soluciones de examenes de matematicas, Exámenes de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

¡Descarga soluciones de examenes de matematicas y más Exámenes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity! Model 1. Criteris espećıfics de correcció Cada qüestió té una puntuació màxima de 10. Cal tenir presents les puntuacions parcials màximes que apareixen a les qüestions amb més d’un apartat. Pel que fa a aquelles qüestions que tenen apartats sense puntuar, se suposarà que cadascun té la mateixa valoració. Es valoraran la correcció i la claredat en el llenguatge (matemàtic i no matemàtic) emprat per l’alumne. Penalitzau els errors de càlcul. Els errors greus i, especialment, aquells que portin a resultats incoherents o absurds, penalitzau-los amb el 50 per cent sobre la qualificació de la qüestió. Valorau totes les parts que siguin correctes, encara que el resultat final no ho sigui. Hi pot haver casos en què hi hagi dubtes en aplicar els criteris que es detallen a continuació. En aquests casos, feu prevaler el vostre criteri i sentit comú. OPCIÓ A 1. a) Càlcul correcte del determinant: 2 punts. Solució de l’equació associada: 1 punt. b) Dir que no té inversa amb explicació correcta: 2 punts. Si només diu que té inversa sense cap explicació: 0 punts. c) Dir que la matriu té inversa quan x = 2 perquè el seu determinant és no nul: 1 punt. Indicar que resoldre l’equació A · Z = I és equivalent a Z = A−1 · I i que, per tant, hem de calcular la matriu inversa de A: 1 punt. Càlcul correcte de la matriu inversa de A: 3 punts. 2. a) Estudi correcte de la continüıtat: 3 punts. Si falta qualque detall o justificació: màxim 1.5 punts. b) Indicar que śı que és derivable a t = 9 amb justificació: 1 punt. Càlcul correcte de les derivades: 1 punt, 0.5 punts per interval. Indicar i justificar els intervals correctes de creixement i decreixement: 3 punts. Si no s’indiquen correctament els intervals de creixement i decreixement: màxim 2 punts. c) Indicar que el major nombre de vehicles passa a les 15 hores: 1 punt. Dir que aquest nombre de vehicles va ser 10: 1 punt. Si tan sols apareix N(15) = 10, sense cap explicació i indicació: 0 punts. 3. a) Dibuix de l’arbre correcte amb totes les probabilitats: 3 punts. Si falta qualque probabilitat: màxim 2 punts. Si falten més de dues probabilitats: 0 punts. b) 1 punt per cada una de les probabilitats demanades. c) Càlcul correcte de cadascuna de les tres probabilitats: 0.75 punts per probabilitat. Indicar i justificar que la suma de les tres probabilitats val 1: 0.75 punts. 4. a) Indicar i justificar que el pes de 100 persones es distribueix seguint la normal indi- cada a les solucions: 2 punts. Si no es justifica per què se segueix aquesta distribució: màxim 1 punt. Càlcul correcte de les probabilitats demanades: 1.5 punts per probabilitat. b) Justificació i càlcul correcte del valor cŕıtic: 2 punts. Sense justificació i càlculs del valor cŕıtic: màxim 1 punt. Justificació i càlcul correcte de l’interval de confiança: 2 punts. Si tan sols apareix Model 1. Criteris espećıfics de correcció directament l’interval: màxim 1 punt. Interpretació: 1 punt. OPCIÓ B 1. a) Construcció correcta de la matriu representant les dades proporcionats: 2 punts. b) Indicar i justificar que la matriu té inversa: 1 punt. Càlcul correcte de la matriu inversa: 3 punts. Si directament fan el càlcul correcte de la matriu inversa, sense justificar la seva existència: màxim 3 punts. c) Indicar que el sistema té solució perquè el determinat de la matriu és no nul: 1 punt. Resoldre correctament el sistema d’equacions: 3 punts. 2. Interpretació correcta de l’enunciat com un problema de programació lineal: 3 punts. Qualsevol altra situació: 0 punts. Determinació correcta de la funció objectiu: 1 punt. Dibuix correcte de la regió factible: 3 punts. Si falta qualque indicació de recta o de vèrtex, cal restar mig punt per recta i/o vèrtex. Nota mı́nima: 0 punts. Si hi ha error en el càlcul d’algun dels vèrtexs, però els altres estan ben calculats: màxim 3 punts. Si hi ha més d’un error: 0 punts. Indicar els punts que s’han de considerar: 1 punt. Indicar que el mı́nim s’aconsegueix en el punt adequat: 1 punt. Indicar quant són les despeses mı́nimes: 1 punt. 3. a) Càlcul correcte de la derivada: 1 punt. Estudi correcte del creixement i decreixement: 2 punts. Indicar expĺıcitament que durant la primera hora creix el nombre de visitants, i que decreix en el reste de hores: 1 punt. b) Indicar que el nombre més gran de visitants el rep el museu quan fa una hora que l’han obert: 1 punt. Indicar que el nombre més gran de visitants és de 100: 1 punt. Si només apareix V (1) = 100: 0 punts. c) Càlcul correcte de la segona derivada: 2 punts. Solució de l’equació V ′′(t) = 0: 1 punt. Indicació del punt d’inflexió: 1 punt. 4. a) Dibuix de l’arbre correcte amb totes les probabilitats: 3 punts. Si falta qualcuna de les probabilitats: màxim 2 punts. Si falten més de dues probabilitats: 0 punts. b) 1 punt per cada una de les probabilitats demanades. c) Càlcul correcte de la probabilitat demanada: 2 punts. d) Càlcul correcte de la probabilitat demanada: 2 punts. Model 1. Solucions t 0 3 9 15 24 N ′(t) - + + - N(t) ↘ ↗ ↗ ↘ Per tant, en els intervals d’hores (0, 3) i (15, 24) el nombre de vehicles disminueix. A l’interval (3, 15) hores el nombre de vehicles augmenta. c) El major nombre de vehicles va passar a les 15 hores, i aquest nombre és N(15) = 10 vehicles. 3. Tenim un dau correcte i dues urnes amb bolles descrites a continuació: Urna I: 1 bolla negra, 3 bolles vermelles i 6 bolles verdes. Urna II: 2 bolles negres, 6 bolles vermelles i 2 bolles verdes. Tiram el dau. Si surt 1 o 2, anam a l’urna I. Si surt 3, 4, 5 o 6, acudim a l’urna II. Extreim a l’atzar una bolla de l’urna corresponent. a) Donau un diagrama en arbre que representi l’experiment amb totes les probabilitats. (3 punts) b) Calculau les probabilitats següents: (4 punts) i) p({3, 4, 5, 6} i {bolla vermella}). ii) p({bolla verda}/{1}). iii) p({bolla vermella}/{5}). iv) p({2} i {bolla verda}). c) Calculau la probabilitat que la bolla extreta hagi estat vermella i que hagi estat negra. Quina és la probabilitat que la bolla extreta hagi estat verda? Quant val la suma de les tres probabilitats? Justifica la resposta. (3 punts) Solució. a) L’arbre és: Model 1. Solucions b) p({3, 4, 5, 6} i {bolla vermella}) = 4 6 · 6 10 = 4 10 = 2 5 . p({bolla verda}/{1}) = 6 10 = 3 5 . p({bolla vermella}/{5}) = 6 10 = 3 5 . p({2} i {bolla verda} = 1 6 · 6 10 = 1 10 . c) p({bolla vermella}) = 2 6 · 3 10 + 4 6 · 6 10 = 5 10 = 1 2 . p({bolla negra}) = 2 6 · 1 10 + 4 6 · 2 10 = 10 60 = 1 6 . p({bolla verda}) = 2 6 · 6 10 + 4 6 · 2 10 = 20 60 = 1 3 . Finalment: p({bolla vermella}) + p({bolla negra}) + p({bolla verda}) = 30 60 + 10 60 + 20 60 = 1. 4. Resoleu els apartats següents: a) El pes dels habitants d’una ciutat té una mitjana de 67 kg i una desviació t́ıpica de 5 kg. Quina és la probabilitat que la mitjana del pes de 100 persones superi els 68.5 kg? I que sigui menor que 68 kg?. (5 punts) b) En un hospital s’ha pres la temperatura a una mostra de 64 pacients, per a estimar la temperatura mitjana dels malalts. La mitjana de la mostra ha estat de 37,1 ◦C, i la desviació t́ıpica de la població, d’1,04 ◦C. Calcula un interval de confiança per a la mitjana poblacional amb un nivell de confiança del 99%. Interpreta el resultat en l’entorn del problema. (5 punts) Solució. a) Com que la grandària de la mostra n = 100 és gran, podem dir que x ≡ N ( 67, 5√ 100 ) = N(67, 0.5). Per tant: p(x > 68, 5) = p ( x− 67 0.5 > 68.5− 67 0.5 ) = p(Z > 3) = 1− p(Z ≤ 3) = 1− 0.9987 = 0.0013. p(x < 68) = p ( x− 67 0.5 < 68− 67 0.5 ) = p(Z < 2) = 0.9772. Model 1. Solucions b) Un interval de confiança per a la mitjana de la població amb un nivell de confiança 1− α és ( x− zα 2 σ√ n , x+ zα 2 σ√ n ) . Calculem el valor cŕıtic zα 2 i cerquem el seu valor a la taula N(0, 1) donada amb els enunciats. El nivell de confiança és del 99%. 1− α = 0.99 =⇒ α = 0.01 =⇒ α 2 = 0.005 =⇒ zα 2 = z0.005. φ(zα 2 ) = φ(z0.005) = 1−0.005 = 0.995 =⇒ zα 2 = φ−1(0.995) = 2.57 + 2.58 2 = 2.575. En aquest cas l’interval de confiança demanat és:( x− zα 2 σ√ n , x+ zα 2 σ√ n ) = (37.1− 2.575 · 1.04√ 64 , 37.1 + 2.575 · 1.04√ 64 ) = (37.1− 2.575 · 1.04 8 , 37.1 + 2.575 · 1.04 8 ) ≈ (36.765, 37.435). La interpretació de l’interval de confiança és la següent: si calculam N intervals de confiança per a la mitjana poblacional al 99% de confiança fent servir la metodologia anterior i n’escollim un a l’atzar, hi ha una probabilitat de 0.99 que contingui el valor de la mitjana poblacional. Model 1. Solucions 3. El nombre de visitants a un museu s’obté mitjançant la funció V (t) = 300t t3 + 2 on t és l’hora des de l’obertura del museu. Suposem que l’hora d’obertura del museu són les 9:00 hores del mat́ı. a) Quan creix i decreix el nombre de visitants del museu? (4 punts) b) Quan rep el museu el nombre més gran de visitants? Quin és aquest nombre? (2 punts) c) En quin valor de t es produeix un punt d’inflexió de V (t)? (4 punts) Solució. a) Derivant la funció V (t) obtenim V ′(t) = 600− 600t3 t6 + 4t3 + 4 = 600− 600t3 (t3 + 2)2 . S’observa que V i(t) = 0 si, i només si, t = 1. Per tant: t 0 1 Tancament V ′(t) + - V (t) ↗ ↘ A l’interval (0, 1) creix el nombre de visitants i a l’interval (1,Tancament) decreix el nombre de visitants. És a dir, durant la primera hora creix el nombre de visitants del museu i aquest nombre decreix la reste d’hores d’obertura. b) El nombre més gran de visitants el rep quan fa una hora que l’han obert i aquest nombre és V (1) = 300 1− 2 = 100. 100 visitants és el nombre màxim. c) Tenim que V ′′(t) = 1800t5 − 7200t2 t9 + 6t6 + 12t3 + 8 . V ′′(t) = 0 si, i només si, 1800t5 − 7200t2 = 0 si, i només si, t2(1800t3 − 7200t) = 0 si, i només si, t = 0, t = 3 √ 4 ≈ 1.5874. Per tant, V (t) té un punt d’inflexió quan t = 3 √ 4 ≈ 1.5874. 4. Tenim dues urnes descrites a continuació: Urna I: 2 bolles negres, 1 bolla vermella i 3 bolles verdes. Urna II: 1 bolla negra, 2 bolles vermelles i 1 bolla verda. L’experiment consisteix a extraure una bolla a l’atzar de l’urna I, introduir-la en l’urna II, remoure i extraure, finalment, una bolla a l’atzar de l’urna II. Model 1. Solucions a) Donau un diagrama en arbre que representi l’experiment amb les probabilitats asso- ciades. (3 punts) b) Calculau la probabilitat que la segona bolla extreta sigui (3 punts) b.1) vermella. b.2) negra. b.3) verda. c) Sabent que la segona bolla ha esta negra, quina és la probabilitat que la primera també ho fos? (2 punts) d) Quina és la probabilitat que la primera fos vermella sent vermella la segona? (2 punts) Solució. a) b) b.1) p({2a bolla vermella}) = 4 30 + 3 30 + 6 30 = 13 30 . b.2) p({2a bolla negra}) = 4 30 + 1 30 + 3 30 = 8 30 . b.3) p({2a bolla verda}) = 2 30 + 1 30 + 6 30 = 9 30 . c) p(1a N/2a N) = p({N} i {N}) p(2a N) = 4 30 8 30 = 4 8 = 1 2 . d) p(1a VE/2a VE) = p({VE} i {VE}) p(2a VE) = 3 30 13 30 = 3 13 . Model 1. Solucions 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4.1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Taula 1: Taula de la distribució normal N(0, 1). Model 2. Solucions Contestau de manera clara i raonada una de les dues opcions proposades. Es disposa de 90 minuts. Cada qüestió es puntua sobre 10 punts. La qualificació final s’obté de dividir el total entre 4. Es valoraran la correcció i la claredat en el llenguatge (matemàtic i no matemàtic) emprat per l’alumne. Es valoraran negativament els errors de càlcul. Podeu utilitzar calculadora de qualsevol tipus, cient́ıfica, gràfica o programable, però no sautoritzarà lús de les que portin informació emmagatzemada o puguin transmetre-la. OPCIÓ A 1. a) Donades A, una matriu quadrada invertible qualsevol, i A−1 la seva inversa; quina matriu s’ha d’obtenir en calcular A ·A−1 i A−1 ·A? Descriviu/indicau com és aquesta matriu. (1 punt) b) Considerau la matriu A = ( 2 x 0 x+ 2 ) i) Calculau els valors de x per als quals se satisfà que (5 punts) A2 = 2 ·A. ii) Per a x = −1, calculau A−1. Comprovau el resultat calculant A ·A−1. (4 punts) Solució. a) A ·A−1 = I = A−1 ·A, on I és la matriu identitat (una matriu diagonal amb 1 a la diagonal principal i tots els altres elements nuls). b) A2 = ( 2 x 0 x+ 2 ) · ( 2 x 0 x+ 2 ) = ( 4 x · (x+ 2) + 2 · x 0 (x+ 2)2 ) = ( 4 x2 + 4x 0 (x+ 2)2 ) . Aix́ı: A2 = 2 ·A ⇒ ( 4 x2 + 4x 0 (x+ 2)2 ) = ( 4 2 · x 0 2 · (x+ 2) ) d’on s’ha de resoldre l’equació següent: x2 + 2x = 0 ⇒ x = 0, x = −2. La identitat se satisfà quan x = 0 i x = −2. c) Si x = −1 tenim A = ( 2 −1 0 1 ) i det(A) = 2. Pe tant, tenim que: A−1 = 1 2 ( 1 0 1 2 )t = ( 1 2 1 2 0 1 ) . Model 2. Solucions Finalment, tenim que: A ·A−1 = ( 2 −1 0 1 ) · ( 1 2 1 2 0 1 ) = ( 1 0 0 1 ) 2. Un article de consum va estar a la venda durant 8 anys, i el seu preu P (t) (en milers d’euros) va variar amb el temps t (en anys) que portava al mercat segons la funció: P (t) = { 1 3 t3 + 4t2 + 40, 0 ≤ t ≤ 6, −113 14 t2 + 3826 7 , 6 < t ≤ 8. a) Quin va ser el preu de sortida del producte? (1 punt) b) És cont́ınua la funció? És derivable? Donau els conjunts de continüıtat i derivabilitat. (4 punts) c) Determinau els intervals de creixement i decreixement del preu del producte. (3 punts) d) Esbrinau en quin moment es varen assolir els preus màxim i mı́nim i quins varen ser aquests preus. (2 punts) Solució. a) El preu de sortida del producte va ser de 40.000 e, ja que: P (0) = 40. b) A t = 6 la funció és cont́ınua, perquè es compleix que: P (6) = P (6−) = lim t→6− 1 3 t3 + 4t2 + 40 = 256. P (6+) = lim t→6+ −113 14 t2 + 3826 7 = 256, i P (6) = P (6−) = P (6+). Per tant, la funció és cont́ınua a (0, 8). A més: P ′(t) = { t2 + 8t, 0 < t < 6, −113 7 t, 6 < t < 8, i com que P ′(6−) = 84 6= P ′(6+) = −678 7 la funció no és derivable a t = 6. Per tant, la funció és derivable a (0, 6) ∪ (6, 8). c) Com que P ′(t) = t2 + 8t > 0 quan 0 < t < 6, P (t) és creixent en l’interval (0, 6). A més, com que P ′(t) = −113 14 t < 0 quan 6 < t < 8, tenim que P (t) és decreixent a l’interval (6, 8). Model 2. Solucions d) P (0) = 40, P (8) = 30, P (6) = 256. El preu ḿınim es va aconseguir al final de la venda del producte, i va ser de 30.000 e; el preu màxim es va aconseguir quan feia 6 anys que es venia el producte, i va ser de 256.000 e. 3. En una màquina s’han fabricat 100 peces, de les quals 15 han presentat algun defecte. a) Calculau la proporció de peces que no són defectuoses. (2 punts) b) Calculau la probabilitat que, si examinam dues peces a l’atzar, ambdues resultin defec- tuoses. (5 punts) c) Si provam dues peces a l’atzar i la primera és defectuosa, quina és la probabilitat que la segona no ho sigui? (3 punts) Solució. Siguin els successos: D = ”peça defectuosa”, D̄ = ”peça no defectuosa”. a) Si 15 peces són defectuoses, les 85 restants no ho són, aix́ı: p(D) = 15 100 = 0.15, i p(D̄) = 85 100 = 0.85. La proporció demanada és 0.85. b) Model 2. Solucions OPCIÓ B 1. Un institut té tres partides pressupostàries: llibres, material d’oficina i mobles. El pressu- post per a mobles d’aquest institut és cinc vegades la suma del de llibres més el del material d’oficina. El pressupost per a llibres és el triple del de material d’oficina. La suma del pressupost per a mobles i material d’oficina és 7 vegades el pressupost de llibres. a) Amb aquestes dades, podem saber els diners destinats a cada partida pressupostària? (7 punts) b) Determinau les quantitats si per a llibres hi ha 2100 e. (3 punts) Solució. a) Siguin: x = pressupost per a mobles. y = pressupost per a llibres. z = pressupost per a material d’oficina. L’enunciat del problema es correspon amb el sistema d’equacions següent: x = 5(y + z), y = 3z, x+ z = 7y. ⇒  x− 5y − 5z = 0, y − 3z = 0, x− 7y + z = 0. Tenim que el determinant de la matriu del sistema val: det 1 −5 −5 0 1 −3 1 −7 1  = 0 i det ( 1 −5 0 1 ) = 1. Per tant, rang(A) = 2 i és un sistema compatible indeterminat, per la qual cosa no podem saber quant han destinat a cada compra. b) Si y = 2.100, aleshores z = 700, i per tant, x = 5(2.100 + 700) = 5 · 2800 = 14.000. Per a mobles destinen 14.000 e, i per a material d’oficina, 700 e. 2. KSE és una empresa que fabrica dos models de guants: un model normal i un model de luxe. L’empresa té disponibles 900 hores de temps al departament de producció, 300 hores al departament d’acabat i 100 hores al departament d’empaquetat. Les hores necessàries de cada departament per parell de guants i els beneficis, en e, es donen a la taula següent: Producció Acabat Empaquetat Beneficis Normal 1 1/2 1/8 4 De luxe 3/2 1/3 1/4 8 Model 2. Solucions Quants parells de cada model han de fabricar per maximitzar el benefici? Quin és aquest benefici? (10 punts) S’ha de plantejar el problema com un problema de programació lineal, dibuixant la regió factible de solucions i determinant i dibuixant els seus vèrtexs. Solució. Siguin: x→“nombre de parells de guants del model normal”, y→“nombre de parells de guants del model de luxe”. Model Normal Model luxe Hores Dep. Producció 1 3/2 900 → x+ 3 2 y ≤ 900, Dep. Acabat 1/2 1/3 300 → 1 2 x+ 1 3 y ≤ 300, Dep. Empaquetat 1/8 1/4 100 → 1 8 x+ 1 4 y ≤ 100, Beneficis (e) 4 8 → f(x, y) = 4x+ 8y, i, a més, x ≥ 0, y ≥ 0. La regió factible està fitada amb vèrtexs A = (0, 0), B = (600, 0), C = (500, 150), D = (0, 400). f(0, 0) = 0, f(600, 0) = 2400, f(500, 150) = 3200, f(0, 400) = 3200. Si traçam paral̊uleles a la funció objectiu, tenim que el màxim s’aconsegueix en el segment DC. Com que són parells de guants, només hem de considerar els punts que tinguin coor- denades enteres de la forma (x, 800−x 2 ), amb 0 ≤ x ≤ 500 i x un nombre parell. El benefici màxim és de 3.200 e. 3. Dibuixau l’àrea tancada entre els gràfics de les funcions següents: f(x) = x3 + 1, g(x) = Model 2. Solucions x+ 1 (4 punts). Calculau l’àrea del recinte anterior (6 punts). Solució. Calculem els punts de tall entre ambdues corbes: x3 + 1 = x+ 1 ⇒ x3 − x = 0 ⇒ x = −1, x = 0, x = 1. Aleshores, l’àrea demanada serà: A = ∫ 0 −1 (x3 − x)dx+ ∫ 1 0 (x− x3)dx = x4 4 − x2 2 ∣∣∣∣x=0 x=−1 + x2 2 − x4 4 ∣∣∣∣x=1 x=0 = 1 4 u2 + 1 4 u2 = 1 2 u2. A la figura es pot veure la regió associada al problema. 4. Una empresa té dues fàbriques, en la primera són dones el 60% dels treballadors i en la segona són homes el 55% dels treballadors. Es tria a l’atzar un treballador de cada fàbrica per pertànyer al comitè d’empresa. Suposam que el fet de pertànyer a una fàbrica és independent de pertànyer a l’altra. a) Calculau la probabilitat dels esdeveniments següents: (6 punts) A =“Tots dos són homes”. B =“Solament un és dona”. C =“Tots dos són dones”. b) Raonau si el succés contrari de l’esdeveniment C és l’A, el B, l’A∩B, l’A∪B o algun altre esdeveniment, i calculau-ne la probabilitat. (4 punts) Solució. a) Siguin F1 i F2 la primera i la segona fàbrica respectivament. Siguin M i H els esdeveniments ser dona i ser home respectivament. De les dades de l’enunciat tenim que: p(M/F1) = 0.6, p(H/F1) = 0.4, p(M/F2) = 0.45, p(H/F2) = 0.55, Model 1. Criteris espećıfics de correcció Cada qüestió té una puntuació màxima de 10. Cal tenir presents les puntuacions parcials màximes que apareixen a les qüestions amb més d’un apartat. Pel que fa a aquelles qüestions que tenen apartats sense puntuar, se suposarà que cadascun té la mateixa valoració. Es valoraran la correcció i la claredat en el llenguatge (matemàtic i no matemàtic) emprat per l’alumne. Penalitzau els errors de càlcul. Els errors greus i, especialment, aquells que portin a resultats incoherents o absurds, penalitzau-los amb el 50 per cent sobre la qualificació de la qüestió. Valorau totes les parts que siguin correctes, encara que el resultat final no ho sigui. Hi pot haver casos en què hi hagi dubtes en aplicar els criteris que es detallen a continuació. En aquests casos, feu prevaler el vostre criteri i sentit comú. OPCIÓ A 1. a) Càlcul correcte de A ·B: 2 punts. Càlcul correcte del det(A ·B): 1 punt. Indicar que la matriu A ·B no té mai inversa: 1 punt. b) Càlcul correcte de B ·A: 2 punts. Càlcul correcte del det(B ·A): 1 punt. Indicar que la matriu B · A té inversa per a qualsevol nombre real k, ja que el seu determinant no s’anul·la mai: 1 punt. c) Càlcul correcte de la matriu inversa de B ·A quan k = −2: 2 punts. Qualsevol altra situació no prevista prèviament: 0 punts. Si no apareixen càlculs que avalin els resultats: 0 punts. 2. a) Estudi correcte de la continüıtat seguint la solució del problema: 3 punts. Si falta qualque detall o justificació, màxim: 1.5 punts. b) Indicar que no és derivable en x = 3 amb justificació: 1 punt. Indicar que la funció és derivable a (0, 3) ∪ (3, 8): 1 punt. c) Si la gràfica que es mostra és correcta i apareixen indicacions de la manera com s’ha obtingut: 3 punts. S’ha de notar clarament que la segona part de la funció B(x) és una paràbola, en cas contrari, màxim: 1.5 punts. d) Indicació correcta dels extrems absoluts amb justificació: 0.5 punts per extrem. e) Indicació correcta dels intervals de creixement i decreixement amb justificació: 0.5 punts per interval. 3. a) Determinació correcta de p: 2 punts. Indicar la probabilitat del succés: 2 punts. b) Càlcul correcte de la probabilitat demanada: 2 punts. c) Càlcul correcte de la probabilitat demanada: 2 punts. d) Càlcul correcte de la probabilitat demanada: 2 punts. 4. a) Justificació i càlcul correcte del valor cŕıtic: 2 punts. Sense justificació i càlculs del valor cŕıtic: màxim: 1 punt. Justificació i càlcul correcte de l’interval de confiança: 3 punts. Si tan sols apareix directament l’interval: màxim: 1 punt. Model 1. Criteris espećıfics de correcció b) Indicar que les mostres de grandària 9 es distribueixen seguint la normal indicada a les solucions: 2 punts. Càlcul correcte de la probabilitat demanada: 3 punts. OPCIÓ B 1. Interpretació correcta de l’enunciat com a equacions lineals: 4 punts. Si la traducció a equacions no és correcta: 0 punts. Solució correcta del sistema d’equacions plantejat: 6 punts. Qualsevol altra situació: 0 punts. 2. a) Dibuix correcte del conjunt A: 3 punts. Si falta qualque indicació de recta o de vèrtex, cal restar mig punt per recta i/o vèrtex. Nota mı́nima: 0 punts. Si hi ha error en el càlcul d’algun dels vèrtexs, però els altres estan ben calculats: màxim 2 punts. Si hi ha més d’un error: 0 punts. Indicar que el màxim s’aconsegueix al punt (30, 0): 1 punt. Indicar que podem eliminar la inequació 3x+ y ≥ 15: 1 punt. b) Dibuix correcte del conjunt A: 3 punts. Si falta qualque indicació de recta o de vèrtex, cal restar mig punt per recta i/o vèrtex. Nota mı́nima: 0 punts. Si hi ha error en el càlcul d’algun dels vèrtexs, però els altres estan ben calculats: màxim: 2 punts. Si hi ha més d’un error: 0 punts. Indicar i justificar que la funció no aconsegueix el màxim: 2 punts. 3. a) Càlcul correcte de la primitiva: 4 punts. Si no apareix la constant d’integració: 3 punts. Qualsevol altra situació 0 punts. b) Aplicació correcta de la regla de Barrow, expressant la integral definida com a F ( 3 √ ln 3)− F ( 3 √ ln 2), sent F la funció primitiva: 3 punts. Comprovar i justificar correctament que el valor de la integral és 1/3: 3 punts. Qual- sevol altra situació: 0 punts. 4. a) Traducció i interpretació correcta de les dades proporcionades en termes de succes- sos i probabilitats: 3 punts. Si ho fan de forma correcta amb un diagrama en arbre posant totes les probabilitats: també 3 punts. Si apareixen percentatges: 3 punts. Identificació correcta del succés del qual s’ha de trobar la probabilitat: 1 punt. Càlcul correcte de la probabilitat demanada: 2 punts. b) Identificació correcta del succés del qual s’ha de trobar la probabilitat: 1 punt. Càlcul correcte de la probabilitat que un estudiant acabi la carrera: 2 punts. Càlcul correcte de la probabilitat demanada: 1 punt. Model 1. Solucions Contestau de manera clara i raonada una de les dues opcions proposades. Es disposa de 90 minuts. Cada qüestió es puntua sobre 10 punts. La qualificació final s’obté de dividir el total entre 4. Es valoraran la correcció i la claredat en el llenguatge (matemàtic i no matemàtic) emprat per l’alumne. Es valoraran negativament els errors de càlcul. Podeu utilitzar calculadora de qualsevol tipus, cient́ıfica, gràfica o programable, però no s’autoritzarà l’ús de les que portin informació emmagatzemada o puguin transmetre-la. OPCIÓ A 1. Considerau les matrius següents: A = 1 0 2 k 0 1  , B = ( k 0 −1 1 1 2 ) , on k és un paràmetre real. a) Calculau A · B, i determinau en funció dels valors reals de k si la matriu A · B té inversa. (4 punts) b) Estudiau el mateix que a l’apartat a) però ara amb la matriu B ·A. (4 punts) c) Per a k = −2 calculau la matriu inversa de B ·A. (2 punts) Solució. a) Tenim que A ·B =  k 0 −1 3 · k k 2 · k − 2 1 1 2  Aleshores, com que det(A ·B) = 0 tenim que el rang de la matriu A·B és menor que 3 i aquesta matriu no té mai inversa. b) En aquest cas, tenim que B ·A = ( k −1 3 k + 2 ) Per tant, det(B ·A) = k · (k + 2) + 3 = k2 + 2k + 3 que no s’anul·la si k és real. Aix́ı, la matriu B ·A té inversa per a tot k real. c) Quan k=-2, tenim que B ·A = ( −2 −1 3 0 ) . 1 Model 1. Solucions d) p(imparell) = 1− p(parell) = 1− 7 10 = 3 10 . 4. En una fàbrica de piles se sap que la desviació t́ıpica de la durada d’un determinat tipus de pila és de 80 hores. a) Si α = 0.2 (nivell de significació), i en una mostra de 50 d’aquestes piles la durada mitjana és de 500 hores, determinau l’interval de confiança per a la durada mitjana poblacional. (5 punts) b) Si la durada d’aquest tipus de pila segúıs una normal de mitjana 500 hores i desviació t́ıpica 80 hores, quina seria la probabilitat que la durada mitjana de 9 piles fos major que 520 hores? (5 punts) Solució. a) Un interval de confiança per a la mitjana de la població amb un nivell de significació α (nivell de confiança 1− α) és( x− zα 2 σ√ n , x+ zα 2 σ√ n ) , on n = 50, x = 500 i σ = 80. Calculem el valor cŕıtic zα 2 i busquem el seu valor a la taula N(0, 1) donada amb els enunciats. α = 0.2, =⇒ α 2 = 0.1 =⇒ zα 2 = z0.1. φ(zα 2 ) = φ(z0.1) = 1− 0.1 = 0.90 =⇒ zα 2 = φ−1(0.90) = 1.28 + 1.29 2 = 1.285. En aquest cas l’interval de confiança demanat és:( x− zα 2 σ√ n , x+ zα 2 σ√ n ) = (500− 1.285 · 80√ 50 , 500 + 1.285 · 80√ 50 ) ≈ (500− 14.54, 500 + 14.54) = (485.46, 514.54). b) Si la durada d’aquestes piles es distribueix segons N(500, 80), la durada mitjana de les mostres de grandària 9 es distribueix x ∼ N(500, 80√ 9 ) ≈ N(500, 26.67). Per tant, p(x > 520) = p ( z > 520− 500 26.67 ) = p(z > 0.75) = 1− p(z < 0.75) = 1− 0.7734 = 0.2266. 4 Model 1. Solucions OPCIÓ B 1. El preu de l’estada diària en un hotel és de 50 e per persona. Els infants paguen el 50% d’aquest preu, i els jubilats paguen el 60% d’aquest preu. Determinau el nombre de persones que no són ni infants ni jubilats, el nombre d’infants i el de jubilats que hi havia un dia a l’hotel si se sap que: hi havia 200 persones, el nombre de jubilats era igual al 25% del nombre d’infants i varen recaptar un total de 5.680 e per l’estada de tots. (10 punts) Solució. Siguin: x = nombre de persones que no són ni infants ni jubilats. y = nombre de persones que són infants. z = nombre de persones que són jubilats. L’enunciat del problema es correspon amb el sistema d’equacions següent: x+ y + z = 200, z = 0.25y, 50x+ 25y + 30z = 5680. ⇒  x+ y + z = 200, 0.25y − z = 0, 50x+ 25y + 30z = 5680. ⇒ x = 20, y = 144, z = 36. Per tant, hi havia 20 persones que no eren ni infants ni jubilats, 144 infants i 36 jubilats. 2. Considerau la funció f(x, y) = x− y. a) Representau el conjunt de punts del pla definit per: A = {(x, y) : 3x+ y ≥ 15, y − x ≤ −5, 2x+ 3y ≤ 60, y ≥ 0} i calculau el valor màxim de f(x, y) a A. Es podria eliminar alguna de les desigualtats que defineixen el conjunt A de manera que encara fos el mateix conjunt? (5 punts) b) Digau si la funció f(x, y) assoleix el valor màxim en el conjunt: (5 punts) B = {(x, y) : 3x+ y ≤ 15, x− y ≥ 5, x ≥ 0} Solució. a) El conjunt A es pot veure a la figura següent: 5 Model 1. Solucions El conjunt A està fitat i té com a vèrtexs els punts: A = (5, 0), B = (30, 0), C = (15, 10). La funció f(x, y) = x − y aconsegueix el màxim en algun dels vèrtexs. Com que f(A) = 5 = f(C) i f(B) = 30, el màxim s’aconsegueix a B i val 30. Com es pot veure a la figura, podem eliminar la inequació 3x + y ≥ 15, de manera que continuarem tenint el mateix conjunt. b) El conjunt B es pot veure a la figura següent: El conjunt B no està fitat i té per vèrtexs els punts: A = (0,−5), B = (5, 0) Si traçam paral·leles a la funció objectiu que passin per aquests vèrtexs, comprovam que la recta x− y = 5 passa per A i B, i obtenim en aquests vèrtexs el valor ḿınim. Per tant, la funció objectiu no aconsegueix el màxim en el conjunt B. 6 Model 1. Solucions 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4.1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Taula 1: Taula de la distribució normal N(0, 1). 9 Model 2. Solucions Contestau de manera clara i raonada una de les dues opcions proposades. Es disposa de 90 minuts. Cada qüestió es puntua sobre 10 punts. La qualificació final s’obté de dividir el total entre 4. Es valoraran la correcció i la claredat en el llenguatge (matemàtic i no matemàtic) emprat per l’alumne. Es valoraran negativament els errors de càlcul. Podeu utilitzar calculadora de qualsevol tipus, cient́ıfica, gràfica o programable, però no s’autoritzarà l’ús de les que portin informació emmagatzemada o puguin transmetre-la. OPCIÓ A 1. Un comerciant ven tres tipus de rellotges, A, B i C. Els rellotges de tipus A els ven a 300e; els de tipus B, a 600e, i els de tipus C, a 200e. En un mes determinat va vendre 200 rellotges en total. Si la quantitat dels que va vendre aquest mes de tipus B va ser igual als que va vendre de tipus A i tipus C conjuntament, calculau quants rellotges va vendre de cada tipus si la recaptació d’aquest mes va ser de 89.000e. (10 punts) Solució. Siguin: x = nombre de rellotges de tipus A, y = nombre de rellotges de tipus B, z = nombre de rellotges de tipus C. L’enunciat del problema es correspon amb el sistema d’equacions següent: x+ y + z = 200, 300x+ 600y + 200z = 89000, y = x+ z. ⇒ { 2x+ 2z = 200, 900x+ 800z = 89000. ⇒ { 2x+ 2z = 200, 9x+ 8z = 890. D’on: x = 90, y = 100 i z = 10. S’han venut, per tant: 90 rellotges de tipus A, 100 rellotges de tipus B i 10 rellotges de tipus C. 2. Una empresa de compra/venda d’automòbils ha comprovat que els últims 10 anys els seus beneficis/pèrdues s’ajusten a la funció F (t) = t3 − 18t2 + 81t− 3, 0 ≤ t ≤ 10 en milers d’euros. Es demana: a) En quins anys es produeixen els valors màxims i mı́nims d’aquesta funció? (5 punts) b) Determinau els peŕıodes de creixement i decreixement. (3 punts) c) Quins són els seus beneficis màxims? Quin resultat va obtenir l’empresa l’últim any de l’estudi? (2 punts) 1 Model 2. Solucions Solució. a) El màxim i ḿınim absolut de la funció F (t) es troben en els extrems relatius o en els extrems de l’interval [0, 10]. F ′(t) = 3t2 − 36t+ 81, F ′(t) = 0 ⇒ t = 3, t = 9. Tenim que, F ′′(t) = 6t− 36 ⇒ F ′′(3) = −18 < 0 ⇒ màxim relatiu, ⇒ F ′′(9) = 18 > 0 ⇒ ḿınim relatiu. F (0) = −3, F (10) = 7, F (3) = 105, F (9) = −3. El valor màxim s’aconsegueix als tres anys de començar l’estudi. El valor ḿınim de l’estudi es dóna a l’inici de l’estudi (t = 0) i al cap de 9 anys. b) De l’apartat anterior ja coneixem els possibles intervals de creixement i decreixement: (0, 3), (3, 9) i (9, 10). Per tant, com que F ′(1) = 48 > 0, F ′(4) = −15 < 0, F ′(9.5) = 9.75 > 0. Fem la taula següent per estudiar el creixement i el decreixement: x 0 3 9 10 F ′(t) + − + F (t) ↗ ↘ ↗ Per tant, la funció serà creixent als intervals (0, 3) i (9, 10), i decreixent a l’interval (3, 9). c) Els beneficis màxims són de 105.000e, ja que F (3) = 105 ⇒ 105.000e Com que F (10) = 7, els beneficis l’últim any de l’estudi són de 7.000e. 3. Siguin A i B dos successos tals que p(A ∪ B) = 0.9, p(Ac) = 0.4, on Ac denota el succés complementari del succés A, i P (A ∩B) = 0.2. Calculau les probabilitats següents: p(B) (3 punts), p(A/B) (2 punts), p(A ∩Bc) (3 punts) i p(Ac ∪Bc) (2 punts). Solució. p(B): 0.9 = p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B) = 1− p(Ac) + p(B)− p(A ∩B) = 1− 0.4 + p(B)− 0.2 = 0.4 + p(B) ⇒ p(B) = 0.5. a) p(A/B): p(A/B) = p(A ∩B) p(B) = 0.2 0.5 = 0.4. 2 Model 2. Solucions 3. Considerau la funció f(x) = { ex−1, si − 1 ≤ x < 1 (x+ a)2, si x ≥ 1. Es demana: a) Per a quins valors de a la funció és cont́ınua a x = 1? (6 punts) b) Per al valor de a que fa cont́ınua la funció f en tot el seu domini, calculau les derivades de f en els punts x = 0 i x = 3. Com és el creixement i decreixement de la funció en aquests punts? (4 punts) Solució. a) La funció f(x) serà cont́ınua a x = 1 sempre que: lim x→1− f(x) = lim x→1+ f(x) = f(1). Per tant: lim x→1− f(x) = limx→1 e x−1 = e0 = 1, lim x→1+ f(x) = limx→1(x+ a)2 = (1 + a)2. ⇒ (1 + a)2 = 1. D’on a2 + 2a+ 1 = 1, i per tant, a = 0 o a = −2. b) x = 0 ∈ [−1, 1) ⇒ f ′(x) = ex−1, f ′(0) = e−1 > 0. x = 3 ∈ [1,+∞) ⇒ f ′(x) = 2(x+ a), Si a = 0, f ′(3) = 2(3 + 0) = 6 > 0. Si a = −2, f ′(3) = 2(3− 2) = 2 > 0. 5 Model 2. Solucions Com que les derivades són positives en tots dos punts, la funció és creixent. 4. Un estoig conté 17 llapis de color vermell i 13 de color blau. a) Si en triam un a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui vermell? (2 punts) b) Si n’extraiem dos a l’atzar, sense reemplaçament, quina és la probabilitat que tots dos siguin de color blau? (4 punts) c) Si en triam dos a l’atzar, sense reemplaçament, calculau la probabilitat que el primer sigui blau i el segon sigui vermell. (4 punts) Solució. Tenim: 17 + 13 = 30 llapis en total. Considerem els successos següents: A = llapis de color blau, B1 = llapis de color vermell. A1 R1 13/30 17/30 12/29 17/29 13/29 16/29 A2 R2 A2 R2 a) p(R) = 17 30 . b) p(A1 ∩ A2) = p(A1)p(A2/A1) = 13 30 12 29 = 26 145 . c) p(A1 ∩R2) = p(A1)p(R2/A1) = 13 30 17 29 = 221 870 . 6 Model 2. Solucions 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4.1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Taula 2: Taula de la distribució normal N(0, 1). 7 Model 1. Solucions Contestau de manera clara i raonada una de les dues opcions proposades. Es disposa de 90 minuts. Cada qüestió es puntua sobre 10 punts. La qualificació final s’obté de dividir el total entre 4. Es valoraran la correcció i la claredat en el llenguatge (matemàtic i no matemàtic) emprat per l’alumne. Es valoraran negativament els errors de càlcul. Podeu utilitzar calculadora de qualsevol tipus, cient́ıfica, gràfica o programable, però no s’autoritzarà l’ús de les que portin informació emmagatzemada o puguin transmetre-la. OPCIÓ A 1. Considerau les matrius següents: A = ( 2 −5 1 −3 ) , B = ( 3 −1 0 1 ) i C = ( 1 2 −1 5 ) . Es demana: a) Calculau A2 −B ·Ct, on Ct és la transposada de la matriu C. (5 punts) b) Resoleu l’equació matricial A ·X + B = C. (5 punts) Solució. a) Tenim que A2 = ( 2 −5 1 −3 )( 2 −5 1 −3 ) = ( 4− 5 −10 + 15 2− 3 −5 + 9 ) = ( −1 5 −1 4 ) B ·Ct = ( 3 −1 0 1 )( 1 2 −1 5 )t = ( 3 −1 0 1 )( 1 −1 2 5 ) = ( 3− 2 −3− 5 0 + 2 0 + 5 ) = ( 1 −8 2 5 ) Finalment: A2 −B ·Ct = ( −1 5 −1 4 ) − ( 1 −8 2 5 ) = ( −2 13 −3 −1 ) b) Sabem que A ·X + B = C ⇒ A ·X = C−B ⇒ A ·X = ( 1 2 −1 5 ) − ( 3 −1 0 1 ) = ( −2 3 1 4 ) ⇒ X = A−1 ( −2 3 1 4 ) . 1 Model 1. Solucions Per tant, hem de trobar la matriu inversa de A.( 2 −5 1 −3 ∣∣∣∣ 1 0 0 1 ) ∼ ( 2 −5 0 −1 ∣∣∣∣ 1 0 −1 2 ) ∼ ( 2 0 0 −1 ∣∣∣∣ 6 −10 −1 2 ) ∼ ( 1 0 0 1 ∣∣∣∣ 3 −5 1 −2 ) ⇒ A−1 = ( 3 −5 1 −2 ) . D’on: X = ( 3 −5 1 −2 )( −2 3 −1 4 ) = ( −1 −11 0 −5 ) . 2. Un estudi sobre la presència de CO2 en l’atmosfera d’una ciutat indica que el nivell de contaminació ve donat per la funció C(t) = −0.2t2 + 4t+ 25, 0 ≤ t ≤ 25, (t= anys transcorreguts des de l’any 2000). Es demana: a) En quin any s’aconseguirà un màxim en el nivell de contaminació? (4 punts) b) En quin any s’assolirà el nivell de contaminació zero? (2 punts) c) Quan t = 17 el nivell de contaminació serà creixent o decreixent? (4 punts) Solució. a) Per trobar el valor màxim derivam i igualam a zero: C ′(t) = −0.4t+ 4 = 0 ⇒ t = 4 0.4 = 10 anys des del 2000. El màxim nivell de contaminació s’aconseguirà l’any 2010. b) −0.2t2 + 4t + 25 = 0, aleshores t = −5 i t = 25. El nivell de contaminació 0 s’aconseguirà en 25 anys des de l’any 2000, és a dir, l’any 2025. c) C ′(t) = −0.4t + 4, per tant, C ′(17) = −2.8 < 0, per tant, l’any 2017 el nivell de contaminació serà decreixent. 3. Siguin A i B dos successos que tenen probabilitats 0.4 i 0.6 respectivament. Se sap que, donat B, la probabilitat que ocorri A és 0.3. Es demana: a) Quina és la probabilitat que ocorrin tots dos successos a la vegada? (2 punts) b) Quina és la probabilitat que ocorri qualsevol dels dos successos? (3 punts) c) Quina és la probabilitat que no ocorri cap dels dos successos? (5 punts) Solució. p(A) = 0.4, p(B) = 0.6, p(A/B) = 0.3. a) p(A ∩B) = p(A/B)p(B) = 0.3 · 0.6 = 0.18. b) p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B) = 0.4 + 0.6− 0.18 = 0.82. c) p(Ac ∩Bc) = p((A ∪B)c) = 1− p(A ∪B) = 1− 0.82 = 0.18. 2 Model 1. Solucions 4. En una certa entitat bancària, el 40 % dels crèdits concedits són per a habitatge, el 50 % es destinen a empreses, i el 10 % són per a consum. Se sap, a més, que dels crèdits concedits a habitatge, el 15 % resulten impagats; dels crèdits concedits a empreses, són impagats el 20 %; i dels crèdits concedits al consum, resulten impagats el 15 %. a) Calculau la probabilitat que un cert crèdit triat a l’atzar sigui pagat. (6 punts) b) Quina és la probabilitat que un crèdit triat a l’atzar s’hagi destinat a consum, sabent que s’ha pagat? (4 punts) Solució. Considerem els successos següents: V = crèdit d’habitatge, E = crèdit d’empreses, C = crèdit de consum, I = crèdit impagat, P = crèdit pagat. Tenim que: p(V ) = 0.4, p(E) = 0.5, p(C) = 0.1, p(I/V ) = 0.15, p(I/E) = 0.2, p(I/C) = 0.15, p(P/V ) = 0.85, p(P/E) = 0.8, p(P/C) = 0.85. a) p(P ) = p(V )p(P/V ) + p(E)p(P/E) + p(C)p(P/C) = 0.4 · 0.85 + 0.5 · 0.8 + 0.1 · 0.85 = 0.34 + 0.40 + 0.085 = 0.825. b) p(C/P ) = p(C) · p(P/C) p(P ) = 0.1 · 0.85 0.825 = 0.085 0.825 = 0.1030. 3 Model 1. Solucions b) El nostre objectiu és maximitzar els ingressos, i la nostra funció objectiu és: F (x, y) = 1.1x+ 1.5y. x y F (x, y) = 1.1x+ 1.5y. A 0 44 66 B 30 29 76.5 C 148/3 0 67,77 0 0 0 Els ingressos són màxims amb 30 lots de tipus A i amb 29 lots de tipus B. Els ingressos màxims ascendeixen a 76.5e. 3. En una certa població el consum d’aigua (en m3) en funció de les hores del dia, ve donat per C(t) =  17 9 t, si 0 ≤ t < 9, αt2 + βt− 172, si 9 ≤ t < 20, 168− 7t, si 20 ≤ t < 24. Sabent que la funció és cont́ınua a l’interval (0, 20), i que a les 15 hores s’aconsegueix el màxim consum d’aigua, determinau α i β. Solució. Si C(t) és cont́ınua a t = 9, aleshores C(9) = lim t→9− C(t) = lim t→9+ C(t), Dada que ens proporcionarà la primera de les condicions: lim t→9− C(t) = lim t→9 17 9 t = 17, lim t→9+ C(t) = lim t→9 αt2 + βt− 172 = 81α + 9β − 172, 6 Model 1. Solucions d’on 81α + 9β − 172 = 17. La segona condició ens diu que C ′(15) = 0: C ′(t) = 2αt+ β, i com que C ′(15) = 0 ⇒ 30α + β = 0. Aleshores: { 81α + 9β − 172 = 17, 30α + β = 0. ⇒ α = −1, β = 30. 4. Se sap que el pes dels jugadors de la lliga de futbol professional es distribueix segons una normal de desviació t́ıpica de 6 kg. Per estudiar el pes mitjà dels jugadors, s’extreu una mostra de grandària 8, i s’obtenen els resultats següents: 63.7; 48; 43.5; 65; 82; 70.3; 56.5; 50. a) Calculau un interval de confiança a un nivell de significació del 10 % per al pes mitjà dels jugadors. (6 punts) b) De quina grandària ha de ser la mostra perquè amb el mateix nivell de significació l’error comès en l’estimació no excedeixi 1.2 kg? (4 punts) Solució. a) Un interval de confiança per a la mitjana de la població amb un nivell de significació α (nivell de confiança 1− α) és( x− zα 2 σ√ n , x+ zα 2 σ√ n ) , on n = 8, x s’ha de calcular i σ = 6. Calculem el valor cŕıtic zα 2 i busquem el seu valor a la taula N(0, 1) donada amb els enunciats. α = 0.96, =⇒ α 2 = 0.05 =⇒ zα 2 = z0.05. φ(zα 2 ) = φ(z0.05) = 1− 0.05 = 0.95 =⇒ zα 2 = φ−1(0.95) = 1.65. Sabem que: x = 63, 7 + 48 + 43, 5 + 65 + 82 + 70, 3 + 56, 5 + 50 8 = 59, 87. Per tant:( x− zα 2 σ√ n , x+ zα 2 σ√ n ) = (59, 87− 1.65 · 6√ 8 , 59, 87 + 1.65 · 6√ 8 ) ≈ (59, 87− 3, 500, 58, 87 + 3, 500) = (56.37, 63.37). b) Sabem que l’error és E = zα 2 · σ√ n =⇒ √ n = zα 2 · σ E . 7 Model 1. Solucions Com que ha de ser E ≤ 1, 2, podem suposar E = 1, 2. Per tant: √ n = 1.65 · 6 1, 2 ⇐⇒ n ≈ ( 1.65 · 6 1, 2 )2 ≈ 68, 0625 =⇒ n ≥ 69. La grandària mostral ḿınima que es necessita és de 69 jugadors. 8