. Función Gamma:  ),0(: ................................................................................ 8

4.2. Función Beta:  ),0(),0(: ..................................................................... 9

Tema 7.Integral definida. Cálculo de áreas

Matemáticas Empresariales . Grado en Administración y Dirección de Empresas.

3

1. Integral Definida

Sea una función ��(��): [��, ��] → �� acotada y no negativa. Nos proponemos determinar el valor

del área limitada por ��(��) y el eje de abscisas entre dos puntos a y b,

Definición 1:

Dado un conjunto �� ⊂ ℝ se definen el supremo y el ínfimo de ��, como

sup(��) = min {�� ∈ ℝ ∶ �� ≥ �� ∀ �� ∈ ��}

inf(��) = max {�� ∈ ℝ ∶ �� ≤ �� ∀ �� ∈ ��}

Ejemplo ������ �� = (��, ��) sup(��) = �� inf(��) = ��

Definición 2:

Una partición (Pn) del intervalo [��, ��] es un conjunto de puntos ��0, ��1, ��2, … . ���� ∈ [��, ��], tales

que:

�� = {�� = ��0 < ��1 < ��2 < … . < ���� = ��}

Definición 3

Una Partición (Pn+k) se dice que es más fina que (Pn) si contiene a todos los puntos

��0, ��1, ��2, … . ���� de (Pn) (y algunos (k) ptos más).

Definición 4

Se denomina diámetro de una partición al máximo (supremo) de las longitudes de los

subintervalos [����−1, ����].definidos por la partición

D(P��) = sup {���� − ����−1}

Definición 5 (sumas de Riemann):

Consideremos los supremos e ínfimos de �� en cada subintervalo [����−1, ����].definido por la

partición

  

  1

1,

( ) / , 1,2,...,

( ) /

i i i

i i i

M Sup f x x x x i n

m Inf f x x x x

  

    

Denominamos suma superior (de Riemann) a

)())(,( 1 1

 

 ii n

i i xxMxfPS

y suma inferior (de Riemann) a

)())(,( 1 1

 

 ii n

i i xxmxfPs

La sumas de Riemann Son aproximaciones por exceso o por defecto al valor del área

buscada

Observación 1:

))(,())(,( xfPSxfPs

Tema 7.Integral definida. Cálculo de áreas

Matemáticas Empresariales . Grado en Administración y Dirección de Empresas.

4

Observación 2

Dadas dos particiones P y Q, si P es más fina que Q :

)(,())(,()())(,())(,( xfQSxfPSSÁreaxfPsxfQs 

La aproximación al valor del área es mejor cuanto más fina es la partición.

Definición 6

Se dice que �� es integrable en [a, b] si para cualquier secuencia de particiones P�� ∶ D(P��) ⟶ 0

lim ��

��(P�� , ��) = lim ��

��(P�� , ��) = ��

A este límite le llamamos Integral de f(x) entre a y b.

�� = ∫ ��(��)���� ��

��

Si ��(��) es continua en [��, ��] o tiene un número finito de discontinuidades en [��, ��] y es acotada

entonces es integrable

Propiedades

( ( ) ( )) ( ) ( ) b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx    

( ) ( ) b b

a a k f x dx k f x dx 

( ) b

a k dx k b a 

( ) 0 a

a f x dx 

( ) ( ) b a

a b f x dx f x dx  

( ) ( ) ( ) b c b

a a c f x dx f x dx f x dx   

;a c b 

Teorema fundamental del cálculo

Sea ��(��): �� → ��, continua en [��, ��]

Se define ��(��) = ∫ ��(��) ���� ��

�� �� ∈ (��, ��]. Entonces:

��(��) es derivable y ��′(��) = f(x)

Regla De Barrow

∫ ��(��) ���� ��

�� = ��(��) − ��(��)

.

Tema 7.Integral definida. Cálculo de áreas

Matemáticas Empresariales . Grado en Administración y Dirección de Empresas.

5

EJEMPLO 1. CALCULAR  11

2

20 0

2 ( 1) (2) (1) (2)

1

x

x

x dx L x L L L

x

     

2. Métodos de Integración

Integración por partes

El intervalo de integración afecta también a primer término, es decir:

∫ �� ����

��

��

= [��(��)��(��) − ��(��)��(��)] − ∫ �� ����

��

��

EJEMPLO 2. Calcular

∫ ����2�� 1

0 ���� �� = �� ���� = ����

���� = ��2������ �� = ∫ ��2������ = 1

2 ��2��

∫ ����2�� 1

0

���� = 1

2 ����2��]

��=0

��=1

− ∫ 1

2 ��2��

1

0

���� = 1

2 ����2��]

��=0

��=1

− 1

4 ��2��]

��=0

��=1

= 1

2 ��2 − 0 −

1

4 ��2 +

1

4

Cambio de variable

El método que conocemos nos permite obtener una primitiva tras efectuar un cambio de

variable, habría que deshacer el cambio para obtener una primitiva sobre las variables

originales y posteriormente aplicar la regla de Barrow. Lo habitual es adaptar el recinto de

integración a las nuevas variables y aplicar directamente la regla de Barrow.

∫ ��(��(��))��´(��) ��

��

����

Si efectuamos el cambio �� = ��(��) ���� = ��´(��)���� ���� �� = �� �� = ��(��) ���� �� = �� �� = ��(��)

∫ ��(��(��))��´(��) ��

��

���� = ∫ ��(��)���� ��(��)

��(��)

Tema 7.Integral definida. Cálculo de áreas

Matemáticas Empresariales . Grado en Administración y Dirección de Empresas.

6

Ejemplo

∫ �� √�� + 1 3

0 ���� �� + 1 = ��2 ���� = 2������ ���� �� = 0 �� = 1

���� �� = 3 �� = 2

∫ �� √�� + 1 3

0

���� = ∫ (��2 − 1)��2������ 2

1

= 2��5

5 −

2��3

3 ]

��=1

��=2

= 2 · 25

5 −

2 · 23

3 − (

2

5 −

2

3 ) =

116

15

3. Aplicaciones

3.1. Cálculo de áreas de recintos limitados por funciones

Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a, b] y g(x)  f(x)  x  [a, b], entonces el área de

la región limitada por las gráficas de f(x) y g(x) y las rectas x a y x b es

∫ ��(��)���� − ∫ ��(��)���� ��

��

��

��

EJEMPLO 3. Calcular el área del recinto limitado por las funciones �� + �� = 1 , �� − �� =

1 , �� = 0 , �� > 0

�� + �� = 1 → �� = 1 − ��

�� − �� = 1 → �� = �� − 1

Tema 7.Integral definida. Cálculo de áreas

Matemáticas Empresariales . Grado en Administración y Dirección de Empresas.

7

Área=∫ (1 − ��) ���� − ∫ (�� − 1) ���� = [�� − ��2

2 ]

0

1 1

0

1

0 − [

��2

2 − ��]

0

1

= 1 − 1

2 −

1

2 − 1 = 2 (

1

2 )=1

También es posible calcular el área del siguiente modo:

Área=2 ∫ (1 − ��)���� = 2 [�� − ��2

2 ]

0

1

= 1

0 2 (1 −

1

2 ) = 2 (

1

2 ) = 1

Es decir, calculando el área por encima del eje “x” y luego multiplicando por dos.

3.2. Funciones continuas de distribución de probabilidad

Una función continua y derivable F(x) se dice que es función de distribución de probabilidad si

es monótona no decreciente y F(-) = 0 F()=1.

��(��) = ∫ ����(��) = ∫ ��(��)���� ��

−∞

��

−∞

La función ��(��) = ��´(��) se denomina función de densidad de probabilidad

��(��, ��) = ∫ ��(��)���� ��

��

Ejemplo:

Sea ��(��) = 2��−2�� �� > 0 una función de densidad de probabilidad. Obtenga su función de distribución y calcule la probabilidad del intervalo (1,3).

��(��) = ∫ ��(��)���� ��

−∞ = ∫ 2��−2������ =

��

0 −��−2��]

�� = �� �� = 0

= −��−2�� − (−��−0) = 1−��−2�� (x>0)

��(1,3) = ∫ 2��−2������ = ��(3) − ��(1) = 3

1

��−2 − ��−6

y

1

0

1 x

-1

�� = 1 − ��

�� = �� − 1

Tema 7.Integral definida. Cálculo de áreas

Matemáticas Empresariales . Grado en Administración y Dirección de Empresas.

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4. Funciones Eulerianas

4.1. Función Gamma:  ),0(:

Se define dxexp xp  

  0 1)( . p>0

Propiedades

1. Para cada )1()1()(,1  pppp ;

Consecuencia:

- )!1()(  pp si p es un número natural!

2. 1)1(  ;  

  

 

2

1

3. p

axp

a

p dxex

)(

0

1   

 (a>0)

Ejemplos

 

  

 

  

 



16

105

2

1

2

1

2

3

2

5

2

7

2

9

2!2)3(

64/2 4

)3( 3

4

0

2    



dxex x

dxex x 3

0

 

 .

Para que esta integral represente una )( p , es decir, para encontrar el valor de p,

tenemos que hacer un cambio de variable:

dttdttdxtxtx 32 1

3

1

313

3

1

3

1  

    

 

 

 dtettdttetdxex ttx 32

0

6132 21

0

31

0

21

3

1

3

13

32

1

3

1 1

2

1

3

1

3

1

0

21  

  

 

  

 

  

 

dtet t

.

Tema 7.Integral definida. Cálculo de áreas

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4.2. Función Beta:  ),0(),0(:

Se define   

1

0

11 )1(),( dxxxqp qp . 0p y ,0q

Propiedades

1. Para cada ),(),(,0, pqqpqp  

2. , 1

)1,( p

p  , 1

),1( q

q  para cada 0q

3. )(

)()( ),(

qp

qp qp



 

4. ��(�� + 1, ��) = ��

��+�� ��(��, ��)

Ejemplos

2

1 )1,2( 

33

125

5

1

5

1

5

6

5

11

2 5

1

5

16

!2 5

1

3 5

1

)3( 5

1

3, 5

1 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

  

 

 

  

  

15

38

1 5

1 1

3

1

1 5

1 ,1

3

1 )1(1 51

1

0

313 1

0

5 dxxxdxxx

 

  

 

 

  

 

  

 

15

8

15

8

15

23

5

1

5

1

3

1

3

1

dxxx  1

0

33 1 .

Para encontrar una ),( qp , es decir, para hallar los valores de p y q, hacemos el cambio

de variable:

dttdxtxtxtx 323133

3

1 11 

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10

   

  

  

2

3 ,

3

4

3

1 )1(

3

1

3

1 )1(1 21

1

0

3132 1

0

21 1

0

2133 dtttdttttdxxx

 

  

 

 

  

 

  

 

 

  

 

 

  

  

  

 



6

5

6

5

6

11

2

1

2

1

3

1

3

1

3

1

6

17

2

3

3

4

3

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