soluciones examen mates, Exámenes de Matemática Discreta

¡Descarga soluciones examen mates y más Exámenes en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity! 22 Tema 2. Càlcul Exercicis test del Tema 2 2.38 Tenint en compte que tenim 2 pares, 4 avis, 8 besavis, 16 rebesavis, etc... i que el temps entre generacions t́ıpicament varia entre 22 i 33 anys, quants anys han passat des de l’època en què tenies exactament 1024 ascendents? © entre 154 i 231 anys © entre 176 i 264 anys © entre 198 i 297 anys ⊗ entre 220 i 330 anys 2.39 Un cultiu de bacteris creix segons la funció N(t) = 1 + 2 t/10 (N : milers de bacteris, t: hores). El temps que tardarà la població de bacteris en duplicar-se des del moment inicial (t = 0) és:⊗ entre 15 i 16 hores © més 17 hores © 12 hores © menys de 10 hores 2.40 Un cultiu conté inicialment 120 milions de bacteris per mil·lilitre i duplica la seva població cada 45 minuts, és a dir, x(t) = 120 · 2t/45 milions de bacteris per ml. Quina és la velocitat de creixement dels bacteris al cap de 60 minuts? © x′(60) = 2.98 milions de bacteris per ml i minut © x′(60) = 3.56 milions de bacteris per ml i minut⊗ x′(60) = 4.66 milions de bacteris per ml i minut © Cap de les anteriors. 2.41 Un cultiu conté inicialment 120 milions de bacteris per mil·lilitre. Degut a la competència pels recursos (l’aliment), la població té un creixement de tipus loǵıstic, és a dir, x(t) = 1200 1 + 9 · 2−t/45 milions de bacteris per ml, on t són minuts. Quant temps ha de passar per a que la població es tripliqui? © t = 53 minuts ⊗ t = 88 minuts © t = 117 minuts © Cap de les anteriors. 2.42 D’acord amb la funció de creixement de Von Bertalanffy, la mida (en cm) dels peixos d’una espècie en funció de l’edat a (en anys) ve donada per L(a) = 44(1−e−0.2 a). Segons aquesta funció, quants anys han de passar perquè un peix de 20 cm arribi als 30 cm?⊗ 2.69 anys © 5.73 anys © 3.34 anys © Cap de les anteriors 2.43 Un pneumococ és un bacteri que té forma esfèrica. En un moment determinat, el radi d’un pneumococ mesura 1.3µm i està creixent a un ritme de 0.1µm/min. A quina velocitat està creixent la seva àrea (= 4 · π · radi2) ?⊗ 3.27µm2/min © 1.04µm2/min © 32.6µm2/min © Cap de les anteriors. 2.44 Un quadrat creix mantenint sempre la seva forma. En un determinat moment t0 el costat és de 4 cm i la velocitat de creixement de l’àrea és de 12 cm2/min. Troba en aquest mateix instant t0 la velocitat de creixement del peŕımetre del quadrat. © 4 cm/min © 8 cm/min ⊗ 6 cm/min © Cap de les anteriors Tema 2. Càlcul 23 2.45 El bacteri Xylella fastidiosa ha atacat un camp d’oliveres i s’està estenent de manera circular. En el moment en què és detectat, el radi d’afectació de la zona infectada és de r = 24 metres i està creixent a un ritme de drdt = 3m/hora. A quina velocitat està creixent l’àrea de la zona afectada en metres quadrats per minut? © dAdt = 6.60 m 2/min. © dAdt = 6.91 m 2/min. © dAdt = 7.23 m 2/min. ⊗ dA dt = 7.54 m 2/min. 2.46 Se sap que, a plena llum del dia, una fulla de forma circular d’una certa espècie de planta tropical augmenta la seva superf́ıcie a una velocitat de 15 cm2/dia quan el seu radi és de 5 cm. Per a aquest valor del radi, a quina velocitat augmenta el seu peŕımetre? © √ 15 cm/dia © 5 cm/dia © 3 2π cm/dia ⊗ 3 cm/dia 2.47 Si en un dipòsit ciĺındric de 4m d’altura i 2m de radi, l’altura del nivell de l’aigua augmenta a una velocitat constant de 2 cm/s, llavors el cabal d’aigua que entra en el dipòsit és © 4πm3/s © 2m3/s ⊗ 0.08πm3/s © 8πm3/s 2.48 En la majoria de les espècies, la longitud L (cent́ımetres) i el pes P (grams) estan aproximadament relacionades per una funció del tipus P = aLb, on a, b > 0 són paràmetres. Per una espècie, s’han estimat els valors de a = 2382.24 i b = 0.08. Si en un cert instant, un individu d’aquesta espècie mesura 40 cm i està creixent en longitud a un ritme de 10 cm/any, a quin ritme està creixent en pes (g/any) i quin és el seu pes? © dPdt = 6.4 g/any i P = 3200 g. © dP dt = 8.1 g/any i P = 3200 g.⊗ dP dt = 64 g/any i P = 3200 g. © Cap de les anteriors. 2.49 S’ha observat que la mortalitat anual M d’una població de preses deguda als seus depredadors, és una funció del tipus: M(x) = 40(1− e−0.01x) on x ≥ 0 és el número de preses. Si en un determinat moment la població de preses era de x = 528 i estava creixent a un ritme de 15 preses per any, a quin ritme estava creixent la seva mortalitat anual? © dMdt = 15 preses/any © dM dt = 40× 15 preses/any © dMdt = 40× 15× 0.01 preses/any ⊗ Cap de les anteriors. 2.50 La longitud (en cm) d’un fetus a l’interior de l’úter matern al llarg de l’embaràs ve donada per la funció L(t) = t2/10 − t3/600, on t es mesura en setmanes entre 0 i 40. En quin moment el fetus creix més ràpidament? (és a dir, quan és màxima la derivada de L(t)?) © t = 7 set. © t = 30 set. ⊗ t = 20 set. © Cap de les anteriors 2.51 Els cucs de les gemmes dels avets són una important plaga que desfulla el pins del Canadà. Els depredadors que controlen la població d’aquests cucs són els ocells. S’ha observat que la taxa de mortalitat dels cucs deguda als ocells depredadors és una funció del tipus M(x) = 3.5x 64 + x2 , 26 Tema 2. Càlcul 2.70 Les corbes de nivell de la funció f(x, y) = ln(|x+ y|) són © Hipèrboles © Paràboles ⊗ Rectes © Circumferències 2.71 El valor màxim de la funció F (x, y, z) = xy + 3xz + yz amb la restricció x+ y + z = 1 és: © 0 © 2 ⊗ 1 © Cap de les anteriors 2.72 Sabem que una funció de dues variables z = f(x, y) té un màxim relatiu en el punt (3, 0) i que el valor d’aquest màxim és 5. Aleshores, el pla tangent a la gràfica de f(x, y) en el punt (3, 0) és⊗ z = 5 © x = 5 © 3x− 5z = 0 © Cap de les anteriors 2.73 Si x, y i z són tres nombres més grans que 0 i de suma 60, llavors el més gran d’ells quan el producte xy2z3 és màxim és © 20 ⊗ 30 © 40 © 50 2.74 La derivada de la funció f(x, y) = 2x2y+4xy2 en el punt (1, 1) i en la direcció del vector ~v = (2, 1) és:⊗ 26/ √ 5 © 6/ √ 5 © 6 © Cap de les anteriors 2.75 El pla tangent a la gràfica de la funció f(x, y) = 8x− 8y x+ y en el punt (3, 1, f(3, 1)) té per equació: © z = 3y − x+ 4 © z = x− 3y + 10 © z = y − 8x+ 1 ⊗ z = x− 3y + 4 2.76 Quin dels següents punts és un punt cŕıtic de la funció f(x, y) = xy e−(2x 2+3y2) ?⊗ (−1 2 , √ 6 6 ) © (2, 3) © ( 1 2 , 1 6 ) © Cap de les anteriors 2.77 La direcció de màxim creixement de la funció f(x, y) = 2xy x2 + 3y2 en el punt (1, 1) ve donada pel vector: © ~v = (−2, 1) © ~v = ( 1 4 , 2 3 ) ⊗ ~v = ( 1 4 , −1 4 ) © Cap de les anteriors 2.78 La derivada direccional en el punt (1, 2) de la funció f(x, y) = x y2−2x2y+xy+3y en la direcció donada pel vector ~v = (2, 1) és © 2 ⊗ 2 √ 5/5 © √ 2/3 © Cap de les anteriors 2.79 La funció f(x, y) = 4xy − x2 − y2 − 14x+ 4y + 10 © té un mı́nim relatiu en el punt (1, 4) © té un màxim relatiu en el punt (1, 4) © no té punts cŕıtics ⊗ Cap de les anteriors 2.80 El pla tangent a la gràfica de la funció f(x, y) = x3y2 + 2xy + 6 en el punt (x0, y0, z0) = (1, 1, 9) talla l’eix OX en el punt⊗ (0, 0, 0) © (2, 0, 0) © (−2, 0, 0) © Cap de les anteriors Tema 2. Càlcul 27 2.81 Donada la funció f(x, y) = 3x2 + ex−2y + ln(xy), en quina de les direccions següents la derivada direccional en el punt (2, 1) pren un valor més gran? © (27,−1) ⊗ (27,−2) © (13,−1) © (4, 9) 2.82 Donada la funció f(x, y) = ex + ey − ex+y, el punt (0, 0) és © un màxim relatiu (o local) de f(x, y) © un mı́nim relatiu (o local) de f(x, y) © (0, 0) no és un punt cŕıtic de f(x, y) ⊗ un punt de sella de f(x, y)