series problemas, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral. Universidad de La Rioja (UR)
rausejo
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series problemas, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral. Universidad de La Rioja (UR)

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Asignatura: Cálculo Diferencial, Profesor: carmen , Carrera: Matemáticas, Universidad: UNIRIOJA
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Problemas Tema 2: Series de números reales

1. Probar que las siguientes series son convergentes y calcular su suma:

a) ∞∑ n=1

n2 + 3n− 5 (n + 1)!

(17-02-1999)

b) ∞∑ n=2

n2 + 3

n! (17-09-1999)

c) ∑ n≥1

2n + 5

3n (12-02-2000)

d) ∑ n≥1

n2 + 3

(n + 2)! (12-02-2000)

e) ∑ n≥1

n

(n + 1)(n + 2)(n + 3) (16-09-2000)

f ) ∑ n≥0

n2 + n + 5

n! (14-09-2001)

g) ∑ n≥0

2n2 + 4n− 5 n!

(16-06-2003)

h) ∑ n≥1

(n + 1)L(n + 2)− nL(n + 1) nL(n + 1)(n + 1)L(n + 2)

(12-09-2003)

i) ∑ n≥0

n2 + n− 5 n!

(16-09-2005)

j ) ∑ n≥0

n2 + n + 1

n! (18-09-2007)

k) ∑ n≥0

n2 − 2n + 1 n!

(16-06-2008)

l) ∑ n≥0

2n2 + 2n− 5 n!

(16-09-2008)

m) ∞∑ n=0

2n + 3

n! (16-06-2009)

n) ∞∑ n=1

1

n(n + 1)(n + 2) (16-09-2009)

ñ) ∞∑ n=0

n2 − n + 4 n!

(04-02-2010)

1

2. Estudiar la convergencia de las siguientes series:

a) ∑ 1

nL(n3) (16-06-2003)

b) ∑ 1

n(L(n))3 (16-09-2005 y 16-06-2003)

c) ∑ 1

nL(n2) (16-09-2005)

d) ∑ 1

n(L(n))4 (16-09-2008 y 16-06-2003)

e) ∑ 1

nL(n4) (16-09-2008)

3. Supongamos que ∑

an y ∑

bn son dos series de términos positivos. Si ∑

an es convergente,∑ bn es divergente y ĺım

n→∞ bn = 0. ¿Qué se puede decir acerca de la convergencia de las

siguientes series?

a) ∑

(an + 1)bn (10-02-2003)

b) ∑

an(bn + 1) (10-02-2003)

c) ∑ bn

1 + an (10-02-2003)

d) ∑

anbn (10-02-2003)

e) ∑ an

an + bn (09-02-2004)

f ) ∑ an

1 + bn (09-02-2004)

g) ∑ bn

an (09-02-2004)

h) ∑ an(bn + 1)

an + bn (18-06-2007)

i) ∑ bn

an + bn (16-06-2008)

j ) ∑ 2nan

bn (16-06-2008)

k) ∑ anbn

1 + anbn (16-06-2008)

l) ∑ a2n

1 + an (16-06-2009)

m) ∑ anbn

an + bn (16-06-2009)

n) ∑ an

bn (16-06-2009 y 10-02-2003)

2

ñ) ∑ bn(an + 1)

1 + bn (04-02-2010, 16-09-2009 y 18-06-2007)

o) ∑ anbn

1 + bn (04-02-2010, 16-09-2009 y 18-06-2007)

p) ∑

b2n (16-09-2009)

q) ∑

b3n (04-02-2010)

4. Dadas ∑

an y ∑

bn dos series convergentes de términos positivos, estudiar la convergencia de las siguientes series:

a) ∑ 1

1 + an (09-02-2001)

b) ∑√

an (09-02-2001)

c) ∑

L(1 + an) (09-02-2001)

d) ∑ an

1 + an (09-02-2001)

e) ∑

a2n (09-02-2001)

f ) ∑ 1

1 + an + bn (30-06-2001)

g) ∑ a2n

an + bn (30-06-2001)

h) ∑ an

an + bn (30-06-2001)

i) ∑

2nan (10-06-2002)

j ) ∑ an

2n (10-06-2002)

k) ∑ an

1 + bn (10-06-2002)

l) ∑ an

bn (10-06-2002)

m) ∑

anbn (10-06-2002 y 30-06-2001)

n) ∑ an

nb2n (14-09-2002)

ñ) ∑ an

n + bn (14-09-2002)

o) ∑ 1 + an

1 + bn (14-09-2002)

5. Sea {an} una sucesión monótona decreciente y convergente a 0. Debido al criterio de Abel se sabe que la serie

∑ n≥1

(−1)n+1an es convergente y que su suma es S.

3

(a) Demostrar que |S − sn| < an ∀ n ∈ N

(b) Aplicar el resultado anterior para conocer cuántos sumandos de la serie ∑ n≥1

(−1)n+1 1 n

debemos sumar para obtener una aproximación de S con un error menor que 0, 001.

(21-06-1999)

6. (a) Definir: Serie convergente, absolutamente convergente y condicionalmente conver- gente.

(b) Dar, si es posible, ejemplos de series en las siguientes situaciones:

i. Una serie convergente que sume 1.

ii. Una serie condicionalmente convergente que sume 1.

iii. Una serie condicionalmente convergente y alternada que sume 1.

iv. Una serie absolutamente convergente y alternada que sume 1.

(09-02-2001)

7. Enunciar dos criterios de convergencia de series. (14-09-2001)

8. Supongamos que ∑

an y ∑

bn son dos series de términos positivos divergentes. ¿Qué se puede decir acerca de la convergencia de las siguientes series?

a) ∑

anbn

b) ∑ an

bn

c) ∑ an

1 + bn

d) ∑ an

2n

e) ∑

2nan

(10-06-2002)

9. Demostrar que la suma de series convergentes es convergente. (18-09-2007, 17-06-2005)

4

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