Stroth, Tesis de Contabilidad Financiera. Universidad Pablo de Olavide (UPO)
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Stroth, Tesis de Contabilidad Financiera. Universidad Pablo de Olavide (UPO)

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Birkhäuser

Mathematik Kompakt

Herausgegeben von:

Martin Brokate Heinz W. Engl Karl-Heinz Hoffmann Götz Kersting Gernot Stroth EmoWelzl

Die neu konzipierte Lehrbuchreihe Mathematik Kompakt ist eine Reaktion auf die Umstellung der Diplomstudiengänge in Mathematik zu Bachelor- und Masterabschlüssen. Ähnlich wie die neu- en Studiengänge selbst ist die Reihe modular aufgebaut und als Unterstützung der Dozieren- den sowie als Material zum Selbststudium für Studierende gedacht. Der Umfang eines Bandes orientiert sich an der möglichen Stofffülle einer Vorlesung von zwei Semesterwochenstunden. Der Inhalt greift neue Entwicklungen des Faches auf und bezieht auch die Möglichkeiten der neu- en Medien mit ein. Viele anwendungsrelevante Beispiele geben den Benutzern Übungsmöglich- keiten. Zusätzlich betont die Reihe Bezüge der Einzeldisziplinen untereinander.

MitMathematik Kompakt entsteht eine Reihe, die die neuen Studienstrukturen berücksichtigt und für Dozierende und Studierende ein breites Spek- trum anWahlmöglichkeiten bereitstellt.

Elementare Algebra und Zahlentheorie

Gernot Stroth

Autor:

Gernot Stroth Institut für Mathematik Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Theodor Lieser Str. 5 06099 Halle e-mail: gernot.stroth@mathematik.uni-halle.de

2011 Mathematical Subject Classification: 11-01, 12-01, 13-01, 20-01

ISBN 978-3-0346-0501-4 ISBN 978-3-0346-0502-1 DOI 10.1007/978-3-0346-0502-1

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.

© Springer Basel AG 2012

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechts.

Satz und Layout: Protago-TEX-Production GmbH, Berlin, www.ptp-berlin.eu Einbandentwurf: deblik, Berlin

Gedruckt auf säurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zellstoff. TCF∞ Printed in Germany

Springer Basel AG ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

www.birkhauser-science.com

(eBook)

Für Heike

Vorwort

DieAlgebra-Vorlesung gehört zu den zentralenVorlesungen einesMathematikstudi- ums.Wir hatten uns daran gewöhnt, dass es eine zweisemestrige Vorlesung Algebra (Algebra I/II) gab. Sicherlich haben sich im Laufe der Jahre die Inhalte weiterent- wickelt, aber es gab doch ein allgemein akzeptiertes Kerncurriculum mit einem zentralen Teil, der Galoistheorie. Je nach Ambition des Vorlesenden gab es diese am Ende des ersten Semesters oder im zweiten Semester. Mit der Einführung der Bachelor-/Masterstudiengänge hat sich da einiges geändert. Es gibt kaum noch das zweisemestrige Modul Algebra.Dieses ist häufig durch ein Modul Algebra und dann eine Sammlung von möglichenVertiefungsmodulen ersetzt worden, letztere oft erst für denMaster vorgesehen.Dazu kommt,dass man heute kaumnoch erwarten kann, dass Studierenden im Bachelorstudium ein Modul Algebra und ein weiteres Modul Zahlentheorie besucht. Man kann das beklagen, und als Algebraiker mache ich das auch,man kann aber dennoch versuchen,wie seit einigen Jahren in Halle geschehen, ein Modul Algebra/Zahlentheorie mit Leben zu erfüllen, das den Studierenden so etwas wie eine Allgemeinbildung auf beiden Gebieten vermittelt: nicht mehr, aber auch nicht weniger. Dies bedeutet nicht „Algebra light“, der Qualitätsanspruch muss gewahrt bleiben. Aus diesen Vorlesungen, die ich seit ein paar Jahren halte, ist die- ses Buch hervorgegangen. Nun ist es nachvollziehbar, dass jeder Algebraiker hier wesentliche Dinge vermissen wird, genauso wird es Zahlentheoretiker geben, denen wichtige Dinge fehlen. Das kann auch gar nicht anders sein, wenn man bedenkt, dass dies der Stoff eines Semesters ist. Es ist keine systematische Einführung in die Algebra, und es ist erst recht keine in die Zahlentheorie. Die Zahlentheorie in die- sem Buch bewegt sich imWesentlichen im Bereich der Kongruenzen, was dann mit den quadratischen Kongruenzen am Ende des Buches seinen Höhepunkt erreichen wird. So werden auch wichtige Gebiete wie z.B. Siebmethoden, Kettenbrüche oder Pellsche Gleichung nicht thematisiert. Aber ich hoffe, und darüber möge der Leser urteilen, dass das Buch gewisse Grundideen und ein grundlegendes Allgemeinwis- sen wiedergibt, das ein Mathematiker haben sollte. So sollte man wissen, was ein euklidischer Ring, ein Hauptidealring, eine algebraische Körpererweiterung ist.Man sollte die Idee der Galoistheorie kennen. Im Bereich der Zahlentheorie sollte man etwas über Primzahlen,Häufigkeit undVerteilung wissen, Kongruenzrechnung und Zahlbereichserweiterungen als Beweismittel sollten bekannt sein, und schließlich sollte man vielleicht grob wissen, was mit dem quadratischen Reziprozitätsgesetz verbunden wird. Genau dies versucht das vorliegende Buch zu leisten.

Eine kurze Beschreibung der Inhalte soll hier mehr Klarheit schaffen. Wir be- ginnen mit den Grundlagen sowohl der Körpertheorie, als das wird Algebra hier im Wesentlichen verstanden, als auch der Zahlentheorie. Der Begriff der Primfak-

viii Vorwort

torzerlegung steht im Vordergrund. Es werden euklidische Ringe, Hauptidealringe und Polynomringe behandelt. Für Studierende ist es immer wieder überraschend, dass Z[x] keine Division mit Rest hat, man aber dennoch gut mit ganzzahligen Polynomen rechnen kann.Woran liegt das eigentlich? Nach diesem grundlegenden Kapitel entwickeln wir die Körpertheorie ein Stück weit. Dies bedeutet in Kapitel II die Behandlung der algebraischen Körpererweiterungen bis hin zur Konstruktion des algebraischen Abschlusses und in Kapitel III die Klassifikation der endlichen Körper. Die Existenz eines algebraischen Abschlusses ist im Folgenden nicht mehr erforderlich.Was benötigt wird, sind die Existenz und Eindeutigkeit des Zerfällungs- körpers eines Polynoms,die man in Satz II.13 und Folgerung II.20 findet.Wennman will, kann man sich also den algebraischen Abschluss ersparen.

Nach diesem ersten algebraischen Abschnitt kommen wir zu der Zahlentheorie mit den Begriffen Primzahl, Primzahlformel, kleiner Satz von Fermat, Eulerfunk- tion ' bis hin zu Carmichealzahlen. Danach wird dann wieder als Teil der Algebra die Gruppentheorie bis zum Sylow-Satz entwickelt, Auflösbarkeit wird thematisiert und schließlich die Einfachheit der alternierenden Gruppen An, n ≥ 5, bewiesen. Danach konnte ich trotz der eingangs gemachten Bemerkungen nicht umhin, doch etwas zur Galoistheorie zu sagen. ImMittelpunkt steht hier die Symmetrie (Gruppe) eines Polynoms,was zurDefinition derGaloisgruppe führt.Mit der nicht bewiesenen Galoiskorrespondenz kann dann wieder bewiesen werden,dass die Auflösbarkeit ei- nes Polynoms (Charakteristik 0) äquivalent zur Auflösbarkeit der Gruppe ist. Dies, meine ich, sollte ein Gymnasiallehrer einmal in seinem Studium gesehen haben. Im folgenden Kapitel wenden wir die Resultate über die algebraischen Körpererweite- rungen auf die Geometrie, also auf die Konstruktion mit Zirkel und Lineal an. Dies geht bis zum Gaußschen Satz der Konstruierbarkeit des regulären n–Ecks, wobei auch wieder der nicht bewiesene Teil der Galoistheorie eine Rolle spielt.

Danach kehren wir endgültig in die Zahlentheorie zurück. Mit unseren alge- braischen Hilfsmitteln können wir leicht entscheiden, welche natürlichen Zahlen Summe von zwei Quadraten sind.Hierzu wird ein Beweis gewählt,der zeigt,wie man die Idee der Zahlbereichserweiterung gewinnbringend einsetzen kann, am Beispiel des Satzes von Fermat werden aber auch die Grenzen aufgezeigt. Es ergibt sich dann natürlich im letzten Kapitel die Frage nach quadratischen Resten mit dem quadrati- schen Reziprozitätsgesetz als Höhepunkt.Das Buch endet mit Betrachtungen zu den Fermatschen Primzahlen.

Inhaltlich gibt es im Algebra-Teil dieses Buches (Kapitel I–III,V und VII) Über- schneidungen mit meinem Algebra-Buch von 1998, die sich nicht vermeiden lassen. Es wird weitgehend dem dortigen Aufbau gefolgt. Dem Verlag De Gruyter sei Dank für die Erlaubnis, dies zu verwenden.

Eswurde versucht,wo immermöglich,auch historischeBezüge herzustellen.Die- se stammen aus den Büchern von E. Scholz [26] und B.L. von derWaerden [31], aber auch zu großen Teilen aus Wikipedia. Den unbekannten Autoren dieser Plattform gilt mein ausdrücklicher Dank.

Der Aufbau des Buches spiegelt noch eine Besonderheit hier in Halle wider.Wir lesen die Algebra für Bachelorstudierende mit 9CP1, für Studierende mit dem Ziel Lehramt an Gymnasien mit 7CP und für die mit dem Ziel Lehramt an Sekundar- schulen mit 5CP.Ein Kurs für letztere könnte aus den ersten vier Kapiteln und Teilen von Kapitel VII (ohne die Konstruierbarkeit des n-Eckes) bestehen. Für Studierende

1Credit points (Leistungspunkte) gemäß EuropeanCredit Transfer andAccumulation System (ECTS).

Vorwort ix

mit dem Ziel Lehramt an Gymnasien würde ein Kurs in Halle aus den Kapiteln I–VII bestehen.Aber auch andere Zusammensetzungen sind denkbar.

Vorausgesetzt werden natürlich die Inhalte einerVorlesung über LineareAlgebra. Eine Besonderheit mag sein, dass das Lemma von Zorn an einigen Stellen eingesetzt wird, was vielleicht nicht überall zum Standardstoff der Linearen Algebra gehört.

Ich möchte mich bei den Hörern meiner Vorlesungen zur Algebra bedanken, durch deren Rückmeldungen übersteigerte Ambitionen vermieden wurden. Frau RebeccaWaldecker hat große Teile dieses Buches gelesen und sehr wertvolleVerbes- serungshinweise gegeben, auch hierfür möchte ich mich an dieser Stelle bedanken. Mein besonderer Dank geht an Frau Helbich, die die nicht immer leichte Umsetzung des Manuskripts in den Stil der Birkhäuser-Reihe durchgeführt hat. Dem Verlag danke ich für die angenehme und sehr hilfreiche Zusammenarbeit.

Halle, im September 2010 Gernot Stroth

Inhaltsverzeichnis

Vorwort vii

I Arithmetik 1

II Körper 33

III Endliche Körper 51

IV Primzahlen 57

V Gruppen 77

VI Symmetrien 101

VII Konstruktion mit Zirkel und Lineal 113

VIII Summe von Quadraten 123

IX Das quadratische Reziprozitätsgesetz 129

Literaturverzeichnis 149

Index 151

I Arithmetik

Was meinen wir eigentlich, wenn wir „Rechnen“ sagen? Normalerweise denken wir an die ganzen Zahlen Z. Diese können wir z.B. addieren und multiplizieren, und dabei gelten gewisse Regeln.

Das Gleiche gilt auch für die Menge der Polynome mit Koeffizienten in einem Körper K oder Z.Aber auch in

Z[i] = {a + bi|a, b ∈ Z}, den sogenannten Gaußschen Zahlen können wir so rechnen. Dies führt zu einer allgemeinen Definition von Rechenbereichen, den Ringen.

Ring. Sei R eine Menge mit zwei Verknüpfungen +, ·. Bezüglich + sei R eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0.Weiter gelte für alle a, b, c R

a) a · (b · c) = (a · b) · c b) a · (b + c) = a · b + a · c c) (a + b) · c = a · c + b · c d) Es gibt ein Element 1 ∈ Rmit 1 · a = a · 1 = a für alle a R.

Dann nennen wir R einen Ring. Ist a · b = b · a für alle a, b R, so wird R ein kommutativer Ring genannt. Ein kommutativer Ring, in dem zusätzlich (R \ {0}, ·) eine Gruppe ist, heißt Körper.

Definition

Statt a · b werden wir normalerweise kurz ab schreiben.

Alle eingangs genannten Beispiele sind Ringe, keines davon ist ein Körper. Beispiele für Körper sind R, C, Q. Was ist mit R = {0} mit der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen als Verknüpfungen? Dies ist offenbar ein Ring. Hier gilt 1 = 0, was durch die Axiome nicht verboten ist. Es ist aber kein Körper, da R \ {0} die leere Menge ist. Insbesondere kann es bezüglich · keine Gruppe sein, da eine Gruppe stets eine nicht leere Menge ist.

In diesemBuchwerden alleRinge kommutativ sein.Es gibt aber auch interessante nicht kommutative Ringe, wie z.B.

R = {(

a b c d

)∣∣∣∣a, b, c, d ∈ R } .

2 I Arithmetik

Besonders wichtig wird die folgende Konstruktion sein: IstR ein Ring,so bezeichnen wir mit R[x] die Menge der Polynome mit Koeffizienten in R. Es ist R[x] wieder ein Ring.

Eine weitere Rechenoperation, die wir in der Praxis häufig benutzen, ist das Dividieren. Dies führt uns zu der Definition des Teilers:

Teiler. Sei R ein kommutativer Ring und a, b R.Wir sagen a teilt b, in Zeichen a|b, falls es ein c R gibt, so dass b = ca ist.

Definition

Bemerkung. Es gilt 0|0, da z.B. 0 = 1 · 0 ist. Für jedes a gilt a|0, da 0 = 0 · a ist.

Achtung! Teiler und Division sind zwei verschiedene Dinge. Es ist zwar 0 ein Teiler von 0, aber die Division von 0 durch 0 ist nicht definiert. Hier muss man sich also vor der Alltagssprache hüten. Es gibt eben in R den Ausdruck ab nicht.

Kann in einem Ring eigentlich beides,

a teilt b und b teilt a,

gelten? Das ist z.B. sicherlich der Fall, wenn a = b ist. Ist dies aber die einzige Möglichkeit?

Gilt a|b, so gibt es ein c Rmit b = ca. Gilt b|a, so gibt es ein d Rmit a = db.Also gilt

b = (cd)b.

Folgt hieraus cd = 1? In den reellen Zahlen wäre das so, falls b = 0 ist. Wir betrachten also zunächst den Sonderfall b = 0. Ist 0 ein Teiler von a, so ist a = 0, also ist a = b.

Sei ab jetzt b = 0.Dann gilt immerhin

b(1 − cd) = 0.

Folgt hieraus 1 − cd = 0?

Allgemein: Folgt aus xy = 0 stets x = 0 oder y = 0? In unseren eingangs erwähnten Beispielen scheint dies so zu sein.

Wir betrachten den folgenden Ring R = {0, 1, 2, 3} (Reste modulo 4) mit den Ope- rationen + und •.

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

• 0 1 2 3 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Addition und Multiplikation ist die in Z, nur wird vom Resultat nur der Rest bei Division durch 4 genommen.Dies ist ein Ring.Aber 2 • 2 = 0.

I Arithmetik 3

Dies führt zu folgender Definition:

Integritätsbereich. Sei R ein kommutativer Ring.

a) 0 = x R heißt ein Nullteiler, falls es ein 0 = y R gibt, so dass xy = 0 ist. b) Ein kommutativer Ring ohne Nullteiler heißt Integritätsbereich.

Definition

Wir greifen nun unsere Frage wieder für Integritätsbereiche auf. Dann ist

1 − cd = 0.

Also haben wir cd = 1. Damit sind c und d Teiler der 1. Das liefert aber noch nicht c = d = 1, da z.B. auch −1 ein Teiler von 1 ist. Das führt zu folgender Definition:

Einheit. Sei R ein Integritätsbereich. Ein Element c R heißt Einheit, falls c ein Teiler von 1 ist.

Definition

Wir hatten gesehen, dass aus a teilt b und b teilt a folgt, dass b = camit einer Einheit c ist. Ist umkehrt b = ca, mit einer Einheit c, so gibt es ein d Rmit dc = 1.Also ist db = (dc)a = a, d.h., b teilt a. Damit haben wir:

Seien R ein Integritätsbereich und a, b R. Ist a ein Teiler von b und b ein Teiler von a, so ist a = be mit einer Einheit e.

Lemma I.1

In Z sind die Einheiten 1 und −1.Wir werden später sehen, dass in K[x],K Körper, die Einheiten genau die Elemente aus K sind.

Was sind die Einheiten von Z[i]? Man sieht,dass 1,−1 aber auch i,i Einheiten sind,da i · (−i) = 1 ist.Gibt es weitere? Sei a + bi ∈ Z[i] eine Einheit. Dann gibt es c + di Z[i] mit

(a + bi)(c + di) = 1.

Wirwenden nun einen Trick an.Diesen werdenwir imVerlauf noch häufig einsetzen, sodassmanauchvoneinerMethode sprechenkann.WirbildenkonjugiertKomplexe. Da für z1, z2 ∈ C stets z1z2 = z1 z2 und z1 + z2 = z1 + z2 gilt, erhalten wir

(a + bi) (c + di) = 1

also (a bi)(c di) = 1.

Nun multiplizieren wir beide Gleichungen

1 = (a + bi)(a bi)(c + di)(c di) = (a2 + b2)(c2 + d2).

Dies ist eine Gleichung in Z. Damit erhalten wir nun

a2 + b2 = 1 = c2 + d2.

4 I Arithmetik

Aus a2 + b2 = 1 mit a, b ∈ Z, folgt a = ±1 und b = 0 oder a = 0 und b = ±1.Also ist a + bi ∈ {1,−1, i,i}. Damit haben wir die Einheiten von Z[i] bestimmt. Besonders wichtig beim Rechnen in Z sind die Primzahlen. Diese wollen wir jetzt auch in Integritätsbereichen definieren. Dazu lassen wir uns von Zmotivieren.

a) Eine Primzahl p inZ hat die Eigenschaft: Ist x ∈ Z ein Teiler von p, so ist x eine Einheit oder x = ep mit einer Einheit e (x = ±1 oder x = ±p).

b) Eine Primzahl p in Z hat die Eigenschaft: Sind a, b ∈ Z und ist p ein Teiler von ab, so ist p ein Teiler von a oder von b.

Üblicherweise nennt man ±1 nicht Primzahl, obwohl beide Eigenschaften a) und b) erfüllt werden. Dies führt nun zu der folgenden Definition: Dabei wollen wir allerdings etwas vorsichtiger vorgehen und a) und b) zunächst getrennt betrachten. Wir werden erst einmal a) irreduzibel und b) prim nennen.

Primelement. Sei R ein Integritätsbereich. Sei p R, p = 0, p keine Einheit. a) Folgt für x R aus x|p stets, dass x eine Einheit oder x = ep mit einer

Einheit e ist, so nennen wir p ein irreduzibles Element.

b) Folgt für a, b R mit p teilt ab stets, dass p einen der Faktoren a oder b teilt, so nennen wir p ein Primelement.

Definition

In Z gibt es keinen Unterschied zwischen Primelement und irreduziblem Element. Vielleicht ist das ja immer so. Der nächste Satz gibt eine Teilantwort.

Sei R ein Integritätsbereich, p ein Primelement, so ist p irreduzibel.Satz I.2

Beweis. Sei a ein Teiler von p, also p = ab, mit b R. Da p ein Primelement ist, ist p ein Teiler von a oder b. Sei p ein Teiler von a. Mit Lemma I.1 erhalten wir a = pe mit einer Einheit e. Ist p ein Teiler von b, so ist b = pt. Also ist p = p(ta) und dann p(1 − at) = 0.Da R ein Integritätsbereich ist und p = 0 ist, folgt at = 1, also ist a eine Einheit. Damit haben wir gezeigt, dass die Teiler von p entweder Einheiten oder von der Form pemit einer Einheit e sind. Somit ist p irreduzibel.

Dies macht Mut, nur ist leider nicht jedes irreduzible Element prim. Dazu be- trachten wir eine Variante des Rings der Gaußschen Zahlen

R = {a + b√−5|a, b ∈ Z}.

Da R eine Teilmenge vonC ist, ist R ein Integritätsbereich. Es ist 3 ∈ R. Sei a+ b√−5 ein Teiler von 3. Dann ist

3 = (a + b √ −5)(c + d

√ −5), a, b.c, d ∈ Z.

I Arithmetik 5

Wir wenden nun den gleichen Trick wie bei der Bestimmung der Einheiten in Z[i] an. Es gilt auch

3 = (a b √ −5)(c d

√ −5).

Also ist

9 = 3 · 3 = (a b√−5)(a + b√−5)(c d√−5)(c + d√−5) = (a2 + 5b2)(c2 + 5d2).

Dies ist eine Gleichung in Z und somit ist

a2 + 5b2 = 1, 3 oder 9.

Ist a2 + 5b2 = 3, so muss b2 = 0 und a2 = 3 sein, was in Z keine Lösung hat. Ist a2 + 5b2 = 9, so ist c2 + 5d2 = 1.Also ist stets

a2 + 5b2 = 1 oder c2 + 5d2 = 1.

Wir können per Symmetrie a2 + 5b2 = 1 annehmen.Dies hat in Z nur die Lösungen b = 0, a = 1 oder −1.

Damit haben wir 3 ist irreduzibel in R.

Offenbar ist 3|9 = 3 · 3 = (2 +√−5)(2 −√−5).

Wäre 3 prim, so wäre 3|2 +√−5 oder 3|2 −√−5.Dann gibt es a + b√−5 ∈ Rmit

(2 + √ −5) = (a + b

√ −5)3 oder (2 −

√ −5) = (a + b

√ −5)3.

In beiden Fällen folgt 3a = 2 mit a ∈ Z.

Dies ist ein Widerspruch. Somit sind prim und irreduzibel verschiedene Begriffe. Bevor wir uns ansehen, wann diese Begriffe doch gleich sind (z.B. in Z), wollen wir den Teilerbegriff noch etwas weiter studieren.

In Z haben wir eine „Divison mit Rest“. Dies besagt: Sind a, b ∈ Z, a = 0, so gibt es q, r ∈ Zmit

b = qa + r , |r| < |a|. Wenn wir diesen Begriff auf weitere Integritätsbereiche ausdehnen wollen, benö- tigen wir eine Definition des Restes r, d.h. von „klein“.Wir werden dabei den Betrag | · | auf Z durch eine Abbildung ' ersetzen.

Euklidischer1Ring. Ein Integritätsbereich R wird euklidischer Ring genannt, falls es eine Abbildung ' :R \ {0} → N ∪ {0} gibt, die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Definition

1Euklid von Alexandria (* um 365 v. Chr., um 300 v. Chr.) wirkte in Alexandria, Verfasser des für viele Jahrhunderte grundlegenden Mathematikwerkes „Elemente“.

6 I Arithmetik

a) Sind a und b in Rmit ab = 0, so ist ' (ab) ≥ ' (a). b) Sind a, b R mit a = 0, so gibt es q, r R, abhängig von dem Paar a, b,

mit b = qa + r, wobei r = 0 oder ' (r) < ' (a) ist.

In diesem Sinne ist Z mit ' = | · | ein euklidischer Ring. Ist auch Z[i] euklidisch? Wir setzen ' = | · |2, also

' (a + bi) = a2 + b2 = (a + bi)(a + bi).

a) Sei (a + bi)(c + di) = 0.Dann ist ' ((a + ib)(c + id)) = (a + ib)(c + id)(a + ib)(c + id)

= (a + ib)(a + ib)(c + id)(c + id)

= ' (a + ib)' (c + id) ≥ ' (a + bi). b) Sei ˛ = a + bi, ˇ = c + di = 0. Für die komplexe Zahl ˛ˇ gilt dann:

˛

ˇ =

a + bi c + di

= (a + bi)(c di) (c + di)(c di)

= (a + bi)(c di)

c2 + d2 = s + it mit s, t ∈ Q.

Wir wählen nun ganze Zahlen x und y mit

|s x| ≤ 1 2

und |t y| ≤ 1 2 .

(x, y )

(s, t )

Z

Z

Wir haben damit (a + ib) = (x + iy)(c + id) + r, wobei

r = (c + id)[(s + it) − (x + iy)]

ist.Es ist r ∈ Z[i],da r = (a+bi)−(c+di)(x+iy) ist,und a+ib,x+iy und c+id ∈ Z[i] sind. Setze nun q = x + iy. Dann ist a + bi = q(c + di) + r.Weiter ist

' (r) = ' (c + di)' ((s x) + i(t y))

= ' (c + di)[(s x)2 + (t y)2]

≤ ' (c + di) [ 1

4 + 1

4

] =

1

2 ' (c + di) < ' (c + di).

Somit ist Z[i] ein euklidischer Ring.

I Arithmetik 7

Ist auch K[x], K ein Körper, ein euklidischer Ring? Dazu müssen wir etwas weiter ausholen. Sei zunächst R ein kommutativer Ring. Jedes Polynom in R[x] hat einen Grad. Sei

f = ni=0

aixi mit an = 0.

So ist n = grad f .

Es ist eine nützliche Konvention, grad 0 = −∞ zu setzen.

Sei R ein kommutativer Ring und f , g R[x]. Dann gilt a) grad (fg) ≤ grad f + grad g. b) Ist R ein Integritätsbereich, so ist grad (fg) = grad f + grad g. Insbesondere

ist R[x] ein Integritätsbereich.

Lemma I.3

Beweis. Wir beweisen a) und b) gleichzeitig. Die Behauptungen sind klar für f = 0 oder g = 0. Sei also

f = ni=0

aixi, g = mj=0

bjxi

mit an = 0 = bm. Dann ist

fg = anbmxn+m + n+m−1∑ i=0

cixi.

Das ergibt grad fg n+m = grad f +grad g . Ist weiterR ein Integritätsbereich, so ist anbm = 0,also gilt Gleichheit. Insbesondere ist fg = 0,d.h.R[x] ist Integritätsbereich.

Nun können wir zeigen, dass K[x] euklidisch ist. Dabei werden wir die grad Funktion als ' benutzen. Also „klein“ bedeutet hier jetzt einfach „von kleinem Grad“.

Sei K ein Körper

a) K[x] ist ein euklidischer Ring.

b) Die Polynome vom Grad Null sind genau die Einheiten von K[x].

Satz I.4

Beweis. a) Für f K[x], f = 0, setze ' (f ) = grad f . Ist fg = 0, so gilt nach Lemma I.3b)

' (fg) = grad (fg) = grad f + grad g = ' (f ) + ' (g) ≥ ' (f ). Seien nun f =

n i=0 aix

i und g = ∑m

j=0 bjx j mit anbm = 0.Wir müssen q, r mit

f = qg + r

und r = 0 oder grad r < grad g angeben.

8 I Arithmetik

Ist grad f < grad g , so setzen wir q = 0 und r = f und sind fertig. Also können wir grad f ≥ grad g annehmen.Wir definieren nun f1 durch

f1 = f xnmanb−1m g.

Dann ist grad f1 ≤ grad f − 1 = n − 1.Mit einer Induktion nach grad f erhalten wir f1 = q1g + r1

mit r1 = 0 oder grad r1 < grad g .

Dann ist f = (q1 + xnmanb−1m )g + r1

und wir setzen q = q1 + xnmanb−1m und r = r1.

b) Sei f eine Einheit. Dann gibt es ein g K[x] mit fg = 1.Also 0 = grad 1 =

(I.3b) grad f + grad g.

Dies liefert grad f = 0.

Von unseren Beispielen zu Anfang dieses Kapitels bleibt Z[x]. Der obige Beweis kann hier nicht verwendet werden, da wir b−1m in Z nicht bilden können. Dies sagt aber noch nicht, dass Z[x] kein euklidischer Ring ist. Es ist aber in der Tat so. Z[x] hat keine Division mit Rest, was immer ' auch sein mag. Es ist schwierig, die Nichtexistenz von etwas zu zeigen. Deshalb wollen wir zunächst euklidische Ringe eingehender studieren. Wir werden dann sehen, dass alle euklidischen Ringe eine gemeinsame Eigenschaft haben, die Z[x] offenbar nicht hat.

Der Begriff „euklidischer Ring“ leitet sich vom euklidischen Algorithmus zum Be- rechnen des ggT (a, b) her.

Seien a, b R.Wir teilen a durch bmit Rest, also a = q1b + r2 mit ' (r2) < ' (b) oder r2 = 0.

Ist r2 = 0, so teile b durch r2 mit Rest, also b = q2r2 + r3 mit ' (r3) < ' (r2) oder r3 = 0.

Dieses Verfahren setzen wir fort

ri = qi+1ri+1 + ri+2 ' (ri+2) < ' (ri+1) oder ri+2 = 0.

Das endet mit rn+2 = 0 also

rn = qn+1rn+1.

In Z kann man so den ggT (a, b) = rn+1 berechnen.Wir zeigen dies durch Induktion nach n, also nach der Anzahl der Schritte. Ist r2 = 0, so ist b ein Teiler von a und damit auch der größte gemeinsame Teiler von a und b. Sei also r2 = 0.Dann besitzen per Induktion r2 und b den größten gemeinsamen Teiler rn+1.Dann ist aber auch rn+1 ein Teiler von a, da a = q1b+ r2 ist.Da der ggT (a, b) auch r2 teilt, ist er ein Teiler von rn+1 = ggT (b, r2). Dies bedeutet dann, dass rn+1 = ggT (a, b) ist. Eigentlich haben wir nur gezeigt, dass rn+1 und ggT (a, b) sich nur um ein Vorzeichen unterscheiden.

I Arithmetik 9

Sind a und b inN, ist der ggT ,wie wir ihn normalerweise benutzen, auch inN.Wählt man bei der Division mit Rest immer den nicht negativen Rest, so ist auch rn+1 ∈ N. Also ist dann wirklich rn+1 = ggT (a, b).

Wir wollen den ggT nun auch in beliebigen Integritätsbereichen definieren. Dann haben wir aber keine natürliche Anordnung mehr. Wir gehen so wie in Z vor, also indem wir nur den Teilerbegriff benutzen.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT). Sei R ein Integritätsbereich, a, b R.Wir nennen c einen ggT von a und b, falls gilt :

a) c teilt sowohl a als auch b.

b) Ist d R ein Teiler sowohl von a als auch von b, so ist d ein Teiler von c.

Definition

Der ggT (a, b) ist allerdings jetzt nichtmehr eindeutig bestimmt.Sind c und d beides ggT von a und b, so ist c ein Teiler von d und d ein Teiler von c. Nach Lemma I.1 ist dann c bis auf eine Einheit gleich d. Also ist ggT (a, b) nur bis auf Einheiten bestimmt. Trotzdem werden wir im Folgenden c = ggT (a, b) schreiben.

Wie inZ siehtman,dass in einem euklidischen Ring der euklidischeAlgorithmus einen ggT (a, b) berechnet.Dass die Existenz eines ggT (a, b) nicht selbstverständlich ist, zeigt folgendes Beispiel (siehe Schulze-Pillot [27] Aufgabe 3.4]:

Wir betrachten wieder R = {a + b√−5|a, b ∈ Z}.

Wir zeigen, dass d = ggT (6, 4 + 2 √ −5) nicht existiert. Sei dazu d ein größter ge-

meinsamer Teiler von 6 und 4 + 2 √ −5. Offenbar ist 2 ein Teiler von 6 und von

4 + 2 √ −5. Somit ist 2 ein Teiler von d. Weiter ist (1 −

√ −5)(1 +

√ −5) = 6 und

4 + 2 √ −5 = −(1 −

√ −5)2.Also ist auch 1 −

√ −5 ein Teiler von d.

Ist a ein Teiler von d, so ist auch |a|2 ein Teiler von |d|2.Es ist |2|2 = 4 und |1−√−5|2 = 6. Damit sind sowohl 4 als auch 6 ein Teiler von |d|2 in Z. Also ist 12 ein Teiler |d|2. Da d ein Teiler von 6 ist, ist 6 = de, also 36 = |6|2 = |d|2|e|2. Die einzige Lösung mit 12

∣∣∣|d|2 ist |d|2 = 36 und |e|2 = 1. Sei e = a + b√−5.Dann ist 1 = |e|2 = a2 + b25. Die einzige Lösung hiervon ist b = 0 und a2 = 1. Also ist d = 6 oder −6. Damit wäre 6 ein Teiler von 4 + 2

√ −5, was nicht geht. Also haben 6 und

4 + 2 √ −5 keinen größten gemeinsamen Teiler in R.

Für feinere Untersuchungen in Ringen benötigen wir den Begriff des Ideals.Verglei- che hierzu auch die Bemerkungen auf Seite 126 am Ende von Kapitel VIII.

Ideal. Sei R ein Ring. Eine Teilmenge i R heißt Links- (Rechts-) Ideal, falls gilt:

a) (i,+) ist eine Untergruppe von (R,+).

b) Ist a R, so ist ai = {ai|i i} ⊆ i , (ia = {ia|i i} ⊆ i). Ist i sowohl Rechts- als auch Linksideal, so nennen wir i 2-seitig.

Definition

10 I Arithmetik

Ist R kommutativ, so ist jedes Rechtsideal auch Linksideal und umgekehrt. In diesem Fall sprechen wir einfach von Idealen. So bilden z.B. die geraden Zahlen in Z ein Ideal.

Sei R ein Ring, i ein 2-seitiges Ideal. Wir setzen R/i = {a + i|a R}. (Da (R,+) abelsch ist, ist jede Untergruppe Normalteiler, also ist (R/i,+) die Faktorgruppe. Siehe Seite 80.)

Wir definieren auf R/i eine Multiplikation durch

(a + i)(b + i) = ab + i, a, b R. Dann ist R/i ein Ring, der sogenannte Faktorring.

Satz I.5

Beweis. Wir zeigen, dass die Multiplikation wohldefiniert ist.Der Rest sei dem Leser als Übung überlassen. Sei dazu a′ + i = a + i und b′ + i = b + i. Dann ist a′ = a + i mit i i und b′ = b + j mit j i. Es ist

(a′ + i)(b′ + i) = [(a + i) + i][(b + j) + i] = ab + aj + ib + ij + i.

Da i 2-seitig ist, ist aj + ib + ij i, also ist (a′ + i)(b′ + i) = ab + i.

Homomorphismus. Seien R1,R2 Ringe.

a) Eine Abbildung ' :R1 → R2 heißt Homomorphismus, falls ' (a + b) = ' (a) + ' (b) und

' (ab) = ' (a)' (b)

für alle a, b R1 gilt. Einen surjektivenHomomorphismus nennen wirEpimorphismus.Einen injekti- ven Homomorphismus nennen wir Monomorphismus. Einen bijektiven Homo- morphismus nennen wir Isomorphismus. Ist R1 = R2, so nennen wir einen Iso- morphismus auch Automorphismus. Ist ' ein Isomorphismus, so schreiben wir

R1 ∼= R2. b) Sei ' :R1 → R2 ein Homomorphismus.Wir setzen

ker ' = {a|a R1,' (a) = 0} und nennen ker ' den Kern des Homomorphismus ' .

Definition

Seien R1, R2 Ringe und ' :R1 → R2 ein Homomorphismus. Dann gilt: a) ' (0) = 0.

b) Ist R1 einKörper, hat R2 keineNullteiler und gibt es ein a R1mit' (a) = 0, so ist ' (1) = 1.

Lemma I.6

I Arithmetik 11

Beweis. a) Für alle a R1 ist ' (a) = ' (a + 0) = ' (a) + ' (0), also gilt ' (0) = 0. b) Sei nun R1 ein Körper. Es ist ' (a) = ' (1a) = ' (1)' (a). Das liefert

0 = ' (a)(1 − ' (1)).

Da R2 keine Nullteiler hat, ist also 0 = ' (1) − 1 und somit ' (1) = 1.

Seien R1,R2 Ringe und ' :R1 → R2 ein Homomorphismus. Dann ist ker ' ein 2-seitiges Ideal.

Lemma I.7

Beweis. Wie in der Linearen Algebra sieht man, dass ker ' eine Untergruppe von (R1,+) ist. Seien a R1 und b ∈ ker ' . Dann ist ' (ab) = ' (a)' (b) = 0 = ' (b)' (a) = ' (ba). Somit sind ab und ba in ker ' ,was zeigt,dass ker ' ein 2-seitiges Ideal ist.

Homomorphiesatz. Seien R1,R2 Ringe und ' :R1 → R2 ein Homomorphismus. Dann ist

R1/ker ' ∼= Bild ' .

Satz I.8

Beweis. Wir definieren : Bild ' → R1/ker ' durch (' (a)) = a + ker ' . Man beachte,dass nach Lemma I.7R1/ker ' ein Ring ist.Wie in der LinearenAlgebra sieht man, dass ein Isomorphismus bezüglich der addidiven Gruppen ist. Wir müssen also nur zeigen, dass ein Homomorphismus ist. Dies sieht man wie folgt:

(' (a)' (b)) = (' (ab)) = ab + ker ' =

(a + ker ' )(b + ker ' ) = (' (a)) (' (b)).

Der nächste Satz erscheint zunächst etwas künstlich, wird uns später aber noch häufig gute Dienste leisten.

Ein kommmutativer Ring R mit |R| ≥ 2 ist genau dann ein Körper, wenn jedes Ideal gleich {0} oder R ist.

Satz I.9

Beweis. Es habe R nur die Ideale {0} oder R.Wir zeigen, dass R ein Körper ist. (1) Jedes a R \ {0} hat ein Inverses. Wir zeigen zunächst, dass

aR = {ar|r R} ein Ideal ist. Seien dazu ar1, ar2 ∈ aR und b R. Es ist

ar1 + ar2 = a(r1 + r2) ∈ aR und

(ar1)b = a(r1b) ∈ aR. Also ist aR ein Ideal.

12 I Arithmetik

Es ist a = a · 1 ∈ aR. Also ist aR = {0}. Somit ist nach der Annahme, dass es nur die Ideale {0} und R gibt, aR = R. Da 1 ∈ R ist, gibt es ein c R mit ac = 1, d.h., a ist invertierbar.

(2) R \ {0} ist eine Gruppe. Da |R| ≥ 2 ist, ist R \ {0} = ∅. Somit haben wir wegen (1) nur zu zeigen, dass aus a = 0 = b stets ab = 0 folgt. Sei also ab = 0.Nach (1) gibt es ein c mit bc = 1.Also ist

0 = (ab)c = a(bc) = a,

einWiderspruch zu a = 0. Nach (2) ist nun R ein Körper.

Sei umgekehrt R ein Körper und i = {0} ein Ideal. Dann gibt es ein a i, a = 0. Da R ein Körper ist, gibt es ein b Rmit ab = 1, d.h. 1 ∈ i. Dann ist

R = {1 · r|r R} ⊆ i.

Bemerkung. a) Im Beweis von Satz I.9 haben wir auch gezeigt: Ist i ein Ideal in R mit 1 ∈ i, so ist i = R. b) Der Ring R = {0} hat nur die Ideale {0} und R, ist aber kein Körper. Also ist die Voraussetzung |R| ≥ 2 in Satz I.9 notwendig.

Seien K1,K2 Körper und' :K1 → K2 einHomomorphismus.Dann ist ker ' = {0} oder ker ' = K1.

Folgerung I.10

Beweis. Nach Lemma I.7 ist ker ' ein Ideal. Nach Satz I.9 ist ker ' = K1 oder ker ' = {0}.

Primideal. Sei R ein kommutativer Ring.Ein Ideal p = R von R heißt Primideal, falls R/p ein Integritätsbereich ist.

Definition

Woher kommt der Name Primideal? Sei R = Z und p ∈ Z eine Primzahl. Wir be- haupten, dass pZ ein Primideal ist.Wir nehmen dazu an, dass

ab + pZ = (a + pZ)(b + pZ) = pZ

sei. Dann ist ab pZ, d.h., p teilt ab. Also ist p ein Teiler von a oder b. Somit ist a + pZ = pZ oder b + pZ = pZ. Das heißt,Z/pZ ist ein Integritätsbereich.

Ist umgekehrt m = n1n2 ∈ Z, n1 = ±m, n2 = ±m. Dann sind beide n1 + mZ und n2 +mZ ungleichmZ, aber (n1 +mZ)(n2 +mZ) = n1n2 +mZ = mZ.

Die von Null verschiedenen Ideale der FormmZ,m ∈ Z, sind somit genau dann Primideale, wennm prim ist. Die Primideale sind somit eineVerallgemeinerung der Primzahlen in Z.

I Arithmetik 13

Bemerkung. Satz I.9 zeigt, dass maximale Ideale i in kommutativen Ringen R prim sind, da R/i ein Körper ist.

Die Idee, wie wir gezeigt haben, dass pZ prim ist, kann man verallgemeinern.

Sei R ein kommuntativer Ring und i = R ein Ideal. Es ist i genau dann ein Primideal, falls aus a, b R mit ab i stets folgt, dass a oder b in i liegt.

Satz I.11

Beweis. a) Sei i ein Primideal und ab i. Dann ist i = ab + i = (a + i)(b + i).

Da i ein Primideal ist, ist R/i ein Integritätsbereich.Damit erhalten wir a+ i = i oder b + i = i, was gleichwertig zu a i oder b i ist. b) Es gelte nun umgekehrt, dass aus ab i stets a i oder b i folgt.Wir wollen zeigen dass R/i ein Integritätsbereich ist. Seien dazu a+ i und b+ i Elemente aus R/i mit (a + i)(b + i) = i. Dann gilt ab i. Nach Annahme ist nun a i oder b i, also a + i = i oder b + i = i. Somit ist R/i ist ein Integritätsbereich.

Eine weitere Analogie zu denVerhältnissen in Z, nämlich, dass prim und irredu- zibel sich nicht unterscheiden, ist das nächste Resultat.

Seien R ein Integritätsbereich und 0 = p R, so dass pR ein Primideal in R ist, so ist p irreduzibel.

Lemma I.12

Beweis. Sei ab = p mit a, b R. Dann ist ab pR. Nach Satz I.11 ist a pR oder b pR.Wir nehmen ohne Einschränkung a pR an.Dann ist a = pxmit x R. Das liefert

p = pxb und p(1 − xb) = 0.

Da p = 0 ist, ist 1 = xb, d.h., b ist eine Einheit. Da pR = R ist, ist p keine Einheit.Also ist p irreduzibel.

Wir wollen uns Z noch etwas genauer ansehen.

Sei 0 = i ein Ideal in Z. Dann gibt es ein a = 0mit a i.Wähle amit |a|minimal. Sei nun b i, so teile b durch amit Rest, also

b = qa + r, |r| < |a|.

Es ist r = b qa i. Die minimaleWahl von a liefert nun r = 0.Damit ist

i = {qa|q ∈ Z} = aZ.

Somit haben alle Ideale von Z die Gestalt aZ. Dies führt zu folgender Definition:

Hauptidealring. Sei R ein Integritätsbereich.Wir nennen R einen Hauptideal- ring (HIR), falls jedes Ideal i von R die Gestalt aRmit geeignetem a R hat.

Definition

14 I Arithmetik

Was wir gerade gezeigt haben, ist:

Z ist HIR.Lemma I.13

Die Idee von Z trägt aber weiter.

Jeder euklidische Ring R ist HIR.Satz I.14

Beweis. Wir wiederholen einfach den Beweis für Z. Sei 0 = i ein Ideal von R, wähle 0 = a imit ' (a) minimal. Sei b i, so teile b durch amit Rest, also

b = qa + r,' (r) < ' (a) oder r = 0.

Da r = b qa i ist, folgt r = 0, d.h. i = {qa|q R} = aR.

Nun kommen wir wieder zu den Begriffen „prim“ und „irreduzibel“ zurück.

Sei R ein HIR. Dann sind 0 und pR mit irreduziblem p genau die Primideale in R. Weiter ist jedes von 0 verschiedene Primideal maximal, d.h., R/pR ist ein Körper.

Satz I.15

Beweis. Sei zunächst p ein Primideal. Da R ein Hauptidealring ist, gibt es ein p R mit p = pR. Ist p = 0, so ist p nach Lemma I.12 irreduzibel.

Sei umgekehrt p irreduzibel. Wir zeigen, dass pR ein maximales Ideal ist. Sei pR  aR  R.Dann ist p = abmit geeignetem b R. Ist a eine Einheit, so ist aR = R, einWiderspruch zur Annahme aR = R. Also ist a keine Einheit. Da p irreduzibel ist, ist dann b eine Einheit.

Es gibt also ein c Rmit bc = 1.Damit erhalten wir a = abc = pc pR.

Also ist aR pR und dann aR = pR, ein Widerspruch zur Annahme pR = aR. Damit ist pR ein maximales Ideal. Nach Satz I.9 ist R/pR ein Körper, insbesondere ein Integritätsbereich. Somit ist pR ein Primideal.

Wir wissen, dass Z,K[x] (K Körper) und Z[i] Hauptidealringe sind. Aber Z[x] ist keiner.Wir betrachten dazu das Ideal xZ[x]. Offenbar ist

Z[x]/xZ[x] ∼= Z. Dies kann man wie folgt einsehen.Wir betrachten die Abbildung

' :Z[x] → Z mit

' (f ) = f (0), f ∈ Z[x].

I Arithmetik 15

Dann ist ' ein Homomorphismus. Es ist Bild f = Z. Weiter ist xZ[x] = ker f . Der Homomorphiesatz I.8 liefert nun die Behauptung.

Somit ist xZ[x] ein Primideal, da Z[x]/xZ[x] ∼= Z ist, und Z ein Integritäts- bereich ist. Da aber Z kein Körper ist, folgt mit Satz I.15, dass Z[x] kein Hauptideal- ring sein kann.

Damit haben wir auch die Frage beantwortet,ob es inZ[x] eine Divisionmit Rest gibt (was auch immer die Funktion ' sein mag). Diese gibt es nicht, da nach Satz I.14 jeder euklidische Ring ein Hauptidealring ist.

Bevor wir uns wieder Z[x] zuwenden, wollen wir die Hauptidealringe noch nä- her studieren. Wir werden als Erstes zeigen, dass diese immer einen ggT haben. Allein davon ausgehend, werden wir zeigen, dass man in Hauptidealringen ver- nünftig rechnen kann, d.h. insbesondere, dass wir einen Ersatz für die eindeutige Primfaktorzerlegung aus Z finden werden.

Seien R ein Hauptidealring und a1, . . . , at R. Dann existiert ein größter ge- meinsamer Teiler d von a1, . . . , at . Weiter gibt es b1, . . . , bt R mit

d = a1b1 + . . . + atbt .

Satz I.16

Beweis. Es ist a1R + . . . + atR ein Ideal, wie man leicht nachrechnet. Da R ein HIR ist, ist dann a1R + . . . + atR = dR für geeignetes d R.

Dann gibt es ri R, i = 1, . . . , t mit ai = rid. Insbesondere ist d ein Teiler von ai, i = 1, . . . , t.

Auf der anderen Seite gilt auch

d = a1b1 + . . . + atbt mit bi R geeignet. Sei nun s ein Teiler von ai, i = 1, . . . , t.Dann teilt s natürlich auch alle Produkte aibi, i = 1, . . . , t.Also ist s ein Teiler von d. Damit ist d ein ggT von a1, . . . , at .

Dies ist an sich ein ganz überraschender Satz. Er zeigt, dass der ggT, der ja rein unter Benutzung der multiplikativen Struktur des Ringes definiert wurde, von der additiven Struktur nicht unabhängig ist.

In einem euklidischen Ring kann man die Zerlegung

d = a1b1 + a2b2

mit dem euklidischen Algorithmus berechnen.Wenn man den ggT (a1, a2) wie auf Seite 8 mit dem euklidischen Algorithmus bestimmt, so hat jede Zeile die Form ri = qi+1ri+1 + ri+2. Das bedeutet, dass jedes ri+2 eine Linearkombination der vorher- gehenden ist, sich also letztendlich in der Form a1c1 + a2c2 schreiben lässt.Der letzte Rest rn+1 ist der ggT. Also können wir rückwärts diese Linearkombination bestim- men.Das hat nicht nur theoretische, sondern auch praktische Bedeutung. Seien etwa a, b, c ∈ Z gegeben. Gesucht sind x, y ∈ Zmit

ax + by = c.

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