Tasas de Rendimiento, Esquemas de Matemáticas. Liceo Sur Andino
laura_camila_mora
laura_camila_mora13 de febrero de 2017

Tasas de Rendimiento, Esquemas de Matemáticas. Liceo Sur Andino

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151

CAPÍTULO III TASAS DE

RENDIMIENTO Y DESCUENTO

___________________________________

152

3.1. TASAS DE RENDIMIENTO Y DESCUENTO 3.1.1.- Conceptos básicos y ejercicios:

La tasa de interés se refiere: A la valoración del costo que implica la posesión del dinero, producto de un crédito. Rédito que causa una operación, en cierto plazo, y que se expresa porcentualmente respecto al capital que lo produce. Es el precio en porcentaje que se paga por el uso de fondos financiados1.

LA TASA DE RENDIMIENTO SE REFIERE A LA TASA QUE EL INVERSIONISTA ESPERA OBTENER DE SUS INVERSIONES, CLARO ESTÁ,

ANTES DE LA CARGA TRIBUTARIA.

Si buscamos los componentes que son

base para la determinación de la tasa

de rendimiento que ofrecen los

instrumentos de inversión, podríamos

decir: que la tasa de rendimiento

debiera exceder a la tasa de mercado

en proyectos de riesgo. DEBIERA CONSIDERARSE ENTRE OTRAS COSAS: la tasa real, la inflación acumulada en el lapso de tiempo de la inversión, el grado de riesgo:

Como función lineal, situaríamos a la tasa de rendimiento como:

)[  rlf ppiiTr Donde:

Tr= tasa de rendimiento

i= interés real

if= inflación acumulada

pl= prima de liquidez

pr= prima de riesgo

β= beta del activo

1 Disponible en Website http://www.definicion.org/tasa-de-interes [consultado el 300107]

Esta pudiera ser una

fórmula para determinar

una tasa de rendimiento

acorde a la inversión.

153

Sin embargo en las operaciones activas y pasivas que llevan a cabo las instituciones financieras, éstas, solo toman la tasa de referencia que el Banco de México autoriza para tal efecto. En resumen, la tasa de rendimiento es el premio que se espera recibir, mientras que la tasa de descuento se refiere a un índice de rendimiento utilizado para descontar flujos futuros de efectivo a su valor actual (presente).

Veamos el caso de los Cetes El Cete puede calcularse de dos maneras: A partir de su tasa de rendimiento:

Teorema (1)

) 360

* 1(

ti

V P

rt

cete

nom

Donde: Pcete = Precio del Cete (8 decimales) Vnom = Valor nominal del Cete

irt = Rendimiento anual (tasa) t = Plazo en días del Cete

O a partir de su tasa de descuento.

) 360

* 1(

ti

i i

rt

rt d

Donde: id = Tasa de descuento irt = Rendimiento anual (tasa) t = Plazo en días del Cete

154

Se despeja irt Teorema (2)

) 360

* 1(

ti

i i

d

d rt

Si se sustituye el teorema 2 en 1……………….. Se obtiene el teorema 3

) 360

* 1(*

ti VP

d

cete nom 

Ejemplo de ello, lo podemos situar en el cálculo del siguiente paquete:

Un inversionista adquiere Cetes con un rendimiento anual del 14.7%. La colocación está fechada el 31 de Marzo del 2006 y la fecha de vencimiento es el 28 de abril del mismo año (28 días por madurar el valor nominal de $10.00).

Recordemos que los Cetes se adquieren a descuento en los mercados primario y secundario. Se solicita calcular el valor de adquisición

a): calcular el principal a través de irt b): calcular el precio a partir de id c): calcular el precio a partir del teorema 3

) 360

* 1(

ti

V P

rt

cete

nom

 cete

. P

. * ( )

10 000

0 147 28 1

360

cete .

P ( .  

10 000

1011433333333

$9.886959104 (a)

) 360

* 1(

ti

i i

rt

rt d

) 360

28*147.0 1(

147.0

di )0114333333.1(

147.0 di =

0.1453 » 14.53% (b)

155

Con la tasa de descuento (14.53%) se calcula el precio del Cete en su adquisición.

Su valor par, hasta su maduración es de $10.00, por eso es que se

compra a descuento

) 360

* 1(*

ti VP

d

cete nom  ) 360

28*1453.0 1(*10 ceteP

)0113011111.01(*10 ceteP )9886988889.0(*10ceteP = 9.886988889 (c)

3.1.2.- TASAS DE INTERÉS

- Conceptos básicos y ejercicios: Tasa nominal y tasa efectiva: La tasa nominal es la tasa pasiva sin capitalizar. La tasa efectiva es la que resulta de capitalizar la tasa nominal, la cual depende de los períodos de capitalización (diario, semanal, mensual, semestral o anual).

Veamos en la siguiente tabla un ejercicio de forma comparada

Tasa nominal y efectiva con distintos períodos de capitalización Capitalización mensual (n=12) Capitalización semestral (n=2)

Tasa nominal anual Tasa efectiva anual Tasa nominal anual Tasa efectiva anual 6.00 6.1678 6.00 6.0900 9.00 9.3807 9.00 9.2025

12.00 12.6825 12.00 12.3600 15.00 16.0755 15.00 15.5624 18.00 19.5618 18.00 18.8100 24.00 26.8242 24.00 25.4400 27.00 30.6050 27.00 28.8225 30.00 34.4889 30.00 32.2500 33.00 38.4784 33.00 35.7225 36.00 42.5761 36.00 39.2400

156

En la Tabla anterior se muestra la variación en las tasas nominales y efectivas para distintos períodos de capitalización.

La relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva se muestra en la Fórmula 1.

 100*1)1(  

  n

m

Tn TE Fórmula 1

En donde: TE = Tasa efectiva Tn = Tasa nominal n = Número de períodos de capitalización m = capitalización También se puede calcular de la siguiente manera: Si f es la tasa efectiva, “i” la tasa de interés por el período de capitalización y por m al número de períodos (Pastor, 1999). Entonces:

1)1(  mif Fórmula 1.A

Ejemplo Calcule la tasa efectiva anual si se tiene una tasa nominal con capitalización mensual del 12%. En este caso sustituyendo en la Fórmula 1, se tiene que:

 %68.12100*1) 12

12.0 1( 12  

 TE

Con la fórmula 1.A

1)1(  mif 1)01.01( 12 f 1268250301.0f

157

Ejemplo Calcule la tasa efectiva anual si se tiene una tasa nominal con capitalización semestral del 36%.

En este caso sustituyendo en la Fórmula 1 se tiene que:

 %24.39100*1) 2

36.0 1( 2  

 TE

Ahora otro Ejemplo

Calcule la tasa efectiva anual con capitalización mensual si se tiene una tasa nominal diaria del 0.09%.

En este caso sustituyendo en la Fórmula 1 se tiene que:

  

  

12

12

1 (.009*30) 1 *100

1.027 1 *100

(1.376719054) 1*100

37.6719054%

TE

TE

TE

TE

  

 

 

3.1.3.- Tasa real

Representa la utilidad neta de una inversión de capital en una entidad financiera. Es decir, la tasa real es el rendimiento por encima de la inflación que se paga o se recibe en operaciones financieras. Está determinada en función de la tasa efectiva y de la tasa inflacionaria, tal y como se muestra en la Fórmula 2.

100* 1 

  

 

TI

TITE TR Fórmula 2

En donde:

TR = Tasa real, TE = Tasa efectiva, TI = Tasa inflacionaria

158

REALICEN LA SIGUIENTE ACTIVIDAD EN CLASE PARA FOMENTAR LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO. Desarrollar los siguientes Ejercicios: Calcule las tasas efectivas de las tasas nominales descritas de la siguiente Tabla:

Tasa nominal y efectiva con distintos períodos de capitalización Capitalización mensual

Capitalización quincenal

Tasa nominal

anual

Tasa efectiva anual

Tasa nominal

anual

Tasa efectiva anual

1.00 1.00 2.00 2.00 3.55 3.55

14.78 14.78 18.68 18.68 24.50 24.50 26.00 26.00

Ahora con:

Capitalización bimestral (n=6) Capitalización trimestral (n=4)

Tasa nominal y efectiva con distintos períodos de capitalización Capitalización bimestral

Capitalización trimestral

Tasa nominal

anual

Tasa efectiva anual

Tasa nominal

anual

Tasa efectiva anual

1.00 1.00 2.00 2.00 3.55 3.55

14.78 14.78 18.68 18.68 24.50 24.50 26.00 26.00

159

SIGUIENTE EJERCICIO: Calcule la Tasa Real de las siguientes tasas efectivas

Considere una Inflación anual del 3.5% para todos los casos… (Sólo para fines didácticos)

100* 1 

  

 

TI

TITE TR

Fórmula 2

En donde:

TR = Tasa real, TE = Tasa efectiva, TI = Tasa inflacionaria

Capitalización mensual (n=12)

Tasa nominal anual

Tasa efectiva anual

Tasa Real

6.00 6.1678 Ejemplo resuelto

9.00 9.3807

12.00 12.6825

15.00 16.0755

18.00 19.5618

Desarrollo de un ejemplo:

100* 1 

  

 

TI

TITE TR 100*

035.01

035.0061678.0  

  

 TR 577584541.2100*

035.01

026678.0 

  

 TR

Resultado:

Capitalización mensual (n=12)

Tasa nominal anual Tasa efectiva anual Tasa Real

6.00 6.1678 2.5776

160

3.1.4.- EJERCICIOS: Ahora considere una inflación mensual estimada durante el año del 0.5% (resuelva los ejercicios de la tabla)

Tasa nominal, efectiva y real Capitalización bimestral Capitalización trimestral

Tasa nominal

anual

Tasa efectiva

anual

Tasa real Tasa nominal

anual

Tasa efectiva

anual

Tasa real

14.78 ¿ ? ¿ ? 14.78 18.68 18.68 24.50 24.50 26.00 26.00

EJERCICIO RESUELTO DE EJEMPLO:

Tasa nominal anual del 14.78%

Primeramente se calcula la Tasa efectiva, para ello se requiere conocer la tasa bimestral.

(14.78/12)*2=2.463333 bimestral ó .1478/6= 2.463333

Formula: 100* 1 

  

 

TI

TITE TR

En donde:

TE = Tasa efectiva, TN = Tasa nominal, m= capitalización, n= períodos de capitalización

 100*1) 6

1478. (1( 6 

 TE   100*1)02463333.1( 6 TE

  %720652.15100*1)15720652.1( TE Ahora se calcula la Tasa real

161

En donde: TR = Tasa real?, TE = Tasa efectiva 15.720652, TI = Tasa Inflacionaria 0.5% mensual * 12=6% anual

100* 1 

  

 

TI

TITE TR 100*

06.01

06.15720652.  

  

 TR

  %170426.9100*09170426.0 TR

Como visualizar este cálculo en un simulador financiero:

Finalmente se tiene

Tasa nominal, efectiva y real

Capitalización bimestral

Tasa

nominal

anual

Tasa

efectiva

anual

Tasa real

14.78% 15.72% 9.17%

TE=15.72% TR=9.17%

162

Este simulador y otros, tiene descarga gratuita en:

http://sites.google.com/site/educacionvirtualucc/

Sección descargas…….. Fue desarrollado por alumnas de la Maestría en Administración en la UCC Practicando Mate-financiera con Kitty

3.1.5. TASAS EQUIVALENTES

En teoría, las tasas de interés con períodos distintos de capitalización son equivalentes, si en el largo plazo generan el mismo rendimiento. La tasa de interés es equivalente a su tasa efectiva asociada, porque ambas generan similares ganancias. En la práctica financiera y comercial, con frecuencia se hace necesario calcular la tasa equivalente, a partir de períodos de capitalización diferentes (Pastor, 1999). Veamos un caso: Vs.

Banco de la ilusión: ofrece el 14.2% anual capitalizable mensualmente

Banco de las transas: ofrece el 15.0% anual capitalizable trimestralmente

163

El problema que se le viene al Banco de la ilusión es…………. Que sus clientes le están cancelando sus cuentas, para irse con el Banco de las transas…. pudiera ser traición, pero no……..

¡Debemos cuidar nuestro dinero! … ¿no cree Usted?

Como resolver este problema Pastor (1999), sugiere utilizar el procedimiento de las tasas efectivas. Es por ello, que calculamos la tasa efectiva del “Banco de las transas” que es nuestra competencia directa.

Para ello, podemos utilizar las siguientes fórmulas

 8650415.15100*1) 4

15.0 1( 4  

 TE

Ó

1)1(  mif 1)0375.01( 4 f 158650415.0f

Entonces como el primer Banco ofrece una tasa del 14.2% capitalizable mensualmente, ahora debemos encontrar la tasa que capitalizable mensualmente, rinde la tasa efectiva del 15.865% cuya capitalización es trimestral

Con ello se daría respuesta a la pregunta…. ¿Qué tasa anual capitalizable mensualmente, debe pagar el Banco A, que le permita igualar los rendimientos del Banco B?

Ahora nos damos a la tarea de encontrar la tasa requerida, o sea, la tasa nominal que capitalizable mensualmente, sea equivalente a la tasa efectiva del 15.865%, ésta última, correspondiente a la tasa anual del 15% capitalizable trimestralmente que ofrece el Banco B

164

Los datos son: Como tasa nominal ( i ), se toma la tasa efectiva (ie) y a partir de la fórmula del monto compuesto:

n

n

i S

  

  1 Ahora tenemos que

12

12 115865.1 

  

 

i

Despejemos i elevando a la potencia en que se desea capitalizar la tasa equivalente.

12/1)15865.1( 12

1  

  

 

i Esto nos da………

3083333333.0)15865.1(

)012346896.1(

Si la unidad esta sumando…….. Pasa restando y queda la siguiente expresión:

012346896.0 12 

i

148162752.0012346896.0*12 i

Ahora hay que sugerirle al Banco de la ilusión que ofrezca una tasa anual capitalizable mensualmente de por lo menos 14.82% (redondeada), que es equivalente a la tasa nominal del 15% capitalizable trimestralmente, y equivalente a su tasa efectiva del 15.865% Otra alternativa que presenta el Dr. Pastor, para identificar tasas equivalentes, a partir de las tasas nominales que ofrecen los bancos que se comparan es: a).- igualar los rendimientos de ambas tasas en el plazo más reciente en el que puedan coincidir. b).- No se requiere calcular tasa efectiva c).- Ubicar las capitalizaciones que ofrecen los bancos…. (Es común que sea a 28 días, mensual, trimestral)

165

Con lo anterior, entonces ahora debemos determinar las tasas i1= tasa nominal para el primer banco (en este ejemplo es igual a i/12) i2= tasa nominal del segundo banco (en este ejemplo es igual a 15/4 = 3.75%)

Con estos datos debemos satisfacer la siguiente ecuación

3) 12

1(0375.1 i



3/1)0375.1() 12

1(  i

Tenemos que es = 1.012346926

Al igual que la primera alternativa: Se le resta la unidad y se multiplica por 12 y nuevamente tenemos una tasa equivalente del 14.816% (1- 1.012346926*12) Si con todo esto, los clientes siguen cancelando sus cuentas, entonces deberán preocuparse los funcionarios del Banco y replantear su estrategia para cuidar a sus clientes.

Monto de una inversión “x” en el segundo Banco

Monto de una inversión “x” después de 3 meses en el primer Banco

Después de elevar a: 1/3

Su equivalencia se calcula, a partir de la siguiente

expresión:

166

3.1.6. EJERCICIOS CON SIMULADOR FINANCIERO.

Para mostrar el uso de un simulador financiero, y para mayor comprensión del tema, a continuación se muestra en un cuadro un conjunto de tasas nominales, de las cuales se calculará su tasa efectiva y su tasa real. Para ello consideraremos diferentes periodos de capitalización y se tomará el interés ordinario de 360 días. Para todos los casos se tomará como índice de inflación el 3.4% anual, para el cálculo de la tasa real.

Se pide calcular su tasa efectiva y tasa real:

TASA NOMINAL, EFECTIVA y REAL CON DISTINTO PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN Capitalización quincenal Capitalización mensual Capitalización bimestral TASA

Nominal

(anual)

TASA

Efectiva

(anual)

TASA

Real

(anual)

TASA

Nominal

(anual)

TASA

Efectiva

(anual)

TASA

Real

(anual)

TASA

Nominal

(anual)

TASA

Efectiva

(anual)

TASA

Real

(anual)

11.00% 11.00% 11.00%

12.55% 12.55% 12.55%

13.30% 13.30% 13.30%

14.00% 14.00% 14.00%

15.75% 15.75% 15.75%

De las formulas: Tasa Efectiva y Tasa Real se tiene que

 100*1)1(  

  n

m

Tn TE

y

100* 1 

  

 

TI

TITE TR

Con el simulador financiero:

Se toma como ejemplo la tasa nominal del 12.55% misma que se calculará su tasa efectiva y la tasa real con tres tipos de capitalización en interés ordinario (360 días).

167

Para la primera de las tasas (efectiva) se utiliza un simulador en Excel y para la segunda (real) un simulador diseñado en Visual Basic.

TASA NOMINAL, EFECTIVA y REAL CON DISTINTO PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN Capitalización quincenal Capitalización mensual Capitalización bimestral TASA

Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real

(anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real

(anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real

(anual) 12.55% 12.55% 12.55%

Primer caso (Tasa Efectiva): Quincenal

 100*1)1(  

  n

m

Tn TE

 

360/15

24

.1255 (1 ) 1 *100

360*15

(1 0.005229167) 1 *100

(1.133344515) 1 *100

13.33445152%

TE

TE

TE

TE

    

    

 

Mensual

 100*1)1(  

  n

m

Tn TE

 

360/30

12

.1255 (1 ) 1 *100

360*30

(1 0.010458333) 1 *100

(1.132976544) 1 *100

13.2976544%

TE

TE

TE

TE

    

    

 

Bimestral

 100*1)1(  

  n

m

Tn TE

 

360/60

6

.1255 (1 ) 1 *100

360*60

(1 0.020916667) 1 *100

(1.132248523) 1 *100

13.2248523%

TE

TE

TE

TE

    

    

 

168

En resumen se tiene:

TASA NOMINAL, EFECTIVA y REAL CON DISTINTO PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN Capitalización quincenal Capitalización mensual Capitalización bimestral TASA

Nomina l

(anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real

(anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real

(anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real

(anual)

12.55% 13.334451% 12.55% 13.297654% 12.55% 13.224852%

Para su comprobación, ahora

Con un simulador en Excel Quincenal

TE= Tasa Efectiva TE=

TN= Tasa Nominal TN=

n= Número de periodos de capitalización n=

Depreciación Línea RectaMonto Interés Compuesto Tasa Real Anualidades Amortizaciones

Notación

TASA EFECTIVA

Tasa Efectiva

Depreciación por Unidad Prod.Fondo de AmortizaciónMenú Interés Simple

13.33

CALCULAR

12.55

24

%

%

LIMPIAR

100*11   

  

  

  

 

n

n

TN TE

Mensual

TE= Tasa Efectiva TE=

TN= Tasa Nominal TN=

n= Número de periodos de capitalización n=

Depreciación Línea RectaMonto Interés Compuesto Tasa Real Anualidades Amortizaciones

Notación

TASA EFECTIVA

Tasa Efectiva

Depreciación por Unidad Prod.Fondo de AmortizaciónMenú Interés Simple

13.3

CALCULAR

12.55

12

%

%

LIMPIAR

100*11   

  

  

  

 

n

n

TN TE

169

Bimestral

TE= Tasa Efectiva TE=

TN= Tasa Nominal TN=

n= Número de periodos de capitalización n=

Depreciación Línea RectaMonto Interés Compuesto Tasa Real Anualidades Amortizaciones

Notación

TASA EFECTIVA

Tasa Efectiva

Depreciación por Unidad Prod.Fondo de AmortizaciónMenú Interés Simple

13.22

CALCULAR

12.55

6

%

%

LIMPIAR

100*11   

  

  

  

 

n

n

TN TE

Segundo caso (Tasa Real): Quincenal

100* 1 

  

 

TI

TITE TR

*100 1

.133344451 0.034 *100

1 0.034

0.099344451 *100

1.034

9.607780561%

TE TI TR

TI

TR

TR

TR

     

     

      

Mensual

100* 1 

  

 

TI

TITE TR

*100 1

.13297654 0.034 *100

1 0.034

0.09897654 *100

1.034

9.5721992%

TE TI TR

TI

TR

TR

TR

     

     

      

170

Bimestral

100* 1 

  

 

TI

TITE TR

*100 1

.13224852 0.034 *100

1 0.034

0.09824852 *100

1.034

9.5017911%

TE TI TR

TI

TR

TR

TR

     

     

      

En resumen se tiene:

TASA NOMINAL, EFECTIVA y REAL CON DISTINTO PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

Capitalización quincenal Capitalización mensual Capitalización bimestral TASA

Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real

(anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real

(anual)

TASA Nominal (anual)

TASA Efectiva (anual)

TASA Real

(anual) 12.55% 13.3344% 9.6077% 12.55% 13.2976% 9.5721% 12.55% 13.2248% 9.50179%

Para su comprobación, ahora

Con un simulador en Excel y Visual Basic

Quincenal

TR = 9.6077 %

TE = 13.3344 %

TI = 3.4 %

100* 1 

 

 

TI

TITE TR

TR = TASA REAL TE= TASA EFECTIVA TI= TASA INFLACIONARIA

171

Mensual

TR = 9.5721 %

TE = 13.2976 %

TI = 3.4 %

100* 1 

 

 

TI

TITE TR

TR = TASA REAL TE= TASA EFECTIVA TI= TASA INFLACIONARIA

Bimestral

TR = 9.5017 %

TE = 13.2248 %

TI = 3.4 %

100* 1 

 

 

TI

TITE TR

TR = TASA REAL TE= TASA EFECTIVA TI= TASA INFLACIONARIA

*

*

172

*

De esta forma podemos ver que los cálculos fueron correctos. Para el caso que se realizó en Visual Basic, se pudo comprobar tanto la tasa efectiva como la tasa real en las tres formas de capitalización. Y de forma individual, nuevamente en un simulador en Excel se corroboró el resultado que se hizo manualmente con las fórmulas. Las herramientas financieras son descargables gratuitamente desde:

http://garciasantillan.com/

173

Fin del Capitulo

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Enviar correo a: agsposgrados@yahoo.com, arturogarciasantillan@yahoo.com.mx

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