Tema 1, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)
ijome
ijome

Tema 1, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)

13 páginas
5Número de visitas
Descripción
Asignatura: Equacions diferencials ordinàries, Profesor: Perez M Dolores, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 13
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 13 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 13 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 13 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 13 páginas totales
Descarga el documento
tema1edo1718.dvi

TEMA I INTRODUCCIÓ A LES EDO

1. Introducció

En aquest curs anem a estudiar les equacions diferencials ordinàries (EDOs), és a dir equacions en les que la incògnita és una funció d’una variable (és una equació funcional) i en les que també apareixen derivades de la funció incògnita, així com la mateixa variable independent. Vegem alguns exemples:

(1) 2− 30 = 00 (2)  − 2

2 2 + 3 = (

  )

3

(3) 0 +  = (0− 22) En general el que farem és estudiar si hi ha funcions que verifiquen aquestes

equacions en un cert domini, a les que en cas d’existir anomenarem solucions. Ara bé estudiarem només equacions diferencials reals, és a dir, equacions en les

que les funcions que apareixen són funcions reals (escalars o vectorials) de variable real i estudiarem si aquestes tenen, o no, solucions reals (escalars o vectorials) de variable real. La importància del tema és evident ja que les EDOs apareixen en moltes apli-

cacions de la Física, la Química, l’Economia, etc., i és que no hem d’oblidar que la derivada d’una funció expressa la variació d’una variable respecte d’altra i açò és una qüestió que interessa en qualsevol aplicació de les diferents branques de la ciència i de la tècnica. Anem a veure alguns exemples d’aplicacions en la següent secció.

2. Aplicacions

2.1. Cossos en caiguda. Si () representa la distància cap avall, a partir d’una altura fixa d’un cos de masa, que es deixa caure per l’acció de la gravetat sense que intervinga cap força més (caiguda lliure), la corresponent equació del moviment, aplicant la segona llei de Newton és

00 = 

on  és l’acceleració de la gravetat. És a dir

00 = 

Les solucions d’aquesta equació són de la forma () =   2

2 + 1 + 2, per tant si sabem que la distància inicial, és a dir quan  = 0, és 0, i que la velocitat inicial és també 0, aleshores tenim que en l’instant  la distància és () =  

2

2 . Si ara suposem que l’aire exerceix una força directament proporcional a la ve-

locitat i en sentit contrari al de la gravetat (caiguda retardada), l’equació del moviment és de la forma

00 =  − 0 1

2 INTRODUCCIÓ A LES EDO

on  és la constant de proporcionalitat. Les solucions d’aquesta equació són de la forma () = 1 + 2−

   +  , i suposant les mateixes condicions inicials que al

cas anterior s’aplega a que () = −22 +  +  2

2  −  .

2.2. Evolució de la població. Si () representa l’aproximació contínua de la funció població (número d’individus) en un instant , i que evidentment és una funció que varia de forma discreta, aleshores si suposem que no hi ha moviments migratoris i que l’índex de natalitat és () (naixements per unitat de temps i de població), i el de mortalitat és () (morts per unitat de temps i de població), l’equació que modelitza la variació de la població és de la forma

0() = (()−())() . Si ara suposem també que no hi ha moviments migratoris i que l’índex de na-

talitat () i el de mortalitat () són constants, és a dir () =  i () = , l’equació que modelitza la variació de la població és

0() = ()

on  és −. Les solucions d’aquesta equació són de la forma () = , per tant si sabem

que la població inicial, és a dir quan  = 0, és 0  0, tenim que en l’instant  la població és () = 0. Per tant si   , és a dir   0 i no hi ha moviments migratoris ni altres tipus de restriccions, tenim que ()→ +∞ quan → +∞. Quan   , és a dir   0 tenim que () → 0 quan  → +∞. En aquest

cas l’equació modelitza, per exemple, la descomposició radioactiva dels elements químics.

3. Conceptes bàsics

Definition 3.1. Siga un conjunt  ⊂ R × R ×R × ×R| {z } +1 vegades

, anomenarem

equació diferencial ordinària d’ordre  en  (EDO en forma implícita), a una expressió del tipus

(1)  (  0 00  ()) = 0

on  : ⊂ R×R ×R × ×R| {z }

+1 vegades

→ R

Remark 3.1. Com hem vist l’ordre en (1) és el de la major derivada, en aquest cas . I la dimensió de (1) és  és a dir la dimensió de l’espai R. Si  = 1 es diu que l’EDO és escalar, i si   1 es diu que és vectorial, o

també que és un sistema de  equacions diferencials ordinàries. I al conjunt  se l’anomena domini de l’EDO. La paraula ordinària és per a indicar que les funcions que intervenen, en aquest

cas (), són funcions d’una variable, i en particular, al nostre cas, funcions vec- torials reals de variable real. És a dir, funcions del tipus

 :  ⊂ R→ R Utilitzarem normalment aquesta notació ja que, com hem vist als exemples ante- riors, en moltes ocasions la variable independent és la variable temporal . També

INTRODUCCIÓ A LES EDO 3

utilitzarem en molts exemples i exercicis la notació de  per a la variable indepen- dent, i  = () per a la funció, ja que en moltes aplicacions le variables ( ) són variables espacials (o de posició), és a dir representen punts del pla R2. Moltes vegades les EDOs s’expressen, si es pot, aïllant la derivada de major ordre

i és per açò que donarem la següent definició.

Definition 3.2. Siga un conjunt  ⊂ R × R ×R × ×R| {z }  vegades

, anomenarem

equació diferencial ordinària d’ordre  en forma normal (o EDO en forma explícita) a una expressió del tipus

(2) () = (  0 00  (−1))

on  :  ⊂ R×R ×R × ×R| {z }

 vegades

→ R

Remark 3.2. Igualment l’ordre en (2) és el de la major derivada . I la dimensió de (2) és també . I si  = 1 es diu que l’EDO és escalar, i si   1 es diu que és vectorial o

sistema de  equacions diferencials ordinàries. I al conjunt  se l’anomena domini de l’EDO en forma normal.

Remark 3.3. Un cas particular d’equacions diferencials ordinàries són les anom- enades autònomes que són aquelles que no depenen explícitament de la variable independent, és a dir expressades en forma normal són del tipus:

() = ( 0 00  (−1))

Example 3.1. (1) 2 − 0 + 300 = 0. EDO escalar de 2 ordre en forma implícita.

(2) (0)2 − 000 + 0 = 0. EDO escalar de 3 ordre en forma implícita. (3) 000 − 00 + 0 = (0 0). EDO vectorial de 3 ordre i dimensió 2 en forma

implícita, o el que és equivalent, el sistema de dos equacions diferencials:½ 0001 − 001 + 01 = 0 0002 − 002 + 02 = 0

(4)  = 2− 3+1. EDO escalar de 1 ordre en forma normal i autònoma. (5) 00 = 2− 0 + 3 + 1. EDO escalar de 2 ordre en forma normal. (6) 0 =  + (0− 22). EDO vectorial de 1 ordre i dimensió 3 en forma

normal, o el que és equivalent, el sistema de tres equacions diferencials:⎧⎨⎩  0 1 = 1 02 = 2 −  03 = 3 + 2

2

Definition 3.3. Una solució de (1) és una funció  :  → R definida en un interval  ⊂ R (interval de definició o domini de la solució) que verifica les següents propietats:

•  és no trivial i  és  vegades derivable a l’interval . • El vector ( () 0()  ()()) ∈ per a qualsevol  ∈  . •  ( () 0()  ()()) = 0 per a qualsevol  ∈  .

4 INTRODUCCIÓ A LES EDO

I si l’EDO ve donada en forma normal, anomenarem solució de (2) a una funció  :  → R definida en un interval  ⊂ R (interval de definició o domini de la solució) que verifica les següents propietats:

•  és no trivial i  és  vegades derivable a l’interval . • El vector ( () 0()  (−1)()) ∈  per a qualsevol  ∈  . • ()() = ( () 0()  (−1)()) per a qualsevol  ∈  .

Remark 3.4. • Una EDO en forma implícita pot representar a més d’una EDO en forma normal, per exemple:

(3) (0)2 − (1 + + )0 + +  = 0

és equivalent a les EDOs

(4) 0 = 1

i

(5) 0 = + 

ja que (0)2 − 0(1 +  + ) +  +  = (0 − 1)(0 −  − ). Per tant les solucions de (4) i de (5) són solucions de (3).

• I també una EDO en forma implícita pot representar a una única EDO en forma normal, per exemple:

(6) 20 − + 2 = 0

és equivalent a l’EDO

(7) 0 = − 2 2

Per tant les solucions de (7) són solucions de (6).

Veurem a continuació, en diferents exemples, que una EDO pot tenir o no solu- cions, i al cas de tenir-les pot ser única o no. El cas més habitual és que tinguen infinites solucions.

Example 3.2. (1) L’EDO escalar de 1 ordre en forma implícita

 0 = 0

no té cap solució. (2) L’EDO escalar de 1 ordre en forma implícita

(0)2 + 2 = 0

amb domini  = R3 té una única solució () = 0 definida en  = R. (3) L’EDO escalar de 1 ordre en forma normal

0 = 2

INTRODUCCIÓ A LES EDO 5

amb domini  = R2 té infinites solucions: les funcions () = 2 + , ∀ ∈ R, definides totes en  = R.

Figura 1: Solucions de 0 = 2

(4) L’EDO escalar de 1 ordre en forma normal i autònoma

0 = p  + 1

amb domini

 = © ( ) ∈ R2 ≥ −1ª = R× [−1+∞[

té infinites solucions: la funció constant () = −1 definida en  = R, i les funcions () =

(+)2

4 − 1∀ ∈ R, definides respectivament als intervals  = [−+∞[. Noteu que en aquest cas els dominis com a funcions de  són diferents del dominis com a solucions de l’EDO anterior.

Figura 2: Solucions de 0 = √  + 1

Proposition 3.1. (Reducció canònica a una EDO de primer ordre) Siga l’EDO vectorial en forma normal de dimensió , ordre  i amb domini 

(8) () = (  0 00  (−1))

on  :  ⊂ R×R ×R × ×R| {z }  vegades

→ R I siga per altra banda, l’EDO vectorial

en forma normal de dimensió ×, de primer ordre i amb domini  (9) 0 =  ( )

sent  :  ⊂ R×R× → R×, definida de la forma  ( ) = (2 3   ( ))

on  = (12 3  ) ∈ R× de forma que  ∈ R , ∀ = 1 2   Aleshores les equacions (8) i (9) són equivalents, en el sentit de que si  :  → R és solució de (8) en , la funció  = (0  (−1)) és solució de (9) també en . I al contrari si  = (1 2  ) :  → R× és solució de (9), aleshores 1 és solució de (8) també en .

6 INTRODUCCIÓ A LES EDO

Proof. Siga  :  → R solució de (8) en , aleshores per ser  derivable fins a l’ordre  tenim que  = (0  (−1)) és derivable en . I com ( () 0()  (−1)()) ∈  per a qualsevol  ∈  , aleshores ( ()) ∈  per a qualsevol  ∈  . I a més a més com ()() = ( () 0()  (−1)()) per a qualsevol  ∈ , s’obté que 0() = (0() 00()  (−1)() ()()) =

= (0() 00()  (−1)() ( () 0()  (−1)())) =  ( ()), ∀ ∈  Per tant  és solució de (9) en . Recíprocament, siga  = (1 2  ) :  → R× solució de (9) en , vegem

que 1 és solució de (8) en . Sabem doncs que  és derivable en  i que ( ()) ∈  per a qualsevol  ∈ , i verifica 0() =  ( ()) = (2() 3()  () ( 1() 2()  ())) ∀  ∈  Per tant, igualant component a component, s’obté que:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

01() = 2() 02() = 3() 03() = 4()  0−1() = () 0() = ( 1() 2()  ())

Aleshores existeix 001() =  0 2() = 3() i també 

000 1 () = 

00 2() = 

0 3() =

4(), i així successivament s’aplega a que existeix  (−1) 1 () = () , és a dir

 () 1 () = +1() per a tot  = 1 2  − 1 i per tant

( 1()  0 1()  

(−1) 1 ()) = ( ()) ∈ 

i per últim existeix ()1 () =  0 () = ( 1() 

0 1()  

(−1) 1 ()) ∀  ∈  ¤

Example 3.3. (1) Donada l’EDO escalar de tercer ordre

000 = 2 − (0)2 + 3 la seua reducció a forma canònica a una EDO de primer ordre és

0 = (01  0 2 

0 3) = (2 3 21 − 22 + 3)

(2) Siga l’EDO vectorial de segon ordre i dimensió tres

00 = 20 − 3+ (3 0 1  )

la seua reducció a forma canònica a una EDO de primer ordre és

0 = (01  0 2 

0 3) = (2 22 − 31 + (3 0

1

 ))

(3) Si considerem l’equació autònoma:

() = ( 0 00  (−1))

la seua reducció a forma canònica a una EDO de primer ordre és

0 = (01  0 2  

0 ) = (2   (1 2  )) = ()

és a dir, és també autònoma de primer ordre.

INTRODUCCIÓ A LES EDO 7

Remark 3.5. (1) En realitat el que es fa en la proposició anterior és un canvi de variable, es canvia la variable  per la variable , de forma que:

 = (1 2  ) = (  0 00  (−1))

(2) Per tant, per la reducció canònica a una EDO de primer ordre que acabem de veure, d’ara en abans ens limitarem a estudiar l’EDO de primer ordre vectorial. És a dir l’equació

0 = ( )

amb  :  ⊂ R×R → R (3) Vegem a continuació que, amb certes hipòtesis, la juxtaposició de solucions

de l’EDO anterior és també solució.

Proposition 3.2. Si 1 : 1 → R i 2 : 2 → R són solucions en  de l’EDO (10) 0 = ( )

on  :  ⊂ R×R → R i es verifica que 1 ∩ 2 6= ∅ i 1() = 2() ∀ ∈ 1 ∩ 2

aleshores la juxtaposició  d’aquestes solucions és també solució de (10) amb domini 1 ∪ 2. Proof. Siga  ∈ 1 ∪ 2 , aleshores poden donar-se els següents casos: i)  ∈ ̊1 Aleshores existeix un   0 : [− +] ⊂ 1 i en aquest interval evidentment

 = 1 i per tant  és derivable en  i  0() = 01() = ( 1()) = ( ())

ii)  ∈ ̊2 Aleshores existeix un   0 : [− +] ⊂ 2 i en aquest interval evidentment

 = 2 i per tant  és derivable en  i  0() = 02() = ( 2()) = ( ())

iii)  ∈ ̊1 i  ∈ ̊2 Aleshores pot ser que  siga un dels extrems de l’interval 1 ∪ 2 , per exemple

l’extrem de l’esquerra. Evidentment també serà l’extrem de l’esquerra d’un dels dos intervals, suposem que ho siga de l’interval 1 , llavors existeix un   0 : [ +] ⊂ 1 i en aquest interval evidentment  = 1 i per tant  és derivable per la dreta en  i

0+() = (1) 0 +() = ( 1()) = ( ())

I si fora l’extrem de la dreta de 1 ∪ 2 , aleshores també serà l’extrem de la dreta d’un dels dos intervals, suposem que ho siga de l’interval 2 , llavors existeix un   0 : [−  ] ⊂ 2 i en aquest interval evidentment  = 2 i per tant  és derivable per l’esquerra en  i

0−() = (2) 0 −() = ( 2()) = ( ())

I per últim podria donar-se el cas de que  siga l’extrem dret d’un dels intervals, per exemple 1 i l’extrem de l’esquerra de l’altre, per exemple 2, alehores  ∈ 1∩2 i () = 1() = 2()I a més a més existeix un   0 : [−  ] ⊂ 1 i en aquest interval evidentment  = 1 i per tant  és derivable per l’esquerra en  i

(11) 0−() = (1) 0 −() = ( 1()) = ( ())

I també existeix un   0 : [ + ] ⊂ 2 i en aquest interval evidentment  = 2 i per tant  és derivable per la dreta en  i

(12) 0+() = (2) 0 +() = ( 2()) = ( ())

8 INTRODUCCIÓ A LES EDO

Per tant de (11) i de (12), s’obté que  és derivable en  i que: 0() = ( ()). ¤

Definition 3.4. Siga l’EDO 0 = ( ) tal que  :  ⊂ R× R → R i siga una solució  :  → R de l’equació en . Anomenem corba integral (o gràfica) corresponent a  al conjunt

{( ()) ∈ } ⊂  ⊂ R+1 I anomenem trajectòria corresponent a  al conjunt

{() ∈ } ⊂ R Example 3.4. Donada l’EDO

0 = (2 0)

plantejada en el domini  = R × R2 i la seua solució () = (2 1) definida en  = R, la corba integral corresponent és©

( 2 1) ∈ Rª ⊂ R3

Figura 3: Corba integral de () = (2 1)

I la trajectòria és © (2 1) ∈ Rª ⊂ R2

Figura 4: Trajectoria de () = (2 1)

Remark 3.6. Sabem que l’equació

(13)  ( ) = 0

on  ∈ 1(R) i  6= 0 en el obert  ⊂ R2, si existeix un (0 0) ∈  tal que  (0 0) = 0, aleshores (13) defineix una corba en forma implícita en un entorn de 0. És a dir, sabem que existeix una funció derivable () definida en un interval  ⊂ R entorn de 0 de manera que (0) = 0, ( ()) ∈  i  ( ()) = 0 per a qualsevol  ∈  . A més a més, es verifica que

0() = −   ( ())   ( ())

per a qualsevol  ∈ 

INTRODUCCIÓ A LES EDO 9

i per tant les corbes definides per (13) són solucions en dominis adequats de l’EDO

0 = −   ( )   ( )

I el mateix passa per a qualsevol corba definida en forma implicita per  ( ) =  (on  ∈ R) si existeix algun punt (0 0) ∈  tal que  (0 0) = . Per exemple, les corbes definides per l’equació

2 + 2 − 1 = 0 en dominis adequats on  6= 0, són solucions de l’EDO

0 = −  

I el mateix passa per a qualsevol corba definida en forma implicita per 2+2− = 0 (on   0)

Definition 3.5. Siga l’EDO escalar

(14) 0 = ( )

tal que  :  ⊂ R×R→ R anomenarem solució general, o integral general de (14) a qualsevol família uniparamètrica de corbes

(15) ( ) = , amb  ∈  ⊂ R tal que  ∈ 1(ΩR) i  6= 0 en el obert Ω ⊂  ⊂ R2i que verifica que per a tot  ∈  la funció definida en forma implícita per l’equació (15), és solució de l’EDO (14) en un cert interval. A cadascuna de les funcions de la família se l’anomena integral particular. Si una solució de (14) no forma part de cap integral general se l’anomena integral singular.

Example 3.5. (1) La família uniparamètrica de corbes − =  amb  ∈ R, és solució general de l’EDO 0 = .

(2) La família uniparamètrica de corbes 2 + 2 −  = 0 amb   0, és solució general de l’EDO 0 = −  .

(3) La família uniparamètrica de corbes 2 √ + 1 −  −  = 0 amb  ∈ R, és

solució general de l’EDO 0 = √ + 1, i la corba  = −1 és una integral

singular d’aquesta mateixa EDO.

4. Problema de Cauchy

Definition 4.1. Siguen l’EDO (14), amb  :  ⊂ R × R → R i el punt (0 0) ∈  (condició inicial), anomenarem Problema de Cauchy associat (P.C), al problema de trobar les solucions en  de l’EDO (14) que passen pel punt (0 0). Normalment el denotarem de la forma

(16) ½ 0 = ( ) (0) = 0

Definition 4.2. Siguen l’EDO

(17) () = (  0 00  (−1))

amb  :  ⊂ R × R ×R × ×R| {z }  vegades

→ R i el punt (condicions inicials)

(0 0  1 0  

−2 0  

−1 0 ) ∈ , anomenarem Problema de Cauchy associat

10 INTRODUCCIÓ A LES EDO

(P.C), al problema de trobar les solucions en  de l’EDO (17) que verifiquen: (0) = 0 

0(0) = 10   (−1)(0) = −10 . Normalment el denotarem de la

forma

(18)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ () = (  0 00  (−1)) (0) = 0 0(0) = 10  (−1)(0) = −10

Remark 4.1. És immediat, per la reducció a la forma canònica d’una EDO d’ordre  en forma normal a un altra EDO de primer ordre, que estudiar el P.C. (18) és equivalent a estudiar el P.C.½

0 =  ( ) (0) = (0 

1 0   

−2 0   

−1 0 )

sent  ( ) = (2 3   ( )). Per tant, d’ara en abans ens limitarem a estudiar el problema de Cauchy de primer ordre (16).

Proposition 4.1. (Equació integral equivalent a un P.C.) Siga el P.C. (16) amb  :  ⊂ R×R → R i (0 0) ∈ . Suposem que  és contínua en  aleshores una funció  :  ⊂ R → R (on  és un interval no trivial) és solució del P.C. (16) si i sols si:

(1)  és contínua en . (2) ( ()) ∈  per a qualsevol  ∈  . (3) Es verifica que () = 0 +

R  0 ( ())  per a qualsevol  ∈  .

Proof. Suposem que  :  ⊂ R→ R és solució del P.C. (16), aleshores és derivable i per tant contínua en , i també es verifica que ( ()) ∈  per a qualsevol  ∈ . Aleshores ens queda per demostrar la propietat 3. Sabem que 0() = ( ()) per a qualsevol  ∈  i que  és contínua en , aleshores integrant aquesta igualtat i aplicant la regla de Barrow s’obté:

()− (0) = Z  0

0()  = Z  0

( ())  per a qualsevol  ∈ 

I com (0) = 0 s’aplega a la propietat 3. Suposem ara que la funció  :  ⊂ R → R verifica les propietats 1, 2 i 3,

aleshores la funció (· (·)) és contínua en I i per tant la funció

() = 0 +

Z  0

( ()) 

és derivable i 0() = ( ()) per a qualsevol  ∈  I per últim, és immediat que (0) = 0 i per tant  és solució del P.C. (16) ¤

5. Problema de Contorn

Definition 5.1. Un problema de contorn (o de valors en la frontera) de segon ordre és un problema del tipus:

00 = (  0)  ∈ [ ]

INTRODUCCIÓ A LES EDO 11

(19) ½ 1() + 1

0() + 1() + 10() =  2() + 2

0() + 2() + 20() = 

on  : [ ] × ⊂ R3 → R i els coeficients 1  1 2  2  i  són reals i verifiquen



∙ 1 1 1 1 2 2 2 2

¸ = 2

Remark 5.1. (1) Com es veu els problemes de contorn es plantegen en inter- vals compactes i, a més a més, es coneix una combinació lineal dels valors de les solucions i/o de les seues primeres derivades als extrems de l’interval.

(2) Aquestos problemes es poden plantejar per a EDOs de major ordre però sempre les condicions addicionals involucren als punts extrems.

(3) En equacions en derivades parcials s’estudia amb detall els anomenats prob- lemes de Sturm-Liouville que són problemes de segon ordre del tipus:

−(0)0 +  =   ∈ [ ]½ 1() + 1

0() + 1() + 10() = 0 2() + 2

0() + 2() + 20() = 0 amb



∙ 1 1 1 1 2 2 2 2

¸ = 2

i  ∈ 1 ([ ]) i   ∈  ([ ]) verificant que ()  0 ()  0 ∀ ∈ [ ] 

I on  és un paràmetre del qual interessaràn només aquells valors per als quals existisquen solucions del problema no idènticament nul·les.

(4) Com veurem als exemples següents estudiar aquest tipus de problemes és complicat ja que, per exemple, per a una mateixa EDO, depenent de les condicions addicionals, un problema de contorn pot tenir o no solució, i en cas de tenir-la, pot tenir una, infinites, etc.

Example 5.1. (1) El problema de valors en la frontera⎧⎨⎩  00 +  = 0 en [0 ] (0) = 0 () = 1

no té cap solució, ja que totes les solucions de l’EDO 00 +  = 0 són del tipus () = 1 cos() + 2 sin(), amb 1,2 constants, i no n’hi ha ninguna funció d’aquesta família que verifique aquestes condicions de contorn.

(2) El problema de valors en la frontera⎧⎨⎩  00 +  = 0 en [0 ] (0) = 0 () = 0

té infinites solucions ja que les funcions () =  sin(), amb  constant, són totes solucions del problema de contorn en [0 ].

(3) El problema de valors en la frontera⎧⎨⎩  00 +  = 0 en [0 ] (0) = 0 0() = 1

12 INTRODUCCIÓ A LES EDO

té una única solució que és la funció () = − sin() definida en [0 ].

6. Interpretació Geomètrica

L’equació diferencial ordinària de primer ordre escalar

0 = ( )

on  :  ⊂ R2 → R admet una senzilla interpretació geomètrica ja que com ens dona una direcció en cada punt de  ⊂ R2 on  està definida, es pot interpretar com un camp de direccions. Observem que 0() = ( ()) és la pendent de la recta tangent a la corba ()

en el punt ( ()), sent aquesta corba solució de l’EDO en el domini . Per tant l’equació diferencial 0 = ( ) ens indica que el valor de la pendent d’una possible solució que passara pel punt (0 0) és (0 0). Les corbes integrals són les corbes que en cada punt tenen la pendent de la recta

tangent igual a la direcció definida pel vector de components (1 ( )). Per tant si representem en una gràfica el camp de direccións d’una EDO d’aquest tipus i unim els vectors tangents, si aquestos foren infinitesimals obtindriem les diferents solucions de l’equació.

Example 6.1. (1) En la figura adjunta es representa el camp de direccions de l’edo associada a la funció ( ) =  .

Figura 5: Camp de direccions 0 = 

Com es veu si unim els vectors tangents, si aquestos foren infinitesimals, obtindríem les diferents solucions de l’equació que són les funcions

() =   amb  constant qualsevol

INTRODUCCIÓ A LES EDO 13

(2) En la següent figura es representa el camp de direccions de l’edo associada a la funció ( ) = 2 − 1 .

Figura 6: Camp de direccions 0 = 2 − 1 com es veu si unim els vectors tangents, si aquestos foren infinitesimals, obtindríem les diferents solucions de l’equació que són les funcions

() = −1 i () = 1− 2 1 + 2

amb  constant qualsevol.

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 13 páginas totales
Descarga el documento