Soluciones de exámenes de Cálculo I, Monografías, Ensayos de Cálculo

¡Descarga Soluciones de exámenes de Cálculo I y más Monografías, Ensayos en PDF de Cálculo solo en Docsity! M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza Solucionario Primer Parcial (II-2023) Cálculo I (Mat-101) Problema 1 (10%) Sea 𝑓(𝑥) = ln ( 1+𝑥 1−𝑥 ) demostrar que: 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) = 𝑓 ( 𝑥+𝑦 1+𝑥𝑦 ) Solución: 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) = ln ( 1 + 𝑥 1 − 𝑥 ) + ln ( 1 + 𝑦 1 − 𝑦 ) = ln ( 1 + 𝑥 1 − 𝑥 ⋅ 1 + 𝑦 1 − 𝑦 ) = ln ( 1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 1 − (𝑥 + 𝑦) + 𝑥𝑦 ) = ln [ 1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 1 + 𝑥𝑦 1 − (𝑥 + 𝑦) + 𝑥𝑦 1 + 𝑥𝑦 ] = ln( 1 + 𝑥 + 𝑦 1 + 𝑥𝑦 1 − 𝑥 + 𝑦 1 + 𝑥𝑦 ) = 𝑓 ( 𝑥 + 𝑦 1 + 𝑥𝑦 ) Problema 2 (10%) Evaluar el límite: 𝐿 = lim 𝑥→∞ √2𝑥 + √2𝑥 + √2𝑥 √4𝑥 + 1 Solución: Evaluando 𝐿 = ∞ ∞ ? ? 𝐿 = lim 𝑥→∞ √2𝑥 + √2𝑥 + √2𝑥 √4𝑥 + 1 = lim 𝑥→∞ √2𝑥 + √2𝑥 + √2𝑥 √𝑥 √4𝑥 + 1 √𝑥 = lim 𝑥→∞ √2𝑥 + √2𝑥 + √2𝑥 𝑥 √4𝑥 + 1 𝑥 𝐿 = lim 𝑥→∞ √2 + √ 2 𝑥 + √ 2 𝑥3 √4 + 1 𝑥 = √2 +√ 2 ∞ +√ 2 ∞3 √4 + 1 ∞ = √2 2 → 𝐿 = √2 2 Problema 3 (20%) Calcule el límite: lim 𝑥→0 √1 + 7𝑥 ⋅ √5𝑥 + 1 3 − 1 𝑥 Solución: Evaluando el límite 𝐿 = 0 0 ? ? 𝐿 = lim 𝑥→0 √1 + 7𝑥 ⋅ √5𝑥 + 1 3 − 1 𝑥 = lim 𝑥→0 √1 + 7𝑥 ⋅ √5𝑥 + 1 3 − 1 + √5𝑥 + 1 3 − √5𝑥 + 1 3 𝑥 𝐿 = lim 𝑥→0 √5𝑥+1 3 [√1+7𝑥−1]+( √5𝑥+1 3 −1) 𝑥 = lim 𝑥→0 √5𝑥+1 3 [√1+7𝑥−1]⋅( √1+7𝑥+1 √1+7𝑥+1 )+( √5𝑥+1 3 −1)⋅ ( √5𝑥+1 3 ) 2 + √5𝑥+1 3 +1 ( √5𝑥+1 3 ) 2 + √5𝑥+1 3 +1 𝑥 M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza 𝐿 = lim 𝑥→0 √5𝑥 + 1 3 ⋅ 7𝑥 √1 + 7𝑥 + 1 + 5𝑥 (√5𝑥 + 1 3 ) 2 + √5𝑥 + 1 3 + 1 𝑥 = 7 2 + 5 3 = 31 6 → 𝑳 = 𝟑𝟏 𝟔 Problema 4 (20%) Halle el valores de 𝐴 para que la función sea continua en su dominio: 𝑓(𝑥) = { 𝑒sin3𝑥 − cos2(2𝑥) sin 4𝑥 , 𝑥 ≠ 0 𝐴 , 𝑥 = 0 Solución: Estudio para 𝑥 = 0 1) 𝑓(0) = 𝐴 2) 𝐿 = lim 𝑥→0 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→0 𝑒sin3𝑥−cos2(2𝑥) sin 4𝑥 = lim 𝑥→0 𝑒sin3𝑥−1+1−cos2(2𝑥) sin4𝑥 = lim 𝑥→0 𝑒sin3𝑥−1+(1+cos2𝑥)(1−cos2𝑥) sin 4𝑥 𝐿 = lim 𝑥→0 𝑒sin3𝑥 − 1 sin3𝑥 ⋅ sin 3𝑥 3𝑥 ⋅ 3 + (1 + cos 2𝑥) (1 − cos 2𝑥) 2𝑥 ⋅ 2 sin4𝑥 4𝑥 ⋅ 4 = ln 𝑒 ⋅ 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 ⋅ 2 1 ⋅ 4 = 3 4 3) 𝑓(0) = lim 𝑥→0 𝑓(𝑥) → 𝑨 = 𝟑 𝟒 Problema 5 (20%) Calcular el límite: 𝐿 = lim 𝑥→𝜋 (sin 2𝑥 + cos 2𝑥) tan( 𝑥 2) Solución: Cambio de variable: 𝑢 = 𝑥 − 𝜋 𝐿 = lim 𝑢→0 [sin(2𝑢 + 2𝜋) + cos(2𝑢 + 2𝜋)] tan( 𝑢 2+ 𝜋 2) = lim 𝑢→0 (sin 2𝑢 + cos 2𝑢) sin( 𝑢 2+ 𝜋 2) cos( 𝑢 2+ 𝜋 2) 𝐿 = lim 𝑢→0 (1 + sin 2𝑢 + cos 2𝑢 − 1) cos( 𝑢 2) − sin( 𝑢 2 ) 𝐿 = lim 𝑢→0 [(1 + sin 2𝑢 + cos 2𝑢 − 1) 1 sin 2𝑢+cos2𝑢−1] (sin2𝑢+cos2𝑢−1)⋅[− cos( 𝑢 2) sin( 𝑢 2) ] 𝐿 = 𝑒 lim 𝑢→0 − (sin2𝑢+cos2𝑢−1)⋅[ cos( 𝑢 2) sin( 𝑢 2) ] ⏟ 𝐿1 … (1) 𝐿1 = lim 𝑢→0 − (sin2𝑢+cos2𝑢−1) 𝑢 ⋅ [ cos( 𝑢 2 ) sin( 𝑢 2) 𝑢 ] = lim 𝑢→0 − ( sin2𝑢 2𝑢 ⋅ 2 − 1−cos2𝑢 2𝑢 ⋅ 2) ⋅ [ cos( 𝑢 2 ) sin( 𝑢 2) 𝑢 2 ⋅ 1 2 ] = −2 ⋅ 1 1 2 = −4 𝑳 = 𝒆−𝟒