Taller Señakes y sistemas II, Ejercicios de Señales y Sistemas. Universidad Nacional de Colombia
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Taller Señakes y sistemas II, Ejercicios de Señales y Sistemas. Universidad Nacional de Colombia

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Señales y sistemas II, taller de funciones de transferencia y realizaciones
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Taller 3 Señales y Sistemas II

Jeison Julian Vargas Rojas 25451680 Leonardo Bermeo

Universidad Nacional de Colombia

Marzo, 2017

1. Primer Punto

H(s) = 0,5

(S2 + a1S + a2)(S2 + a3S + a4) (1)

Asignando a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3 y a4 = 4, se obtiene:

H(s) = 0,5

(S4 + 4S3 + 9S2 + 10S + 8) (2)

Con la anterior función de transferencia, se halla la siguiente realización: ẋ1 ẍ2 ẋ3 ẍ4

 =  −4 −9 −10 −8 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

  x1 x2 x3 y4

+ 

1 0 0 0

u(t) (3)

[ y ]

= [

0 0 0 0,5 ] 

x1 x2 x3 x4

+ [ 0 ]u(t) (4) Se obtienen entonces las siguientes ecuaciones de estado:

ẋ1 = −4x1 − 9x2 − 10x3 − 8x4 + u(t) (5)

ẋ2 = x1 (6)

ẋ3 = x2 (7)

ẋ4 = x3 (8)

y = 0,5x4 (9)

1.1. Simulaciones A partir de la función de transferencia dada en la ecuación 2, se implementa el siguiente algoritmo en octave, el cual modela

la respuesta al escalón del sistema

Figura 1: Algoritmo en octave

1

El resultado de la simulación del algoritmo de la figura 1, se observa en la figura 2.

Figura 2: Respuesta al escalón del sistema (octave)

Como se observa en la figura 2, la respuesta al escalón se estabiliza aproximadamente en 0.063 después de un tiempo superior a 10 segundos. A partir de la ecuaciones de estado halladas anteriormente, se obtuvo el siguiente diagrama de computador analógico:

Figura 3: Diagrama de computador analógico del sistema

Del diagrama de la figura 3, se obtiene el montaje con amplificadores operacionales de la figura 4:

2

Figura 4: Implementación con amplificadores operacionales

Para realizar la simulación de la figura 4, se utilizaron resistencias de 1MΩ y condensadores de 1µF . Los valores de resistencias diferentes se pueden observar en el circuito. Con la simulación transitoria realizada en Qucs, se obtuvo el siguiente resultado en la salida del sistema:

Figura 5: Respuesta al escalón del sistema (Qucs)

Como se puede observar, las respuestas obtenidas en las figuras 2 y 5 son similares, por lo que se verifica el correcto funcionamiento de la simulación de la figura 4. Las respuestas al paso unitario del sistema son sub-amortiguadas, pues existe una oscilación de la salida antes de que ésta se estabilice en un valor.

2. Segundo Punto

 ẋ1 ẍ2 ẋ3 ẍ4

 =  0 0 −1,5−1 0 2,3

0 −10 −9

  x1 x2 x3 y4

+  −20

0

u(t) (10) [ y ]

= [

0 0 −1 ] 

x1 x2 x3 x4

+ [ 0 ]u(t) (11) La realización anterior corresponde a la siguiente función de transferencia:

H(s) = 20

(S3 + 9S2 + 23S + 15) (12)

3

Para demostrarlo, se parte de la transformada de Laplace de las ecuaciones de estado:

ẋ1 = −1,5x3 − 2u(t)⇒ SX1(S) = −1,5X3(S)− 2U(S) (13)

ẋ2 = −x1 + 2,3x3 ⇒ SX2(S) = −X1(S) + 2,3X3(S) (14)

ẋ3 = −10x2 − 9x3 ⇒ SX3(S) = −10X2(S)− 9X3(S) (15)

y = −x3 ⇒ Y (S) = −X3(S) (16)

Despejando X2(S) de la ecuación 15:

X2(S) = x3(S)(S + 9)

−10 (17)

Reemplazando X2(S) en la ecuación 14, y despejando X1(S):

X1(S) = X3(S)(2,3 + (S)(S + 9)

10 ) (18)

Reemplazando X1(S) en la ecuación 13, y despejando X3(S):

X3(S) = −2U(S)

S(2,3 + S(S+9)10 ) + 1,5 (19)

Sabiendo que X3(S) = −Y (S) :

Y (S) = 2U(S)

S(2,3 + S(S+9)10 ) + 1,5 (20)

H(S) = 2

2,3S + S 2(S+9) 10 + 1,5

= 20

S3 + 9S2 + 23S + 15 (21)

El resultado de la ecuación 21, hallado a partir de las transformadas de Laplace de las ecuaciones de estado de la realización, es igual a la ecuación 12, por lo cual se comprueba que la realización dada en las ecuaciones 10 y 11, corresponde a la función de transferencia de la ecuación 12. Para encontrar otra realización para la función de transferencia dada, se realiza el procedimiento visto en clase, obteniendo: 

ẋ1 ẍ2 ẋ3 ẍ4

 =  −9 −23 −151 0 0

0 1 0

  x1 x2 x3 y4

+  10

0

u(t) (22)

[ y ]

= [

0 0 20 ] 

x1 x2 x3 x4

+ [ 0 ]u(t) (23)

4

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