Tema 2, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)
ijome
ijome

Tema 2, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)

11 páginas
6Número de visitas
Descripción
Asignatura: Equacions diferencials ordinàries, Profesor: M Dolores Martinez, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 11
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 11 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 11 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 11 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 11 páginas totales
Descarga el documento

TEMA II PREREQUISITS. EXISTÈNCIA

1. Prerequisits

1.1. Normes en Rn.

De…nition 1.1. Donat l’espai vectorial Rn sobre el cos R, anomenarem norma sobre Rn; a una aplicació

Rn �! [0;+1[ x �! kxk

veri…cant: kxk = 0 si i sols si x = 0: kxk = jj kxk ; si  2 R; x 2 Rn: kx+ yk  kxk+ kyk ; si x; y 2 Rn:

Remark 1.1. És immediat demostrar que la norma és una funció contínua. És su…cient utilitzar la propietat:

jkxk � kykj  kx� yk ; 8x; y 2 Rn:

Example 1.1. Per exemple en R la norma usual és el mòdul, i en Rn la norma euclídea, és a dir:

kxk =

vuut nX i=1

x2i

Altra norma que se sol utilitzar en Rn és la norma màxim:

kxk = max i=1;::;n

jxij

De…nition 1.2. Dos normes en Rn, kk1 i kk2 són equivalents si i sols si

9a; b > 0 : a kxk2  kxk1  b kxk2 8x 2 R n;

és a dir generen la mateixa topologia.

Theorem 1.1. En Rn totes les normes són equivalents.

Theorem 1.2. L’espai Rn amb la topologia generada per qualsevol norma és un espai complet (espai de Banach).

Remark 1.2. D’ara en abans amb la notació kk ens referirem a qualsevol norma a l’espai Rn. Si parlem en algun moment d’una norma concreta ja s’indicarà con- venientment.

1

2 PREREQUISITS. EXISTÈNCIA

1.2. Convergència de successions de funcions. D’ara en abans anem a trebal- lar amb funcions de variable real del tipus:

f : I  R! Rm (on I és un interval), i per tant utilitzarem resultats relatius a aquest tipus de funcions, alguns dels quals no són coneguts i els anem a donar en aquest tema. En les següents de…nicions ffngn2N serà una successió de funcions de…nides en

un conjunt I  R amb valors en Rm .

De…nition 1.3. Donada la successió ffngn2N direm que convergeix puntual- ment si per a cada x 2 I , la successió ffn(x)gn2N convergeix en Rm. A la funció f de…nida en I de la forma

f(x) = lim n!1

fn(x); per a x 2 I

se l’anomena límit puntual de la successió. És a dir si ffngn2N convergeix puntualment a la funció f en I, es veri…ca

que donat  > 0 i donat x 2 I, existeix un n0 = n0(; x) 2 N tal que kfn(x)� f(x)k   per a tot n  n0

Remark 1.3. La convergència puntual no transmet algunes propietats importants a la funció lí¬mit, com és la continuitat, Per exemple, la successió de funcions contínues fn(x) = xn de…nides en I = [0; 1], convergeix puntualment a la funció f(x) = 0; si x 2 [0; 1[ i f(1) = 1, que evidentment no és contínua. És per això que caldrà introduir un altra de…nició de convergència.

De…nition 1.4. Donada la successió ffngn2N direm que convergeix uniforme- ment a f si donat  > 0, existeix un n0 = n0() 2 N tal que

kfn(x)� f(x)k   per a tot n  n0 i per a tot x 2 I

Remark 1.4. Evidentment si una successió convergeix uniformement convergeix puntualment.

Example 1.2. (1) La successió de funcions de…nides en I = [0; 1], donada a l’exemple anterior

fn(x) = x n

que convergeix puntualment a la funció

f(x) =

 0; si x 2 [0; 1[ 1; si x = 1

;

no convergeix uniformement a aquesta funció. (2) La successió de funcions: fn(x) = xn de…nides en I = [0; 1] , convergeix

uniformement a la funció f(x) = 0 en I = [0; 1].

Proposition 1.3. (Criteri de Cauchy per a la convergència uniforme) Donada una successió ffngn2N, aleshores convergeix uniformement si i sols si donat  > 0, existeix un n0 = n0() tal que

(1) kfn(x)� fk(x)k   , per a tot n; k  n0 i per a tot x 2 I

Proof. Si ffngn2N convergeix uniformement en I a una funció f : I  R ! Rm, aleshores donat  > 0; existeix un n0 = n0() 2 N tal que

kfn(x)� f(x)k  =2 , 8 n  n0 i 8x 2 I:

PREREQUISITS. EXISTÈNCIA 3

Per tant considerant n; k  n0 i aplicant la desigualtat triangular s’obté:

kfn(x)� fk(x)k  kfn(x)� f(x)k+ kf(x)� fk(x)k   , 8 n; k  n0 i 8 x 2 I: Suposem ara que es veri…ca (1), aleshores per a tot x 2 I , ffn(x)gn2N és una

successió de Cauchy en Rm que és complet, per tant per a tot x 2 I aquesta successió serà convergent i podem de…nir la funció f : I  R! Rm de la forma:

f(x) := lim n!1

fn(x) per a tot x 2 I:

Aleshores, com la kk és una aplicació contínua, si prenem límits quan k ! 1 en (1) s’obté que:

kfn(x)� f(x)k   , 8 n  n0 i 8 x 2 I: Llavors ffngn2N convergeix uniformement en I a la funció f . 

Proposition 1.4. Si la successió de funcions contínues ffngn2N convergeix uni- formement en I a una funció f , aleshores f és contínua en I.

Proof. Com ffngn2N convergeix uniformement en I a la funció f : I  R ! Rm, aleshores donat  > 0; existeix un n0 = n0() 2 N tal que (2) kfn(x)� f(x)k  =3 , 8 n  n0 i 8x 2 I: Siga x0 2 I qualsevol, llavors com fn0 és contínua en x0 es veri…ca que donat

 > 0; existeix un  = (; n0; x0) > 0 tal que si

(3) x 2 I i jx� x0j <  es veri…ca que kfn0(x)� fn0(x0)k < =3 Per tant donat  > 0; si x 2 I i jx� x0j <  , per la desigualtat triangular, per (2) i (3), es veri…ca que

kf(x)� f(x0)k  kf(x)� fn0(x)k+ kfn0(x)� fn0(x0)k+ kfn0(x0)� f(x0)k < < =3 + =3 + =3 = 

I com n0 = n0(), s’obté que  = (; x0) i per tant que f és també contínua en x0. 

Proposition 1.5. Si I = [a; b]; i la successió de funcions integrables ffngn2N convergeix uniformement en I a una funció f , aleshores f és integrable en I i

lim n!1

Z b a

fn(x)dx =

Z b a

f(x)dx

1.3. Teorema d’Ascoli-Arzelà. Anem a veure primer les de…nicions necessàries per a poder donar el Teorema d’Ascoli-Arzelà.

De…nition 1.5. Siga una família de funcions

F = ffj : I  R! Rm tal que j 2 Jg on I és un interval real, direm que F és equicontínua si donat  > 0; existeix un () > 0 tal que

8x; x0 2 I : jx� x0j <  es veri…ca que kf(x)� f(x0)k <  per a tota f 2 F:

Remark 1.5. És immediat que si F és una família equicontínua i f 2 F; aleshores f és uniformement contínua.

4 PREREQUISITS. EXISTÈNCIA

De…nition 1.6. Siga una família de funcions

F = ffj : I  R! Rm tal que j 2 Jg

on I és un interval real, direm que F és puntualment …tada si

8x 2 I; el conjunt ff (x) : f 2 Fg és …tat en Rm:

Theorem 1.6. (D’Ascoli-Arzelà) Siga I un interval compacte en R i siga ffngn2N una successió de funcions tals que fn : I  R! Rm. Si la successió és puntualment …tada i equicontínua, aleshores existeix una subsuccecsió de ffngn2N que convergeix uniformement en I.

Example 1.3. La successió de funcions: fn(x) = ( xn � 1) n de…nides en I = [0; 1],

és equicontínua i puntualment …tada. Per tant existeix una subsuccessió d’aquesta que convergeix uniformement en I, mentre que la successió ffngn2N no convergeix ni puntualment.

Corollary 1.7. Siga I un interval compacte en R i siga ffngn2N una successió de funcions tals que fn : I  R! Rm. Si la successió és puntualment …tada i equicon- tínua i es veri…ca que tota subsuccessió uniformement convergent de ffngn2N; con- vergeix a una mateixa funció f : I ! Rm, aleshores la successió ffngn2N convergeix uniformement a f en I.

Proof. Raonarem per R.A.A. Suposem que ffngn2N no convergeix a la funció f en I, aleshores 9 un 0 > 0; tal

que 8k 2 N existeix un nk > k i existeix un xk 2 I tal que kfnk(xk)� f(xk)k > 0. Llavors obtenim una successió fnkgk2N  N tals que nk > nk�1 > ::: > n1 > 1,

i també un altra successió fxkgk2N  I veri…cant 8k 2 N que

(4) kfnk(xk)� f(xk)k > 0 Si ara considerem la subsuccessió de ffngn2N, ffnkgk2N evidentment també serà

equicontínua i puntualment …tada en I. Per tant aplicant el Teorema d’Ascoli- Arzelà sabem que existeix una subsuccesió de ffnkgk2N, ffnkpgp2N que convergeix uniformement en I. Ara bé com ffnkpgp2N també és subsuccessió de ffngn2N, per hipòtesi la subsuccessió ffnkpgp2N convergeix uniformement en I a f . És a dir veri…ca que existeix un p0 = p0(0) 2 N tal que

fnkp (x)� f(x)  0 per a tot p  p0 i per a tot x 2 I. I com fnkp0 = fnk0 per a un cert k0 2 N, s’obté que: fnk0 (xk0)� f(xk0)  0 La qual cosa és un absurde considerant la desigualtat (4). 

1.4. Resultats d’integració.

Proposition 1.8. Si f : [a; b] ! Rm és …tada i contínua llevat d’una quantitat …nita o numerable de punts, aleshores f és integrable Riemann en [a; b].

Corollary 1.9. Donada f : [a; b]! Rm es veri…ca que: (1) Si f és contínua aleshores f és integrable Riemann en [a; b]. (2) Si f és escalonada aleshores f és integrable Riemann en [a; b].

PREREQUISITS. EXISTÈNCIA 5

Proposition 1.10. Si f : [a; b] ! Rm és integrable Riemann i g : [a; b] ! Rm és igual a f; llevat d’una quantitat …nita o numerable de punts, aleshores g és integrable Riemann en [a; b] iZ b

a

f(x)dx =

Z b a

g(x)dx:

Proposition 1.11. Si f : [a; b] ! Rm és integrable Riemann en [a; b], aleshores kfk és integrable Riemann en [a; b] i

Z b a

f(x)dx

 Z b a

kf(x)k dx

Proposition 1.12. Si f : I ! Rm és contínua i c 2 I; aleshores es veri…ca que: (1) La funció g(x) =

R x c f(t)dt és derivable en I i

g0(x) = f(x);8x 2 I:

(2) La funció h(x) = R c x f(t)dt és derivable en I i

h0(x) = �f(x);8x 2 I:

Proposition 1.13. Siguen A  Rm obert i f : [a; b]A  RRm ! Rp contínua, aleshores la funció

h(v) =

Z b a

f(x; v)dx

és contínua en A.

2. Existència

2.1. Poligonals d’Euler. Siga l’equació diferencial ordinària

(5) x0 = f(t; x)

on f : D  R Rm ! Rm;

de la mateixa manera que vam veure en el cas escalar, l’EDO anterior ens dona una direcció en cada punt del domini D  RRm, és a dir l’EDO (5) es pot interpretar com un camp de direccions. Observem que x0(t) = f(t; x(t)) és la pendent de la recta tangent a la corba x(t)

en el punt (t; x(t)), sent aquesta corba solució de l’EDO en el domini D. Per tant l’equació diferencial (5) ens indica que el valor de la pendent d’una possible solució que passe pel punt (t0; x0) 2 D és f(t0; x0). És a dir, l’equació de la recta tangent en (t0; x0) a la suposada solució de l’EDO que passara per ell seria

x = x0 + f(t0; x0)(t� t0):

El que anem a fer és de…nir, a partir d’una partició d’un interval [t0� ; t0+ ], una funció poligonal formada per trossos de rectes tangents a les suposades solucions que passaren pels diferents punts intersecció de les rectes que tenen com abscisses els punts de la partició. I després demostrarem que, amb certes condicions, si repetim el procés agafant cada vegada particions amb norma més xicoteta, és a dir tendint a zero, les poligonals tendiran a una solució de l’EDO que passarà pel punt (t0; x0):

6 PREREQUISITS. EXISTÈNCIA

De…nition 2.1. Siguen a, b > 0, (t0; x0) 2 R Rm i E = [t0�a; t0+a]B(x0; b) i f : E ! Rm contínua. Siga M > 0 tal que kf(t; x)k  M;8(t; x) 2 E. I siguen = minfa; b=Mg i I = [t0 � ; t0 + ]. Aleshores si P és una partició de I que conté a t0, per exemple

ft0 � = t�H < t�H+1 < ::: < t�1 < t0 < t1 < ::: < tN�1 < tN = t0 + g de…nim la poligonal d’Euler associada a P i la denotarem per P : I ! Rm, a la poligonal de…nida de la següent manera quan t 2 [t0; t0 + ] ,

 Si t 2 [t0; t1]; aleshores P (t) = x0 + f(t0; x0)(t� t0):  Si t 2]tk; tk+1]; aleshores P (t) = P (tk) + f(tk;P (tk))(t� tk) =

= P (tk�1) + f(tk�1;P (tk�1))(tk � tk�1) + f(tk;P (tk))(t� tk) = = ::::::::::::: = x0 + f(t0; x0)(t1 � t0) + f(t1;P (t1))(t2 � t1) + ::::::::::::+ +f(tk�1;P (tk�1))(tk � tk�1) + f(tk;P (tk))(t� tk):

I si t 2 [t0 � ; t0] es de…neix de manera simètrica.

Remark 2.1. La poligonal d’Euler està ben de…nida ja que es demostra fàcilment que 8t 2 I ; (t;P (t)) 2 E: Ja que si t 2 [t0; t1]; aleshores

kP (t)� x0k = kf(t0; x0)(t� t0)k M  b: I si ara suposem que 8t 2 [t0; tk]; (t;P (t)) 2 E; aleshores si t 2]tk; tk+1]

kP (t)� x0k = kf(t0; x0)(t1 � t0)k+ ::::+ kf(tk�1;P (tk�1))(tk � tk�1)k+ + kf(tk;P (tk))(t� tk)k M(t� t0) M  b:

Si t 2 [t0 � ; t0] es raona de manera anàlega.

Proposition 2.1. Amb les hipòtesis de la de…nició de la poligonal d’Euler si P és una partició de I que conté a t0; i P : I ! Rm és la funció escalonada de…nida de la forma:

P (t) =

 f(t0; x0) si t 2 [t0; t1] f(tk;P (tk)) si t 2]tk; tk+1]

quan t 2 [t0; t0 + ] , i de manera simètrica si t 2 [t0 � ; t0], aleshores es veri…ca

(6) P (t) = x0 + Z t t0

P (s) ds 8t 2 I :

I com a conseqüència de (6) es demostra que per a qualsevol parella t; t0 2 I (7) kP (t)� P (t0)k M jt� t0j

Proof. Evidentment per a tota partició P de I que conté a t0 la funció P és escalonada, llavors és integrable en I i per tant existeix l’integral

R t t0 P (s) ds,

8t 2 I . Vegem que es veri…ca l’igualtat (6). Si t = t0 aleshores és immediat ja que sabem que P (t0) = x0 per a tota partició

P de I que conté a t0. Suposem ara que t 2]t0; t0 + ], aleshores 9k 2 N tal que t 2]tk; tk+1] i per tantZ t

t0

P (s) ds =

Z t1 t0

P (s) ds+

Z t2 t1

P (s) ds+ ::::::+

Z tk tk�1

P (s) ds+

Z t tk

P (s) ds =

= f(t0; x0)(t1 � t0) + f(t1;P (t1))(t2 � t1) + ::::::+ +f(tk�1;P (tk�1))(tk � tk�1) + f(tk;P (tk))(t� tk):

PREREQUISITS. EXISTÈNCIA 7

Aleshores es veri…ca (6). Si t 2 [t0 � ; t0[, aleshores es raona de manera simètrica. Per tant es veri…ca en tots el casos l’igualtat (6). Vegem ara que es veri…ca la

desigualtat (7). Siga qualsevol parella t; t0 2 I , llavors per (6) s’obté que

kP (t)� P (t0)k = Z t t0

P (s) ds� Z t0 t0

P (s) ds

 Z t

t0 P (s) ds

 

Z t t0 k P (s)k ds

 Z t t0 M ds

M jt� t0j : 

Corollary 2.2. La família de totes les poligonals d’Euler de…nides en I (associ- ades a particions que contenen a t0) és equicontínua i puntualment …tada en I .

Proof. Sabem per la proposició anterior que per a tota partició P de I que conté a t0 i per a qualsevol parella t; t0 2 I es veri…ca (7). Aleshores donat  > 0; si considerem  = =M > 0 i t; t0 2 I : jt� t0j <  es

veri…ca que kP (t)� P (t0)k M jt� t0j < M



M = 

per a tota partició P de I que conté a t0. I per tant la família de totes les poligonals d’Euler de…nides en I que contenen

a t0 és equicontínua. Aixímateix, tenint en compte que 8t 2 I ; (t;P (t)) 2 E i per la desigualtat

triangular, s’obté que 8t 2 I

kP (t)k  kP (t)� x0k+ kx0k = b+ kx0k i per a tota partició P de I que conté a t0. I per tant la família de totes les poligonals d’Euler de…nides en I que contenen

a t0 és puntualment …tada.  Remark 2.2. Si en les de…nicions anteriors considerem només el domini

E+ = [t0; t0 + a]B(t0; b) i f : E+ ! Rm

contínua, aleshores s’obtenen les mateixes de…nicions i propietats en I+ = [t0; t0+ ]. I de la mateixa manera si considerem el domini

E� = [t0 � a; t0]B(t0; b) i f : E� ! Rm

contínua, aleshores s’obtenen les mateixes de…nicions i propietats en I� = [t0 � ; t0].

2.2. Teorema d’Existència de Cauchy-Peano.

De…nition 2.2. Donada una partició P de I que conté a t0(o de [t0; t0+ ]; o de [t0 � ; t0]), per exemple

ft0 � = t�H < t�H+1 < ::: < t�1 < t0 < t1 < ::: < tN�1 < tN = t0 + g anomenem norma de la partició P al valor:

(P ) = max i=�H;�H+1;::;N�1

jti+1 � tij

8 PREREQUISITS. EXISTÈNCIA

Proposition 2.3. Amb les hipòtesis de la de…nició de la poligonal d’Euler si tenim una successió de particions de I que contenen a t0(o de I+ ; o de I

� ), per exemple

fPngn2N ; tal que lim n!1

(Pn) = 0 i la successió corresponent de poligonals d’Euler

fngn2N convergeix uniformement a certa funció ' en I (o en I+ ; o en I� ), aleshores ' : I ! Rm (o de…nida en I+ ; o en I� ) és solució en E del problema de Cauchy

(8)  x0 = f(t; x); x(t0) = x0:

Proof. Com f : E ! Rm és contínua serà su…cient demostrar que: a) ' és contínua en I . b) (t; '(t)) 2 E per a qualsevol t 2 I . c) Es veri…ca que '(t) = x0 +

R t t0 f(s; '(s))ds per a qualsevol t 2 I .

La propietat a) és immediata ja que les poligonals d’Euler són funcions contínuas i ' és límit uniforme de la successió de poligonals d’Euler fngn2N en I . I també es veri…ca la propietat b) ja que E és compacte i 8t 2 I ; (t;n(t)) 2 E

i (t; '(t)) = lim n!1

(t;n(t)), aleshores 8t 2 I ; (t; '(t)) 2 E. Vegem que també es veri…ca la propietat c) Sabem per una proposició anterior que es compleix que:

n(t) = x0 +

Z t t0

n(s)ds; 8t 2 I

sent n : I ! Rm les corresponents funcions associades a les poligonals d’Euler n de…nides en la mateixa proposició. Per tant serà su…cient demostrar que

n ! f(; '()) uniformement en I quan n!1

Siga doncs un  > 0 qualsevol, aleshores: Si t = t0 aleshores k n(t0)� f(t0; '(t0))k = kf(t0; x0)� f(t0; x0)k = 0 < . Suposem ara que t 2]t0; t0 + ], llavors 8n 2 N existeix un kn 2 N tal que

t 2]tkn ; tkn+1] i per tant

(9) k n(t)� f(t; '(t))k = kf(tkn ;n(tkn))� f(t; '(t))k

Per altra banda com f és contínua en E i aquest és compacte, aleshores f és uniformement contínua en E i per tant es veri…ca que existeix un  = () > 0 tal que 8(t; x); (t0; x0) 2 E tals que

(10) jt� t0j <  i kx� x0k <  es veri…ca que kf(t; x)� f(t0; x0)k < 

Ara bé sabem que

(11) jtkn � tj  (Pn)

i per la desigualtat triangular i per (7) que

kn(tkn)� '(t)k  kn(tkn)� n(t)k+ kn(t)� '(t)k (12)  M jtkn � tj+ kn(t)� '(t)k   M(Pn) + kn(t)� '(t)k

PREREQUISITS. EXISTÈNCIA 9

i com lim n!1

(Pn) = 0 , aleshores existeix un n1 = n1() tal que

(13) (Pn) < min  ;



2M

 , per a tot n  n1

I com fngn2N convergeix uniformement a ' en I , llavors existeix un n2 = n2() tal que

(14) kn(t)� '(t)k < =2, per a tot n  n2 i 8t 2 I : Aleshores si n0 = max fn1; n2g = n0() (ja que  = ()), per a tot n  n0

s’obté per (14), (13), (12), (11) i (10) que:

kf(tkn ;n(tkn))� f(t; '(t))k <  i per tant per (9) obtenim que per a tot n  n0 = n0()

k n(t)� f(t; '(t))k < , 8t 2]t0; t0 + ] Si t 2 [t0 � ; t0[, aleshores es raona de manera simètrica. 

Theorem 2.4. (D’existència de Cauchy-Peano local) Siguen (t0; x0) 2 R Rm; E = [t0�a; t0+a]B(t0; b) i f : E ! Rm contínua, aleshores existeix solució del problema de Cauchy (o de valors inicials) (8) de…nida en I = [t0 � ; t0 + ] on = minfa; b=Mg sent M > 0 tal que

kf(t; x)k M;8(t; x) 2 E:

Proof. Considerem una successió de particions de I , fPngn2N que continguen a t0 i que veri…que que el lim

n!1 (Pn) = 0 (açò sempre es pot fer, per exemle es pot

considerar una partició amb 2n subintervals de la mateixa longitud n , aleshores (Pn) =

n ).

Siga ara la successió de poligonals d’Euler corresponent fngn2N , aleshores sabem per un corolari anterior que serà equicontínua i puntualment …tada en I . Llavors es pot aplicar el Teorema d’Ascoli-Arzelà i obtenim que existeix una subsuc- cessió d’aquesta fnkgk2N , que convergeix uniformement en I a una certa funció '. Evidentment es complirà que lim

k!1 (Pnk) = 0 i per tant, aplicant la proposició

anterior, s’obté que la funció ' : I ! Rm és solució del problema de Cauchy (8). 

Remark 2.3. (1) Si en el teorema anterior E+ = [t0; t0 + a]B(t0; b) i f : E+ ! Rm

contínua, aleshores existeix solució del problema de Cauchy de…nida en I+ . I si E� = [t0�a; t0]B(t0; b) i f : E� ! Rm contínua, aleshores existeix solució del problema de Cauchy de…nida en I� .

(2) En general qualsevol successió de poligonals d’Euler fngn2N tal que lim n!1

(Pn) = 0

no té perquè convergir uniformement a una funció ' que siga solució del problema de Cauchy corresponent. El que hem vist és que en general té una subsuccessió que convergeix uniformement a una solució del problema, però pot tenir més d’una subsuccessió convergent uniformement a diferents solu- cions del problema de Cauchy. És a dir, en aquest cas, el P.C. no tindria unicitat de solució i la successió general fngn2N no seria convergent.

10 PREREQUISITS. EXISTÈNCIA

(3) Per altra banda, no tota solució és límit de poligonals d’Euler. Per exemple si considerem el problema de Cauchy

x0 = 3x 2 3

x(0) = 0:

plantejat en E = [�a; a] [�b; b]; es fàcil demostrar que per a tota partició P de I = [� ; ]; la poligonal d’Euler corresponent P és identicament nul.la, i per tant la solució del problema de Cauchy ' = 0 en I és límit de poligonals d’Euler. Ara bé es pot comprovar que la funció (t) = t3 de…nida en I és també solució del problema de Cauchy i evidentment no és límit de poligonals d’Euler.

(4) L’exemple anterior apro…ta per a demostrar que amb les hipòtesis del teo- rema de Cauchy-Peano no es pot assegurar la unicitat de la solució.

Corollary 2.5. Amb les hipòtesis del Teorema de Cauchy-Peano si el problema de Cauchy (8) té solució única de…nida en I = [t0 � ; t0 + ], aleshores per a tota successió de poligonals d’Euler fngn2N , corresponent a una successió de particions fPngn2N de I que contenen a t0 i que lim

n!1 (Pn) = 0, es veri…ca que

convergeix uniformement a l’única solució del problema en I .

Proof. Siga una successió de poligonals d’Euler veri…cant les hipòtesis de l’enunciat fngn2N , aleshores sabem per un corolari anterior anterior, que serà equicon- tínua i puntualment …tada en I . Llavors si demostrem que qualsevol subsuc- cessió d’aquesta que convergeix uniformement en I , convergeix a l’única solució del problema de Cauchy (8), aleshores es podrà aplicar el corolari del Teorema d’Ascoli-Arzelà i obtindrem que la successió fngn2N també convergeix uniforme- ment a l’única solució de (8) en I . Siga per tant una subsuccessió qualsevol fnkgk2N de fngn2N que convergeix

uniformement en I , aleshores veri…carà també que lim k!1

(Pnk) = 0. Per tant, per

la proposició anterior al Teorema de Peano, sabem que la seua funció límit serà solució del problema de Cauchy (8), i com aquesta és única , aleshores convergeix en I a l’única solució d’aquest problema de Cauchy. Per tant sí que es pot aplicar el corolari del Teorema d’Ascoli-Arzelà, i s’obté que

la successió fngn2N convergeix uniformement a l’única solució de (8) en I . 

Corollary 2.6. (Teorema de Cauchy-Peano) Si f : D  RRm ! Rm és una funció contínua i (t0; x0) 2

 D, aleshores el problema de Cauchy (8) té solució en

D.

Proof. Siga (t0; x0) 2  D, aleshores 9 a > 0 i 9 b > 0 tals que

E = [t0 � a; t0 + a]B(t0; b)  D:

Llavors com f és també contínua en E, pel Teorema de Cauchy-Peano local, s’obté que existeix solució en E del problema de Cauchy (8) de…nida en I . I com E  D també serà solució en D. 

Remark 2.4. Si en el resultat anterior la funció f no és contínua en D, aleshores el problema de Cauchy (8) pot tenir o no solució.

PREREQUISITS. EXISTÈNCIA 11

Corollary 2.7. (Existència de solució del problema de Cauchy associat a equacions diferencials vectorials d’ordre n) Si f : D  RRm  Rm  :::: Rm| {z }

n vegades

! Rm és una

funció contínua i (t0; x0; x10; :::; x n�2 0 ; x

n�1 0 ) 2

 D, aleshores el problema de Cauchy

(15)

8>>>><>>>>: x(n) = f(t; x; x0; x00; :::; x(n�1)) x(t0) = x0 x0(t0) = x

1 0

:::: x(n�1)(t0) = x

n�1 0

té solució en D.

Proof. Considerem la funció F : D  R Rnm ! Rnm, de…nida de la forma F (t; y) = (y2; y3; :::; yn; f(t; y))

on y = (y1;y2; y3; :::; yn) 2 Rnm de forma que yi 2 Rm , 8i = 1; 2; ::::; n: Evidentment aquesta funció és contínua per ser-ho f en D. I sabem que el problema de Cauchy (15) és equivalent al problema

(16)  y0 = F (t; y); y(t0) = (x0; x

1 0; :::; ; x

n�2 0 ; ; x

n�1 0 ):

Aleshores com (t0; x0; x10; :::; x n�2 0 ; x

n�1 0 ) 2

 D i F és contínua en D, pel corolari

anterior, tenim que existeix solució del P.C. (16) en D:

= ( 1; 2; :::; n) : I ! Rnm

i per tant 1 : I ! Rm serà solució del problema de Cauchy (15). És a dir, també existeix solució del problema (15) en D.  Example 2.1. Si D = R3 i

f(t; y1; y2) =

 y2, si t = 0 t sin(y1t2 ) + y2, si t 6= 0

el problema de Cauchy 8<: x 00 = f(t; x; x0) x(t0) = x0 x0(t0) = x

1 0

té solució en D per a tot punt (t0; x0; x10) de D.

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 11 páginas totales
Descarga el documento