Soluciones calculo I - Aturo de pablo, Apuntes de Cálculo. Universidad Carlos III de Madrid (UC3M)
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Soluciones calculo I - Aturo de pablo, Apuntes de Cálculo. Universidad Carlos III de Madrid (UC3M)

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Asignatura: Cálculo I, Profesor: Arturo De Pablo, Carrera: Ingeniería Telemática, Universidad: UC3M
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1 Funciones de variable real. 1

PROBLEMAS DE CÁLCULO I. SOLUCIONES. 2010–2011.

1er CURSO. GRADOS EN: Ingenieŕıa Eléctrica, Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática, In- genieŕıa Mecánica, Ingenieŕıa de Sistemas Audiovisuales, Ingenieŕıa de Sistemas de Comunicaciones e Ingenieŕıa Telemática.

1. Funciones de variable real.

1.1. La recta real.

Problema 1.1.1 i) Cálculo directo; por ejemplo

a < √ ab ⇐⇒ a2 < ab ⇐⇒ a < b.

√ ab <

a+ b

2 ⇐⇒ 4ab < a2 + b2 + 2ab ⇐⇒ 0 < a2 + b2 2ab ⇐⇒ 0 < (a− b)2 ⇐⇒ a ∕= b. a

b <

a+ k

b+ k ⇐⇒ a(b+ k) < b(a+ k) ⇐⇒ ak < bk ⇐⇒ a < b.

Hemos usado la hipótesis sobre los signos de a, b y k; algunas de las operaciones anteriores son falsas con otro signo. ii)

∣a+ b∣ = ∣a∣+ ∣b∣ ⇐⇒ a2 + b2 + 2ab = a2 + b2 + 2∣a∣ ∣b∣ ⇐⇒ ab = ∣ab∣ ⇐⇒ ab ≥ 0.

iii) Por la desigualdad triangular, ∣a∣ = ∣a− b+ b∣ ≤ ∣a− b∣+ ∣b∣, por lo que ∣a− b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣; por la misma razón, ∣a− b∣ ≥ ∣b∣ − ∣a∣.

iv) x+ y + ∣x− y∣

2 =

⎧ ⎨ ⎩

x+ y + x− y 2

si x ≥ y x+ y − x+ y

2 si x ≤ y.

v) f(x) = máx{x, 0} = x+ ∣x∣ 2

.

Problema 1.1.2 i) n2 − n = n(n− 1). Uno de los dos factores es par. ii) n3 − n = n(n+ 1)(n− 1). Al menos uno de los factores es par, y uno es múltiplo de tres. iii) n2 1 = (n+ 1)(n− 1). Los dos factores son pares, pero además, uno es múltiplo de 4.

Problema 1.1.3 i) n+1∑

j=1

j = n+ 1 + n

j=1

j = n+ 1 + n(n+ 1)

2 =

(n+ 1)(n+ 2)

2 .

ii) n+1∑

j=1

j2 = (n+ 1)2 + n

j=1

j2 = (n+ 1)2 + n(n+ 1)(2n+ 1)

6 =

(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)

6 .

iii)

n+1∑

j=0

rj = rn+1 +

n

j=0

rj = rn+1 + rn+1 1 r − 1 =

rn+2 1 r − 1 .

Problema 1.1.4 i) Si 10n−1 = 9k, entonces 10n+11 = 10n+110n+10n−1 = 9(10n+k).

ii) Si N

j=0

aj = 9m, entonces n = N

j=0

aj10 j = 9m +

N

j=1

(10j − 1)aj = 9(m + N

j=1

mjaj), pues

10j − 1 = 9mj por el apartado anterior.

Problema 1.1.5 Sea n = z2r, donde r no contiene ningún factor cuadrado. Si existen p, q ∈ ZZ, con m.c.d(p, q) = 1, tales que p2/q2 = n, se tiene p2 = z2q2r, que implica p = kr para algún k ∈ ZZ. Aśı, k2r2 = z2q2r, que implica q = mr para algún m ∈ ZZ. Finalmente m.c.d(p, q) ≥ r.

1 Funciones de variable real. 2

Problema 1.1.6 i) A = {−8 ≤ x− 3 8} = [5, 11]. ii) B = (3/2, 2) (2, 5/2). iii) C = { (x− 2)(x− 3) 0 } = (−∞, 2] [3,∞). iv) D = (−∞,−3) (0, 5). v) E = { x+ 4

(x+ 1)(x+ 7) > 0 } = (7,−4) (1,∞).

vi) F = {x2 > 4, x > 0 } ∪ {x2 < 4, x < 0 } = (2, 0) (2,∞). vii) G = [1, 1/2). viii) H = (1−√2, 1) (1, 1 +2). x) I = { 3, −4 }. ix) J = {x− 1 + x− 2 > 1, x ≥ 1, x ≥ 2} ∪ {x− 1 + 2− x > 1, x ≥ 1, x ≤ 2}

∪{1− x+ x− 2 > 1, x ≤ 1, x ≥ 2} ∪ {1− x+ 2− x > 1, x ≤ 1, x ≤ 2} = {x > 2} ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ {x < 1} = (−∞, 1) (2,∞).

Problema 1.1.7 i) A = { a, a+ b 2

, b}. ii) B = (a, b). iii) C = (−∞, a). iv) D = (b,∞).

Problema 1.1.8 i) supA = 3, ı́nf A = mı́nA = 1, no hay máximo. ii) supB = máxB = 3, ı́nf B = mı́nB = 1. iii) supC = máxC = 3, ı́nf C = 2, no hay mı́nimo. iv) ı́nfD = mı́nD = 2, no hay máximo ni supremo. v) supE = máxE = 3, ı́nf E = mı́nE = 1/3. vi) supF = d, ı́nf F = a, no hay máximo ni mı́nimo. vii) supG = máxG = 7/10, ı́nf G = 0, no hay mı́nimo. viii) supH = máxH = 2, ı́nfH = 1, no hay mı́nimo.

Problema 1.1.9 i) El interior de una banda. ii) La región acotada entre una parábola y una recta. iii) Infinitas rectas paralelas. iv) Un rombo. v) El interior de un ćırculo. vi) Dos rectas secantes. vii) El interior de dos cuartos de elipse, incluyendo el borde. viii) El interior de medio anillo, incluyendo el borde inferior y la semicircunferencia menor.

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

PSfrag replacements

i) -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

PSfrag replacements

ii) -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

PSfrag replacements

iii) -0.5 0.5

-1

1

PSfrag replacements

iv)

-1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

PSfrag replacements

v)

-1 1 2 3

-1

1

2

3

PSfrag replacements

vi) -1 1

-2

2

vii)

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

viii)

Problema 1.1.10 Los vectores directores son (1,m) y (1, n). Son ortogonales si su producto escalar es nulo, 1 +mn = 0.

Problema 1.1.11 i) P1 = {x = 0} ∩ {y = a c (x+ b)} = (0, ab

c ).

ii) P2 = {y = c− 2c a− bx} ∩ {y =

c

a+ 2b (x+ b)} = (a− b

3 , c

3 ). iii) a = b, c = a

3, es decir,

el triángulo es equilátero.

1 Funciones de variable real. 3

Problema 1.1.12 i) x2 + (x2 1/4)2 = (x2 − ¸)2 ⇒ ¸ = 1/4. ii) (x − a)2 + (y − b)2 = (y − ¸)2 ⇒ y = ®x2 + ¯x + ° con ® = 1

2(b− ¸) , ¯ = a

¸− b ,

° = a2 + b2 − ¸2 2(b− ¸) .

Problema 1.1.13 i) √

(x− c)2 + y2 + √ (x+ c)2 + y2 = 2a ⇒ x

2

a2 +

y2

a2 − c2 = 1, una elipse.

ii) √

(x− c)2 + y2

(x− c)2 + y2 = 2a ⇒ x 2

a2 − y

2

c2 − a2 = 1, una hipérbola.

1.2. Funciones elementales.

Problema 1.2.1 i) IR− {2, 3}. ii) {−1, 1}. iii) [1, 1/√2) (1/√2, 1]. iv) {√3 ≤ ∣x∣ ≤ 2}. v) (0, e) (e,∞). vi) (0, 1). vii) (0, 1) (1, 5]. viii) [1/e, e].

Problema 1.2.2 i) f+g es impar, fg es par y f∘g es impar. Por ejemplo, para la composición, f ∘ g(−x) = f(g(−x)) = f(−g(x)) = −f(g(x)) = −f ∘ g(x).

ii) f + g no es nada, fg es impar y f ∘ g es par. Por ejemplo, para el producto, f(−x)g(−x) = f(x)(−g(x)) = −f(x)g(x).

Problema 1.2.3 Pares iii) y iv); impares i) y vi). Para la última observa que

log( √ x2 + 1 + x) = log

( 1√ x2 + 1− x

) = log(

x2 + 1− x).

Problema 1.2.4 a ax+bcx+d + b

c ax+bcx+d + d = x ⇒ a = −d con a2+bc ∕= 0 (pues si no el denominador es cero,

o lo que es lo mismo, la función es constante y resulta imposible la conclusión), ó a = d, b = c = 0.

Problema 1.2.5 Es inyectiva pues x1 + 3

1 + 2x1 =

x2 + 3

1 + 2x2 implica x1 + 2x1x2 + 3 + 6x2 = x2 +

2x1x2 + 3+ 6x1, es decir, x1 = x2. La imagen es IR− {1/2} pues f−1(y) = y − 3 12y está definida

para todo y ∕= 1/2.

Problema 1.2.6 i) a) Inyectiva, pues 7x1 4 = 7x2 4 ⇒ x1 = x2; la inversa es f−1(y) = y + 4

7 . b) No inyectiva, f(x) = f(x+2¼/7). c) Inyectiva, f−1(y) = (y− 2)1/31. d) Inyectiva,

f−1(y) = y − 2 1− y . e) No inyectiva, f(0) = f(3). f) No inyectiva, f(3) = f(1/3). g) Inyectiva,

f−1(y) = log y. ) Inyectiva, f−1(y) = ey − 1. ii) f(x1) = f(x2) implica x1 + x2 = 3, que es imposible si x1, x2 > 3/2. iii) f(x1) = f(x2) implica x1x2 = 1, que es imposible si x1, x2 > 1. f

1( 2/3) =

2.

iii) a) Biyectiva. b) No sobreyectiva: Imagen(f) = [1, 1]. c) Biyectiva. d) No sobreyectiva: Imagen(f) = IR − {1}. e) No sobreyectiva: Imagen(f) = [1/4,∞). f) No sobreyectiva: Imagen(f) = [1/2, 1/2]. g) No sobreyectiva: Imagen(f) = (0,∞). ) Biyectiva. Problema 1.2.7 A(senx cosB + senB cosx) = a senx + b cosx ⇒ A cosB = a, A senB = b ⇒ A = √a2 + b2, B = arc tg(b/a).

Problema 1.2.8 i) tg x = 1 2 +

1 3

112 13 = 1, aśı que x =

¼

4 + . Como arc tg

1

2 y arc tg

1

3

pertenecen ambos a (0, ¼

4 ), se tiene que x ∈ (0, ¼

2 ), por lo que x =

¼

4 .

1 Funciones de variable real. 4

ii) tg x = 2 + 3

12 3 = 1 ⇒ x = − ¼

4 + ;

arc tg 2, arc tg 3 (¼ 4 , ¼

2 ) ⇒ x ∈ (¼

2 , ¼) ⇒ x = 3¼

4 .

iii) tg x =

1 2 +

1/5+1/8 11/40

112 1/5+1/811/40 = 1 ⇒ x = ¼

4 + ;

arc tg 1

2 , arc tg

1

5 , arc tg

1

8 (0, ¼

4 ) ⇒ x ∈ (0, 3¼

4 ) ⇒ x = ¼

4 .

Problema 1.2.9 Hay que tener cuidado con el signo. i) arc cosx ∈ [0, ¼] sen(arc cosx) 0 sen(arc cosx) = 1− x2. ii) arc senx ∈ [−¼/2, ¼/2] cos(arc senx) 0 sen(2 arc senx) = 2 sen(arc senx) cos(arc senx) = 2x

1− x2.

iii) Por el primer apartado, tg(arc cosx) = sen(arc cosx)

cos(arc cosx) =

1− x2 x

.

iv) sen(2 arc tg x) = 2 tg(arc tg x) cos2(arc tg x) = 2x

x2 + 1 .

v) cos2(2 arc tg x) = 1 (

2x

x2 + 1

)2 =

( x2 1 1 + x2

)2 ; para saber el signo al tomar la ráız, obser-

vamos que ∣x∣ ≤ 1 2 arc tg x ∈ [−¼/2, ¼/2] cos(2 arc tg x) 0 cos(2 arc tg x) = 1− x 2

1 + x2 ;

análogamente cos(2 arc tg x) 0 para ∣x∣ ≥ 1, es decir, cos(2 arc tg x) = 1− x 2

1 + x2 en todos los

casos. vi) e4 log x = x4.

Problema 1.2.10 x3x = (3x)x ⇒ 3x log x = x log(3x) 2 log x = log 3 ⇒ x = 3, y = 33.

Problema 1.2.11 i) Traslación vertical. ii) Traslación horizontal. iii) Dilatación o contracción horizontal. iv) Inversión en el eje horizontal. v) Reemplazar la parte {x < 0} por la simétrica respecto del eje vertical de la parte {x > 0}.

-1

1PSfrag replacements y = sen x

�2 �  2 -0.5

0.5

1.5

PSfrag replacements y = sen x+ 0:5

�2 �  2 -0.5 -1

1PSfrag replacements y = sen (x+ 0:5)

�2 �  2

-1

1PSfrag replacements y = sen (2x)

�2 �  2 -1

1

PSfrag replacements y = sen (1=x)

�2= 2= -1

1PSfrag replacements y = sen (jxj)

�2 �  2

1 Funciones de variable real. 5

vi) Simetŕıa respecto del eje horizontal de la parte negativa de la función. vii) Inversión en el eje vertical. viii) Parte positiva.

-1

1PSfrag replacements y = jsen xj

�2 �  2 -1

1PSfrag replacements y = 1=sen x

�2 �  2 -1

1PSfrag replacements y = maxfsen x; 0g

�2 �  2 Problema 1.2.12

-4 -3 -2 -1 1

-1

1

2

3

4

PSfrag replacements

i)

-1 1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

PSfrag replacements

ii) -3 -2 -1 1 2 3

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

PSfrag replacements

iii)

-3 -2 -1 1 2 3

1

PSfrag replacements

iv) 1

1

PSfrag replacements

v)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

1

PSfrag replacements

vi)

-3 -2 -1 1 2 3

1PSfrag replacements vii) PSfrag replacements viii)

1=41=3 1=21=41=3 1=21

1 -2 -1 1 21PSfrag replacements ix)

-1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

PSfrag replacements

x) -3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

PSfrag replacements

xi) -0.1 0.1

-0.1

0.1

PSfrag replacements

xii)

1 Funciones de variable real. 6

Problema 1.2.13

i) senhx es impar y coshx es par; por ejemplo

senh(−x) = e −x − ex

2 = senh(x).

ii) a) 1

4 (e2x + e2x + 2)14(e2x + e2x − 2) = 1.

b) 2 1 2 (ex − e−x) 12(ex + e−x) = 12(e2x − e2x).

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

PSfrag replacements

senhx; coshx

iii) x = senh(y) = 1

2 (ey − e−y); poniendo t = ey > 0 se tiene t− 1/t = 2x ⇒ t = x±√x2 + 1

t = x+ √ x2 + 1 senh1 x = log(x+√x2 + 1).

Problema 1.2.14 i) Media circunferencia. ii) Una semirrecta. iii) Una circunferencia. iv) Una espiral. v) Una espiral. vi) Una semirrecta. vii) Una cardioide. viii) Una lemniscata. ix) Una rosa de cuatro pétalos. x) Una rosa de tres pétalos.

-1 1

1

PSfrag replacements

i)

-8 -6 -4 -2

2

4

6

8

PSfrag replacements

ii)

-1 1

1

2

PSfrag replacements

iii) PSfrag replacements

iv) � 2=2

�3=2 PSfrag replacements

v) 1

4:81 �23:14 0:001

0.5 1

1

2

3

4

5

PSfrag replacements

vi) -1 1

-2

-1

0.25

PSfrag replacements

vii)

0.5 1

-0.2

0.2

PSfrag replacements viii)

-1 1

-1

1

PSfrag replacements ix)

-1 1

-1

0.5

PSfrag replacements

x)

1 Funciones de variable real. 7

Problema 1.2.15 i) El interior de un anillo. ii) Un sector angular. iii) El interior de un arco de espiral. iv) Un triángulo.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

PSfrag replacements

i)

1 2 3 4

1

2

3

4

PSfrag replacements

ii) iii) −π

π/2

−3π/2 1

1

iv)

1.3. Ĺımites de funciones.

Problema 1.3.1 i) Si ± = mı́n{1, "/5} y 0 < ∣x− 2∣ < ±, entonces ∣x+ 2∣ < 5, por lo que

∣x2 4= ∣x+ 2∣∣x− 2∣ < 5± ≤ ".

ii) Sea " = 1. Dado cualquier ± > 0, tomamos x = 3− ±/2 y se tiene f(x) < 14, por lo que

∣x− 3= ±/2 < ± y ∣f(x)16∣ > 2 > ".

iii) Basta tomar ± = " pues ∣∣ x 1 + sen2 x

∣∣ ≤ ∣x∣. iv) Si ± = mı́n{9, 3"} y 0 < ∣x− 9∣ < ±, entonces x > 0 (y la ráız está definida) y ∣√x+ 3∣ > 3, por lo que

∣√x− 3= ∣x− 9∣∣√x+ 3∣ < ±/3 ≤ ".

Problema 1.3.2 i) Por Ruffini,

ĺım x→a

xn − an x− a = ĺımx→a

n

k=1

ak−1xn−k = nan−1,

o por el binomio de Newton,

ĺım x→a

xn − an x− a = ĺımℎ→0

(a+ )n − an ℎ

= ĺım ℎ→0

n

k=1

( n k

) an−kℎk−1 = nan−1.

El factor común es (x−a). ii) Multiplicando por el conjugado (√x+√a), o escribiendo y = √x y aplicando el ĺımite anterior, L =

1

2 √ a . El factor común es (

√ x−√a). iii) Poniendo z = x1/6

se tiene

L = ĺım z→2

z3 8 z2 4 = ĺımz→2

z2 + 2z + 4

z + 2 = 3.

El factor común es (x1/6 2). iv) Multiplicando por el conjugado, L = 1/2. El factor común es x2. v) Por el binomio de Newton

L = ĺım ℎ→0

2 3+ 3 (1− ℎ)3 = 3.

El factor común es . vi) L = ĺım x→1

√ x− 1 x− 1 = 1/2. El factor común es (

√ x− 1).

1 Funciones de variable real. 8

Problema 1.3.3 i) L = 4 ( ĺım x→0

sen 2x3

2x3

)2 = 4. ii) Multiplicando por el conjugado, L =

ĺım x→0

sen2 x

x2(1 + cosx) = 1/2. iii) L = ĺım

x→0

senx2

x cosx2 + 2

1 + x = 2. iv) Desarrollando el seno de la

suma, L = cos a. v) Poniendo y = log(1 + x), L = ĺım y→0

y

ey − 1 = 1. vi) Utilizando la forma exponencial y el ĺımite anterior, L = e. vii) Multiplicando y dividiendo por 2x, L = 2. viii) Escribiéndolo en forma exponencial y multiplicando y dividiendo el exponente por senx,

L = e2, o también L = exp( ĺım x→0

2 senx

x ) = e2. ix) Sacando factor común esenx y poniendo

y = x− senx, L = 1. x) L = 1/2. xi) L = exp( ĺım x→0

senx

senx− x( x

senx − 1)) = e1.

xii) L = exp( ĺım x→0

cosx− 1 x2

) = e1/2. xiii) Poniendo y = x− ¼, L = 1/8.

xiv) L = ĺım x→0

ex log a − 1 + 1ex log b x

= log(a/b).

Problema 1.3.4 i) Dividiendo numerador y denominador por x3, L = 12 . ii) Dividiendo

numerador y denominador por x, L = 1/5, pues senx3

x → 0. iii) Dividiendo numerador y

denominador por √ x, L = 1. iv) Multiplicando por el conjugado, L = 2. v) L = 1.

vi) L = 0. vii) L = 1/2. viii) Observando que √ x2 = ∣x∣ = −x si x < 0, L = 1/2.

Problema 1.3.5 i) L = 1 pues (1 t

)[t] = 1 si 0 < t < 1. ii) L = 0 pues

(1 t

)[t] = t si

1 < t < 0. iii) L = . iv) L = 0. v) L = ĺım x→∞

1− x 1 + x

= 1 . vi) L = ĺım x→0+

1− x 1 + x

= 1 .

vii) L = exp (

ĺım x→∞

13 4x2 + x− 3 2x− 6

) = e13. viii) L = exp

( ĺım

x→−∞ 13

4x2 + x− 3 2x− 6

) = e13.

Problema 1.3.6 i) b = 2a. ii) ĺım x→∞ log

( log x log®+ log x

) = 0, ĺım

x→∞ log ( log x ® log x

) = log®.

Problema 1.3.7 i) Por el lema del sandwich, pues ∣f(x) sen 1/x∣ ≤ ∣f(x). ii) L = 0 por el lema del sandwich, pues

∣∣∣ x 2 + sen 1/x

∣∣∣ ≤ ∣x∣.

1.4. Continuidad

Problema 1.4.1 i) Dado " > 0, existe ±1 > 0 tal que si ∣x − f(a)∣ < ±1, se tiene ∣g(x) − g(f(a))∣ < ", y a su vez existe ±2 > 0 tal que si ∣x − a∣ < ±2, se tiene ∣f(x) − f(a)∣ < ±1. Por tanto, si ∣x− a∣ < ±2, se tiene ∣g(f(x))− g(f(a))∣ < ". ii) Aplicando el apartado anterior con la función (x) = ∣x∣, que es continua. El rećıproco no es cierto, por ejemplo con la función f(x) = sign(x) =

{ 1 si x ≥ 0 1 si x < 0 .

iii) Si es continua y toma dos valores distintos debe tomar todos los valores intermedios. Pero entre dos números racionales existen infinitos números irracionales. Por tanto la función debe ser constante.

Problema 1.4.2 Si ¸ = 0 obviamente la función es continua, pues es constante b(x) = 1. Si ¸ ∕= 0 las ráıces del denominador son 1±

√ 11. i) Para que el denominador no se anule en

IR las ráıces no deben ser reales, es decir el conjunto pedido es D = {0 ≤ ¸ < 1}. ii) Para que las ráıces no pertenezcan al intervalo [0, 1], se debe tener ¸ < 0, que añadido al conjunto donde no hay ráıces, se obtiene D = {¸ < 1}.

1 Funciones de variable real. 9

Problema 1.4.3 Todas son continuas en su dominio. D(f) = IR − {2, 6} , D(g) = IR − {0} , D() = IR − {3x + 2 = ¼

2 + k¼, k ∈ ZZ} , D(j) = (−∞, 2] [3,∞), D(k) = [1, 1] , D(m) =

(3/8,∞) .

Problema 1.4.4 i) Continua en IR− ZZ, pues en cada a ∈ ZZ tiene un salto unidad. ii) Continua en IR, pues el ĺımite en a = 0 es cero, y el resto de puntos no da problemas.

iii) Continua en IR− {¼ 2 + k¼, k = 0, 1, ⋅ ⋅ ⋅ }, pues los ĺımites laterales en cero coinciden y son

cero, y sólo hay qu tener en cuenta las discontinuidades positivas de la función tangente. iv) Continua sólo en a = 0: si a ∕= 0, la función oscila entre los valores −a y a; si a = 0, el ĺımite es cero por el lema del sandwich, −∣x∣ ≤ f(x) ≤ ∣x∣.

Problema 1.4.5 i) Aplicar el teorema de Bolzano a la función g(x) = f(x) − x en [0, 1]: es continua y cambia de signo. ii) Aplicar el teorema de Bolzano a la función (x) = f(x)− g(x) en [a, b].

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