Sucesiones de números reales., Ejercicios de Análisis Matemático. Universidad de Córdoba (UCO)
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Sucesiones de números reales., Ejercicios de Análisis Matemático. Universidad de Córdoba (UCO)

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Asignatura: Analisis matematico 1, Profesor: Carmen Calzada Canalejo, Carrera: Física, Universidad: UCO
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Tema 1. Sucesiones de números reales

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Departamento de Informática y Análisis Numérico

Universidad de Córdoba

Grado de Física

Curso Primero (Primer Cuatrimestre)

Carmen Calzada Canalejo

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 1 / 22

Contenido

1 Definición y convergencia

2 Cálculo práctico de límites

3 Sucesiones monótonas y acotadas

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 2 / 22

Definición y convergencia

Contenido

1 Definición y convergencia

2 Cálculo práctico de límites

3 Sucesiones monótonas y acotadas

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 3 / 22

Definición y convergencia

Definición de sucesión

Definición

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los

enteros positivos.

f : N −→ R n −→ f (n) = an

Usualmente se representan con notación de subíndices en vez de notación funcional.

Los valores funcionales a1,a2, . . . ,an, . . . se llaman los términos de la sucesión.

En algunos casos, el primer elemento puede ser a0 (o a2 o a3, . . . ).

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 4 / 22

Definición y convergencia

Generalidades

Llamamos a an el n–ésimo término de la sucesión. {an}n∈N = {an} = {a1,a2,a3, . . . ,an, . . . }

Los ejemplos más corrientes de sucesiones se pueden construir dando alguna regla o fórmula que defina el término n–ésimo.

Ejemplos

1 La fórmula an = 1/n define la sucesión cuyos primeros términos son:

1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . . .

2 Progresión aritmética de diferencia d : an = a1 + (n − 1)d . 3 Progresión geométrica de razón r : an = a1rn−1.

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 5 / 22

Definición y convergencia

◮ Otra forma de definir una sucesión: mediante un conjunto de instrucciones que indican cómo se obtiene un término a partir de los

anteriores (fórmula de recurrencia).

Ejemplo: Sucesión de Fibonacci

a1 = a2 = 1 , an = an−1 + an−2 para n ≥ 3

Definición

Decimos que la sucesión {an} es convergente si existe ℓ ∈ R tal que

∀ ε > 0, ∃n0(ε) ∈ N / ∀n > n0 ⇒ |an − ℓ| < ε.

En tal caso, se dice que ℓ es el límite de {an} y escribimos

lim n→∞

an = ℓ.

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 6 / 22

Definición y convergencia

◮ Los términos de una sucesión que converge a ℓ estarán en la franja comprendida entre las rectas

y = ℓ− ε e y = ℓ + ε

◮ El valor del límite de una sucesión convergente es único

◮ Una sucesión que no converge, puede divergir (en este caso el límite es +∞ ó −∞) u oscilar cuando su valor varíe entre dos o más valores fijos para n → ∞.

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 7 / 22

Definición y convergencia

Definición

Una sucesión {an} tiende a +∞ si para todo M > 0 existe un entero positivo n0 tal que ∀n > n0 se tiene que an > M. Lo denotaremos como

lim n→∞

an = +∞.

∀M > 0, ∃n0(M) ∈ N, tal que ∀n > n0,an > M De forma semejante, una sucesión {bn} tiende a −∞ si para todo M > 0 existe un entero positivo n0 tal que ∀n > n0 se tiene que bn < −M y lo denotaremos por

lim n→∞

bn = −∞.

∀M > 0, ∃n0(M) ∈ N, tal que ∀n > n0,bn < −M

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 8 / 22

Definición y convergencia

Ejemplos

1 Una sucesión constante {an} = K es convergente y lim n→∞

an = K .

2 La sucesión {an} = n tiene lim n→∞

an = +∞.

3 La sucesión {an} = −n tiene lim n→∞

an = −∞.

4 La sucesión {an} = 1/n es convergente y tiene lim n→∞

an = 0.

5 La sucesión {an} = (−1)n/n es convergente y tiene lim n→∞

an = 0.

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 9 / 22

Definición y convergencia

Subsucesiones

Definición

Se llama subsucesión de {an} a cualquier sucesión obtenida de tomar infinitos elementos de {an} sin variar su orden.

Propiedades: Sea {an} una sucesión de números reales (a) Si existe lim

n→∞ an = ℓ ∈ R ∪ ±∞ entonces lim

n→∞ bn = ℓ para toda

subsucesión de {an}. (b) Como consecuencia, si {an} admite dos subsucesiones {bn} y

{cn} tales que lim n→∞

bn 6= lim n→∞

cn o si admite una subsucesión que

no tiene límite, entonces no existe tampoco el límite de {an}.

Ejemplo

La sucesión {1,2,1,2,1,2, . . . } no tiene límite.

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 10 / 22

Cálculo práctico de límites

Contenido

1 Definición y convergencia

2 Cálculo práctico de límites

3 Sucesiones monótonas y acotadas

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 11 / 22

Cálculo práctico de límites

Teorema

Sean {an} y {bn} dos sucesiones tales que: lim

n→∞ an = L ∈ R ∪ {±∞} y lim

n→∞ bn = K ∈ R ∪ {±∞}

1 lim n→∞

(λan ± µbn) = λL ± µK , ∀ λ, µ ∈ R. 2 lim

n→∞ (an bn) = LK

3 lim n→∞

an

bn =

L

K , con bn 6= 0 y K 6= 0.

4 lim n→∞

(an) bn = LK , si L > 0.

donde las operaciones con ±∞ siguen las reglas del cálculo en R ∪ {−∞,+∞} utilizadas con los límites de funciones siempre y cuando no aparezca algunas de las indeterminaciones:

∞−∞, 0 0 ,

∞ ∞ , 0 · ∞, 1

∞, 00, ∞0

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 12 / 22

Cálculo práctico de límites

◮ Otras propiedades que se verifican son las siguientes:

Proposición

Sea {an} una sucesión de números reales. Entonces: lim

n→∞ an = 0 ⇔ lim

n→∞ |an| = 0.

Si lim n→∞

an = 0 y la sucesión {bn} está acotada, entonces lim

n→∞ anbn = 0.

◮ En muchos casos el límite de una sucesión puede verse como consecuencia del límite de una función.

Teorema

Sea f una función de una variable real tal que

lim x→∞

f (x) = ℓ.

Si {an} es una sucesión tal que f (n) = an ∀n ∈ N, entonces lim

n→∞ an = ℓ

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 13 / 22

Cálculo práctico de límites

◮ Este teorema abre la posibilidad de usar la regla de L’Hôpital para determinar el límite de una sucesión.

Ejemplo

Probar que la sucesión dada por an = n2

2n − 1 converge.

Teorema (Criterio del cociente)

Sea {an} una sucesión tal que existe un número N ∈ N de manera que an ≥ 0 para todo n > N. Si existe

lim n→∞

an+1 an

= ℓ ∈ R ∪ {∞}, entonces:

(a) Si ℓ < 1 ⇒ lim n→∞

an = 0.

(b) Si ℓ > 1 ⇒ lim n→∞

an = ∞.

◮ Observemos que si ℓ = 1, el criterio no decide. ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 14 / 22

Cálculo práctico de límites

Cálculo práctico de límites

Ejemplo

Calcular lim n→∞

(n + 1)! en

.

Teorema (criterio de la raíz)

Si an > 0, para todo n ∈ N y existe el lim n→∞

an+1 an

= ℓ ∈ [0,+∞) ∪∞, entonces existe el lim

n→∞

n √

an = ℓ.

Ejemplo

Calcular lim n→∞

n

(2n)! (n!)2

.

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 15 / 22

Cálculo práctico de límites

Cálculo práctico de límites

◮ Otros resultados útiles sobre límites.

Teorema (del “emparedado” o del “sandwich")

Si

lim n→∞

an = ℓ = lim n→∞

bn

y existe n0 ∈ N tal que an ≤ cn ≤ bn para todo n > n0, entonces lim

n→∞ cn = ℓ

Ejemplo: {cn} = {

(−1)n 1n! }

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 16 / 22

Cálculo práctico de límites

Cálculo práctico de límites

Definición

Se dice que dos sucesiones {an} y {bn} son equivalentes si lim

n→∞

an

bn = 1, y lo representaremos por an ∼ bn.

◮ En el cálculo práctico de límites podemos utilizar la siguiente tabla de sucesiones equivalentes:

1 Si an → 0

sen an ∼ an, tg an ∼ an,

1 − cos an ∼ a2n 2

(1 + an)λ − 1 ∼ λan, ean − 1 ∼ an, ln(1 + an) ∼ an

2 Si an → 1, entonces ln an ∼ an − 1.

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 17 / 22

Sucesiones monótonas y acotadas

Contenido

1 Definición y convergencia

2 Cálculo práctico de límites

3 Sucesiones monótonas y acotadas

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 18 / 22

Sucesiones monótonas y acotadas

Sucesiones monótonas y acotadas

Definición

La sucesión {an} es: Creciente cuando an ≤ an+1,∀n ∈ N. Estrictamente creciente cuando an < an+1,∀n ∈ N. Decreciente cuando an ≥ an+1,∀n ∈ N. Estrictamente decreciente cuando an > an+1,∀n ∈ N. Monótona cuando es creciente o decreciente.

Ejemplo

Estudiar la monotonía de la sucesión bn = 2n

1 + n .

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 19 / 22

Sucesiones monótonas y acotadas

Sucesiones monótonas y acotadas

Definición

La sucesión {an} es: Acotada inferiormente cuando ∃α ∈ R, tal que α ≤ an, ∀n ∈ N (se dice entonces que α es una cota inferior).

Acotada superiormente cuando ∃β ∈ R, tal que β ≥ an, ∀n ∈ N (se dice entonces que β es una cota superior).

Acotada cuando lo está inferior y superiormente.

◮ A la mayor de las cotas inferiores se le denomina extremo inferior o ínfimo y a la menor de las cotas superiores extremo superior o supremo.

◮ Si el ínfimo (respectivamente supremo) pertenece al conjunto, este se llama mínimo (respectivamente máximo).

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 20 / 22

Sucesiones monótonas y acotadas

Sucesiones monótonas y acotadas

◮ Se verifica que toda sucesión convergente es acotada, sin embargo su recíproco, tal cual no es cierto.

Teorema (de las sucesiones monótonas)

Sea {an} una sucesión monótona. Si {an} es monótona creciente y acotada superiormente por un número K ∈ R, entonces {an} es convergente y lim

n→∞ an ≤ K .

Si {an} es monótona decreciente y acotada inferiormente por un número K ∈ R, entonces {an} es convergente y lim

n→∞ an ≥ K .

Si {an} es monótona creciente y no está acotada superiormente, entonces lim

n→∞ an = +∞.

Si {an} es monótona decreciente y no está acotada inferiormente, entonces lim

n→∞ an = −∞.

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 21 / 22

Sucesiones monótonas y acotadas

Sucesiones monótonas y acotadas

Ejemplos

1 La sucesión {2n} es monótona creciente, no está acotada superiormente y, por tanto, lim

n→∞ 2n = +∞.

2 La sucesión {

2n − 1 n3

}

es monótona decreciente y está acotada

inferiormente por cero. El teorema nos asegura entonces que es

convergente y que lim n→∞

2n − 1 n3

≥ 0.

ANA I (DIAN) Tema 1. Sucesiones de números reales 1o Física 22 / 22

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