Soluciones ejercicios, Ejercicios de Estadística. Universitat Autònoma de Barcelona (UAB)
a1997-1
a1997-1

Soluciones ejercicios, Ejercicios de Estadística. Universitat Autònoma de Barcelona (UAB)

6 páginas
7Número de visitas
Descripción
Asignatura: Inferència Estadística, Profesor: rosario de la torre, Carrera: Estadística Aplicada, Universidad: UAB
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 6
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento

Inferència Estad́ıstica I

Grau en Estad́ıstica Aplicada

Solucions Llista 1(Distribucions mostrals. Teorema Central del Ĺımit)

1) a)

µ = E(X) = 1× 0.3 + 3× 0.7 = 2.4, E(X2) = 1× 0.3 + 32 × 0.7 = 6.6,

σ2 = var(X) = E(X2)− (E(X))2 = 0.84

b)

x1 x2 x3 p(X1 = x1, X2 = x2, X3 = x3) x = x1+x2+x3

3

1 1 1 0.33 1 1 1 3 0.32 × 0.7 5/3 1 3 1 0.32 × 0.7 5/3 1 3 3 0.3× 0.72 7/3 3 1 1 0.32 × 0.7 5/3 3 1 3 0.3× 0.72 7/3 3 3 1 0.3× 0.72 7/3 3 3 3 0.73 3

Per tant, la funció de probabilitat de X és:

x P (X = x) 1 0.33 = 0.027

5/3 3× 0.32 × 0.7 = 0.189 7/3 3× 0.3× 0.72 = 0.441 3 0.73 = 0.343

E(X) = 1× 0.027 + 5 3 × 0.189 + 7

3 × 0.441 + 3× 0.343 = 2.4 (= µ)

E(X 2 ) = 1× 0.027 + 25

9 × 0.189 + 49

9 × 0.441 + 9× 0.343 = 6.04

var(X) = E(X 2 )− (E(X))2 = 6.04− 5.76 = 0.28 (= σ

2

n =

0.84

3 ).

2) Si diem X = alçada dels homes d’aquesta ètnia, tenim que X ∼ N(µ, 52), cosa que implica que X ∼ N(µ, 5

2

100 ). Volem

P (|X − µ| < 1.6) = P (−1.6 < X − µ < 1.6)

Estandaritzant, la darrera expressió és igual a

P ( −1.6

5/ √

100 <

X − µ 5/ √

100 <

1.6

5/ √

100

) = P

(−1.6 0.5

< Z < 1.6

0.5

) = P (−3.2 < Z < 3.2) = Φ(3.2)− Φ(−3.2) = 2 Φ(3.2)− 1 = 2× 0.99931− 1 = 0.99862.

1

3) Diguem X = vida d’activitat del fàrmac. Sabem que X ∼ N(1200, 402). Volem trobar n per tal que

P (X > 1180) (≥) = 0.95.

Amb el (≥) a dalt del signe = volem dir que també acceptarem que la probabilitat pugui ser una mica més gran; el que busquem és el mı́nim n que compleix això. Com que

X ∼ N ( 1200,

402

n

) ,

estandaritzarem l’expressió anterior i el que volem és que

P (X − 1200

40/ √ n ≥ 1180− 1200

40/ √ n

) = P

( Z ≥ −0.5

√ n ) (≥)

= 0.95.

Usant la simetria de la llei normal estàndard, d’aqúı dedüım que

Φ(0.5 √ n) ≥ 0.95

o equivalentment 0.5 √ n ≥ 1.645

d’on, resolent l’inequació, obtenim n ≥ 10.8241. Per tant prendrem n = 11 medicaments al lot, com a mı́nim.

4) Si X segueix una distribució exponencial amb λ = 1/4, aleshores µ = E[X] = 1/λ = 1/(1/4) = 4 i σ2 = V ar[X] = 1/λ2 = 1/(1/4)2 = 16. Com que n = 225 > 30, aplicant el Teorema Central del Ĺımit (TCL) tenim que

X225 ≈ N(4, 16/225), i per tant,

P (X225 > 4.5) = P (X225 − 4√

16/225 >

4.5− 4√ 16/225

) ' P (Z > 1.875) = 0.0304

Comentari: Aqúı hem utilitzat una notació que s’usa quan volem posar de manifest la mida de la mostra: escriurem Xn per a la mitjana mostral d’una variable X basada en una mostra de mida n.

5) Com que la durada és de com a mı́nim 400 dies, i a partir d’aquests dies segueix una distribució exponencial, si diem Y = “durada del fàrmac”, resulta que Y es pot expressar com

Y = 400 +X, amb X ∼ Exp(0.04).

Hem de calcular P (Y 100 > 425) = P (X100 + 400 > 425) = P (X100 > 25),

sabent que X segueix una distribució exponencial, amb E(X) = 1/λ = 25, var(X) = 1/λ2 = 252.

Com que n = 100 > 30 podem aproximar X100 ≈ N(25, 25 2

100 ), i obtenim P (X100 > 25) ' P (Z > 0) = 0.5.

6) En aquest problema no coneixem la distribució de la v.a. que ens interessa, X= “longitud a la que podem estirar el filament fins que es trenca”. Només sabem que µ = E(X) = 1500 i que σ =

√ Var(X) = 500.

a) Volem calcular, per a una mostra de mida n = 100 (prou gran per a poder aplicar el TCL),

P (1425 < X < 1575) = P (1425− 1500

500/ √

100 < X − 1500 500/ √

100 <

1575− 1500 500/

√ 100

) ' P (−1.5 < Z < 1.5) = 2Φ(1.5)− 1 = 2× 0.93319− 1 = 0.86638.

Apliquem ara la desigualtat de Txebixev. Primer observem que

P (1425 < X < 1575) = P (|X − 1500| < 75)

i tenint en compte que 1500 = E(X), podem aplicar la desigualtat de Txebixev que ens diu que

P (|X − 1500| < 75) ≥ 1− Var(X) 752

= 1− 500 2/100

752 = 1−

(2 3

)2 =

5

9 ' 0.55556.

2

b) Per Txebixev, busquem n tal que

1− 500 2/n

752 ≥ 0.95⇔ 500

2

n ≤ 752 × 0.05⇔ n ≥ 500

2

752 × 0.05 ∼= 888.88889

Per tant, n ≥ 889.

7) X = nombre de defectuosos en 5000.

X =

n=5000∑ i=1

Xi, Xi ∼ B(p), p = 0.01

(de fet, X ∼ B(n = 5000, p = 0.01)).

P (X > 50) = 1− P (X ≤ 50) ∼= 1− P (Z ≤ 50 + 0.5− n p√ n p (1− p)

) ∼= 1− P (Z ≤ 0.07)

= 1− Φ(0.07) = 1− 0.52790 = 0.47210.

Es verifica que n p = 50 ≥ 5 i n (1− p) = 4950 ≥ 5. Fins i tot, es verifica que n p (1− p) = 49.5 ≥ 20, per tant, l’aproximació és molt bona.

8) X = “nombre de femelles en 1000”. X ∼ B(n = 1000, p = 0.5). Amb la correcció de Yates,

P (X ≥ 475) ∼= 1− P (Z ≤ 474 + 0.5− n p√

n p (1− p) ) = 1− P (Z ≤ 474.5− 500√

250 )

∼= 1− P (Z ≤ −1.61) = Φ(1.61) = 0.94630

Es verifica que n p (1− p) = 250 ≥ 20. Per tant, l’aproximació és molt bona.

9) X=“nombre d’empleats de baixa d’entre els 150”. X ∼ B(150, 0.40). Com n p q = 150× 0.4× 0.6 = 36 > 18, podrem aproximar per una N(n p, n p q) = N(60, 36). Volem que el nombre de baixes sigui no inferior al 35% de 150 que és 52.5. Aix́ı, volem calcular P (X ≥ 53) que si apliquem la correcció de Yates és igual a

P (X ≥ 53) ' P (X − 60√

36 ≥ 52 + 0.5− 60√

36

) ' P (Z ≥ −1.25) = Φ(1.25) = 0.89435.

10) Sigui Z = Xn1 − Y n2 la variable “diferència de mitjanes mostrals”.

a) Atès que els valors de Xi i Yi sols són 0 i 1, els valors de Z són r n1 − sn2 =

rn2−sn1 n1n2

on r = 0, 1, · · · , n1 i s = 0, 1, · · · , n2.

b) E(Z) = E(Xn1 − Y n2) = E(Xn1)− E(Y n2) = E(X)− E(Y ) = θ1 − θ2. V ar(Z) = V ar(Xn1−Y n2) = V ar(Xn1)+V ar(Y n2) = 1n1V ar(X)+

1 n2 V ar(Y ) = θ1(1−θ1)n1 +

θ2(1−θ2) n2

(on hem fet servir la independència).

11) a) P (χ29 ≤ 2.09) = taules

0.010.

b) P (χ29 ≥ 16.92) = 1− P (χ29 ≤ 16.92) = taules

1− 0.95 = 0.05

c) P (16.92 ≤ χ29 ≤ 19.02) = P (χ29 ≤ 19.02)− P (χ29 ≤ 16.92) = taules

0.975− 0.950 = 0.025

d) P (χ29 ≥ x) = 0.025 ⇒ P (χ29 ≤ x) = 0.975 ⇒ taules

x = 19.02.

e) P (χ29 ≤ x) = 0.01 ⇒ taules

x = 2.09.

f) P (χ29 ≤ x1) = 0.05 ⇒ taules

x1 = 3.33.

P (χ29 ≤ x2) = 0.95 ⇒ taules

x2 = 16.92

3

12) P (χ27 ≥ 2) = 1 − P (χ27 ≤ 2), però com aquest valor no surt directament a les taules haurem de fer interpolació lineal amb P (χ27 ≤ 1.69) = 0.025 i P (χ27 ≤ 2.17) = 0.05:

P (χ27 ≤ 2) ' 0.025 + 0.05− 0.025 2.17− 1.69

(2− 1.69) ∼= 0.04115

i per tant P (χ27 ≥ 2) ∼= 1− 0.04115 = 0.95885.

Amb R: 1− pchisq(2, df=7) = 1− 0.04015963 = 0.9598404

13) a) √

2χ21000 ≈ N( √

1999, 1)

P (1027 ≤ χ21000 ≤ 1061) = P ( √

2054 ≤ √

2χ21000 ≤ √

2122) =

' P ( √

2054− √

1999 ≤ Z ≤ √

2122− √

1999) = P (0.61 ≤ Z ≤ 1.36) = Φ(1.36)− Φ(0.61) = = 0.9131− 0.7291 = 0.184

Amb R exacte: pchisq(1061, df=1000)-pchisq(1027, df=1000) = 0.181671

b) √

2χ21527 ≈ N( √

3053, 1)

0.2047 = P (1432 ≤ χ21527 ≤ a) = P ( √

2864 ≤ √

2χ21527 ≤ √

2a) =

' P ( √

2864− √

3053 ≤ Z ≤ √

2a− √

3053) = P (−1.73 ≤ Z ≤ √

2a− √

3053) =

= Φ( √

2a− √

3053)− Φ(−1.73) = Φ( √

2a− √

3053)− (1− Φ(1.73))

= Φ( √

2a− √

3053)− 0.0418

per tant Φ( √

2a − √

3053) = 0.2465 ⇒ Φ(− √

2a + √

3053) = 0.7535 ⇒ taules

− √

2a + √

3053 ' 0.685 ⇒ a ' 1488.88565

14) a) Aqúı usarem el Teorema de Fisher que ens diu que

(n− 1)S2

σ2 ∼ χ2n−1

Usant aquest fet (amb n = 16 i σ = 0.1), tindrem: P (S2 < 0.02) = P (15× S2/(0.1)2 < 0.02× 15/(0.1)2) = P (χ215 < 30). Amb R: pchisq(30, df=15) = 0.9880785

b) Aqúı usarem el fet que

n S̃2

σ2 ∼ χ2n

Llavors,

P (S̃2 < 0.02) = P (

16 (0.1)2 S̃

2 < 16(0.1)2 0.02 )

= P (χ216 < 32).

Amb R: pchisq(32, df=16) = 0.9900002

15) n = 70. Pel Teorema de Fisher,

P (60 < S2 < 100) = P (

69×60 85 <

69S2

85 < 69×100

85

) = P

( 69×60

85 < χ 2 69 <

69×100 85

) com 69 > 30, utilitzem que

√ 2χ269 segueix aproximadament una distribució N(

√ 137, 1). Aix́ı, la darrera

probabilitat és P (√

2×69×60 85 <

√ 2χ269 <

√ 2×69×100

85

) ' P

(√ 2×69×60

85 − √

173 < Z < √

2×69×100 85 −

√ 137 ) '

P (−1.83 < Z < 1.04) = 0.8172.

Amb R: P ( 69×60

85 < χ 2 69 <

69×100 85

) = pchisq( 69×10085 , df = 69)− pchisq(

69×60 85 , df = 69) = 0.819795.

16) 0.99 = P (S10 > K) = P (S 2 10 > K

2) = P ( 94S 2 10 >

9K2

4 ) = P (χ 2 9 >

9K2

4 ) ⇒ 9K2

4 = 2.09 ⇒ K ' 0.9639

4

17) T ∼ t15.

a) Busquem k tal que P (T ≤ k) = 0.95. Taules: k = 1.753. R: qt(0.95, df = 15) = 1.75305.

b) Busquem k tal que P (T ≥ k) = 0.025⇔ P (T ≤ k) = 0.975. Taules: k = 2.131. R: qt(0.975, df = 15) = 2.13145.

c) Busquem k tal que P (T ≤ k) = 0.05⇔ P (T ≤ −k) = 0.95 (−k > 0). Taules: −k = 1.753⇒ k = −1.753. R: −qt(0.95, df = 15) = −1.75305.

d) Busquem k tal que P (T ≥ k) = 0.975⇔ P (T ≤ −k) = 0.975 (−k > 0). Taules: −k = 2.131⇒ k = −2.131. R: −qt(0.975, df = 15) = −2.13145.

e) P (T ≥ 2.602) = 1− P (T ≤ 2.602) =

{ Taules: 1− 0.99 = 0.01 R: 1− pt(2.602, 15) = 0.01000957.

f) P (T ≤ −1.341) = 1− P (T ≤ 1.341) =

{ Taules: 1− 0.90 = 0.10 R: 1− pt(1.341, 15) = 0.09993744.

g) P (−1.753 ≤ T ≤ 1.753) = P (T ≤ 1.753)− P (T ≤ −1.753) = P (T ≤ 1.753)− (1− P (T ≤ 1.753)) =

2× P (T ≤ 1.753)− 1 =

{ Taules: 2× 0.951− 1 = 0.9 R: 2 ∗ pt(1.753, 15)− 1 = 0.8999911.

h) Busquem k tal que P (−k ≤ T ≤ k) = 0.95⇒ P (T ≤ k) = 0.95 + 1−0.952 = 0.975{ Taules: k = 2.131

R: qt(0.975, 15) = 2.13145.

i) Busquem k tal que P (−k ≤ T ≤ k) = 0.99⇒ P (T ≤ k) = 0.99 + 1−0.992 = 0.995{ Taules: k = 2.947

R: qt(0.995, 15) = 2.946713.

18) Una llei Exponencial de paràmetre 0.5 té un paràmetre λ = 10.5 = 2. La seva funció de distribució serà

F (x) = (1− e−2x)1(0,∞)(x)

a) La funció de distribució del mı́nim de la mostra és:

P (X(1) ≤ x) = FX(1)(x) = 1− (1− (1− e −2x)1(0,∞)(x))

5 = (1− e−10 x)1(0,∞)(x).

i per tant la probabilitat demanada serà

P (X(1) > 0.03) = 1− P (X(1) ≤ 0.03) = 1− FX(1)(0.03) = 1− (1− e −10×0.03) = e−0.3 ∼= 0.7408182.

b) La funció de distribució del màxim serà

P (X(n) ≤ x) = FX(n)(x) = ((1− e −2x)1(0,∞)(x))

5 = (1− e−2x)51(0,∞)(x)

i la probabilitat demanda serà

P (X(n) > 0.07) = 1− P (X(n) ≤ 0.7) = 1− FX(n)(0.7) = 1− (1− e −2×0.7)5 ∼= 0.7572625.

19) Veiem en primer lloc que fX(·) és una funció de densitat:

• fX ≥ 0.

• +∞∫ −∞

fX(x) dx = 4∫ 0

1 8 dx+

12∫ 4

12−x 64 dx =

4 8 +

12 x− x22 64

]12 4

= · · · = 1.

5

La funció de distribució de X serà:

FX(t) =

∫ t −∞

fX(x) dx =



0 t ≤ 0 t

8 0 ≤ t ≤ 4

24t− t2

128 − 0.125 4 ≤ t ≤ 12

1 t ≥ 12

Tenim una mostra de mida n = 5 i volem calcular

P (X(n) > 10) = 1− P (X(n) ≤ 10) = 1− FX(n)(10) ;

FX(n)(10) = (FX(10)) 5 =

(24× 10− 102 128

− 0.125 )5

= · · · = (31

32

)5 ⇒ P (X(n) > 10) = 1−

(31 32

)5 ∼= 0.14677848. 20) Si Y ∼ χ2ν , llavors la seva f.g.m. és ϕY (t) = (1− 2 t)−ν/2 si t < 12 .

Trobem la seva esperança:

E(Y ) = ϕ′Y (0)

ϕ′Y (t) = − ν

2 (1− 2 t)− ν2−1 · (−2) = ν (1− 2 t)− ν2−1

⇒ E(Y ) = ν (1− 0)− ν2−1 = ν.

Ara trobem el moment de segon ordre:

E(Y 2) = ϕ′′Y (0)

ϕ′′Y (t) = ν (ν + 2) (1− 2 t)− ν 2−2

⇒ E(Y 2) = ν (ν + 2) (1− 0)− ν2−2 = ν (ν + 2).

Per tant, la seva variància és:

var(Y ) = E(Y 2)− (E(Y ))2 = ν (ν + 2)− ν2 = 2 ν .

6

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento