Tema 2 mates, Apuntes de Matemáticas. Universitat de València (UV)
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Tema 2 mates, Apuntes de Matemáticas. Universitat de València (UV)

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Asignatura: Matematicas I, Profesor: francisco carreras, Carrera: Bioquímica i Ciències Biomèdiques, Universidad: UV
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Caṕıtulo 2: Funciones y ĺımites

Índice

1 Funciones 1

2 Las funciones elementales 3

3 Composición de funciones 13

4 Ecuaciones y su resolución gráfica 13

5 Ĺımites de sucesiones 15

6 Ĺımites de funciones 16

7 Funciones continuas 18

1 Funciones

Una aplicación (o función) f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que a cada elemento x de A (se escribe x ∈ A) le asigna un único elemento f(x) de B (se escribe f(x) ∈ B). Los términos “aplicación” y “función” son sinónimos, aunque se suele reservar este último para aquellas aplicaciones en que el conjunto B es un conjunto de números. Se escribe

f : A → B x 7→ f(x)

Ejemplos de funciones (o aplicaciones):

1) A = {personas de esta clase}, B = {nombres} , f(persona) = nombre de persona

2) A = R, B = R, f(x) = x2.

3) A = R, B = R, f(x) = 3x+ 7.

4) A = R+, B = R, f(x) = √ x.

1

C Funciones y ĺımites 2

Gráfica de una función

La gráfica de una función f : A→ B es el conjunto de los pares ordenados {(x, f(x)); x ∈ A} ⊂ A×B.

Cuando A y B son conjuntos de números reales, la gráfica de f es un subconjunto del plano R2; aśı, la gráfica de la función f : R→ R, definida por la expresión f(x) = x2 − x es

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Para una función de R en R, la gráfica tiene, normalmente, el aspecto de una curva del plano, como en el caso anterior.

Se puede uno plantear entonces la pregunta, ¿cualquier curva del plano es la gráfica de alguna función? Por ejemplo, las siguientes curvas, ¿representan todas alguna función?

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-2

-1

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

La clave para la respuesta está en repasar la definición de función “es una regla que a cada elemento de un conjunto A le asigna un único elemento f(x) de un conjunto B”. Si nos fijamos en las curvas anteriores, la (supuesta) aplicación que se corresponde con la cuarta gráfica no cumple esa condición (por ejemplo, a 0 le asignaŕıa dos valores, +1 y -1), mientras que śı la cumplen las otras tres.

Gráficamente, si al cortar una curva del plano por rectas verticales, éstas cortan a la curva en sólo un punto, entonces la curva representa la gráfica de una función. Si alguna vertical corta a la curva en más de un punto, entonces la curva no puede ser la gráfica de ninguna función.

C Funciones y ĺımites 3

Tipos de funciones:

En el ejemplo 1) de función f : A → B, donde A = {personas de esta clase}, B = {nombres}, f(persona) = nombre de persona, cada persona tiene un nombre, pero hay varias personas con el mismo nombre, es decir hay elementos distintos en A que tienen la misma imagen mediante f .

Se dice que una aplicación f : A → B es inyectiva si para cualesquiera elementos x, y de A, si x 6= y, entonces f(x) 6= f(y); es decir, cuando no existen elementos distintos en A que tengan la misma imagen.

De acuerdo con esto: – La aplicación f del ejemplo 1) no es inyectiva. – La aplicación f del ejemplo 2) no es inyectiva porque f(1) = f(−1) = 1. – La aplicación f del ejemplo 3) śı es inyectiva porque si x e y son dos números reales y suponemos que tienen la misma imagen, f(x) = f(y), es decir, 3x + 7 = 3y + 7, se deduce inmediatamente que x = y. – La aplicación f del ejemplo 4) śı es inyectiva porque si x e y son dos números reales po- sitivos y suponemos que tienen la misma imagen, es decir,

√ x = √ y, elevando al cuadrado

los dos miembros de la igualdad se tiene ( √ x)

2 = (√ y )2

, es decir, x = y.

Se dice que una aplicación f : A→ B es sobreyectiva si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A, es decir, si para cada y ∈ B existe algún x ∈ A tal que f(x) = y.

Si una aplicación f : A→ B es a la vez inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva. Entonces todo elemento de B es imagen de un único elemento de A y es posible definir una aplicación “en sentido contrario”, es decir, de B en A que a cada elemento y de B le hace corresponder el único elemento x de A del que es imagen. Esta aplicación B → A se llama aplicación inversa de f y se suele representar por el śımbolo f−1.

f−1 : B → A, f−1(y) = x si f(x) = y.

Por ejemplo, la aplicación del ejemplo 3 tiene inversa, que es la aplicación R→ R tal que x 7→ 13 x−

7 3 .

En el caso de una función de R en R, se puede reconocer que es inyectiva a partir de su gráfica si toda recta horizontal corta a la gráfica en un solo punto, como máximo.

Asimismo, de la definición de inversa se deduce que si un punto (x, y) está en la gráfica de una función biyectiva f de R en R, entonces (y, x) está en la gráfica de su función inversa f−1. Éste punto es el simétrico de (x, y) con respecto a la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero, lo que nos permite deducir la gráfica de f−1 a partir de la de f .

2 Las funciones elementales

Se llama funciones elementales a las funciones f : R −→ R más simples y mejor conocidas. Son las que describimos a continuación:

Una función lineal es una función de la forma f(x) = a x, donde a es un número real. Se llaman aśı porque su gráfica es una recta de pendiente a que pasa por el origen y porque, además, cumple las propiedades:

C Funciones y ĺımites 4

f(x+ y) = f(x) + f(y), para cualesquiera x, y números reales, f(λx) = λ f(x), para cualesquiera números reales λ y x.

Una función af́ın es una función de la forma f(x) = a x+ b. Su gráfica es una recta de pendiente a que pasa por el punto (0, b). Se diferencia de una lineal sólo en la constante b, y, naturalmente, una función lineal es un caso especial de función af́ın (cuando b = 0).

Es posible encontrar otra terminoloǵıa en los libros: en algunos tanto a las afines como a las lineales se les llama lineales y, para distinguir a las lineales de las afines, a las primeras se les llama lineales homogéneas.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

lineal homogénea

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.8

1.0

1.2

1.4

lineal no homogénea o afí

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

lineal homogénea

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.8

1.0

1.2

1.4

lineal no homogénea o afí

Ejercicio: Una función lineal no constante siempre tiene inversa. Calcular la función inversa de f(x) = a x+ b.

Una función polinómica o polinomio es una función de la forma

f(x) = anx n + an−1x

n−1 + an−2x n−2 + . . .+ a2x

2 + a1x+ a0.

El número entero (no negativo) n se llama grado del polinomio, a0 es el término indepen- diente, y a ap se le llama coeficiente del término de grado p. an es el coeficiente del término de grado máximo.

Un polinomio de grado cero es una función constante (que asigna a todo x el mismo valor) y su gráfica es una recta horizontal y = a0. Un polinomio de grado 1 es una función af́ın, cuya gráfica, como ya sabemos, es una recta inclinada.

Algunos ejemplos más de funciones polinómicas son x2 − x− 1, “polinomio de grado 2”, x3 + x2 − x+ 1, “polinomio de grado 3”, x4 − x3 + x2 − x− 1, “polinomio de grado 4”, x5 − x4 − 3x3 + x2 + 2x+ 1, “polinomio de grado 5”,

C Funciones y ĺımites 5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-2.0-1.5-1.0-0.5 0.5 1.0

-1

1

2

3

-0.5 0.5 1.0 1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.5-1.0-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

1

2

3

También puede ser interesante comparar las gráficas de los polinomios elementales xn, para n = 2, 3, 4, 5, . . ..

Out[50]=

n=2

n=3

n=4

n=5

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

C Funciones y ĺımites 6

Una función racional es un cociente de funciones polinómicas, es decir, una función de la forma f(x) = P (x)}Q(x) donde P y Q son polinomios. Como ejemplos:

x4 − x3 + x2 − x− 1 x2−x−1 ,

x4 − x3 + x2 − x− 1 x2−x−1 ,

x5 + x4 − x3 + x2 − x+ 1 x3+x2−x+1 ,

x5 + x4 − x3 + x2 − x+ 1 x3+x2−x+1 ,

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-5

5

10

15

20

x 4 - x

3 + x

2 - x - 1

x 2 - x - 1

-3 -2 -1 1 2 3

-5

5

10

x 5 + x

4 - x

3 + x

2 - x + 1

x 3 + x

2 - x + 1

Advertencia: las ĺıneas verticales no forman parte de la gráfica de la función.

Obsérvese que al acercarse x a los valores en los que se anula el denominador, si el numerador no se anula, el cociente se hace arbitrariamente grande en valor absoluto. Se dice que la función “tiende a infinito” en esos puntos.

Las funciones trigonométricas circulares son sen, cos, tg=sen/cos, cot=cos/sen, cosec =1/sen y sec = 1/cos. Las funciones “seno” y “coseno” describen las coordenadas de los puntos de la circunferencia de centro el origen y radio 1, como se describe en la siguiente figura:

Out[66]=

t

Hcos t, sen tL

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

C Funciones y ĺımites 7

Las gráficas de las funciones trigonométricas son las siguientes (con la salvedad de que las rectas verticales no forman parte de las mismas).

Out[95]=

-6 -4 -2 2 4 6 -1.0

1.0 Función seno

-6 -4 -2 2 4 6 -1.0

1.0 Función coseno

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6 Función tangente

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6 Función cotangente

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6 Función cosecante

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6 Función secante

Las funciones trigonométricas circulares tienen las siguientes importantes propiedades:

cos(−a) = cos(a)

sen(−a) = −sen(a)

cos2 a+ sen2a = 1

cos(a+ b) = cos a cos b− sen a sen b

sen(a+ b) = sen a cos b+ cos a sen b

y, como consecuencia de las dos últimas fórmulas,

cos 2a = cos2 a− sen2a, sen 2a = 2 sen a cos a.

C Funciones y ĺımites 8

Como se aprecia al ver sus gráficas, estas funciones no tienen inversa cuando se consideran definidas sobre todos los números reales donde tiene sentido su definición, pero siempre es posible restringirse a un intervalo en que la función trigonométrica circular tiene inversa. Esas inversas se conocen como "arco (nombre de la función)", aśı: la función “arco seno”, que se escribe “arcsen”, es la inversa de la función seno, la función “arco coseno”, que se escribe “arccos”, es la inversa de la función coseno, la función “arco tangente”, que se escribe “arctg”, es la inversa de la función tangente, y lo mismo se puede decir de las otras tres funciones trigonométricas, pero nos contentaremos con describir estas tres:

Out[102]=

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

arcsen: @-1,1D ® @-А2,А2D

Out[103]=

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

arccos: @-1,1D ® @0,ΠD

Out[104]=

-4 -2 2 4

-1.0

-0.5

0.5

1.0

arctg: R ® @-А2,А2D

Funciones exponencial y logaŕıtmica Para cada número real a > 0 se define la función exponencial de base a, que es la

extensión natural a R de la función bien conocida x 7→ ax definida para x número racional. Esta función es biyectiva cuando se considera R→ R+.

C Funciones y ĺımites 9

En Matemáticas tiene un interés especial el caso en que la base a es el número e, que es un número irracional cuya definición precisa daremos más adelante, y tiene un valor aproximado de 2,71828.

Las gráficas de la función exponencial f(x) = ax para a = e y para a = 10 pueden verse en la siguiente figura, donde hay que tener en cuenta que la escala en el eje OY es distinta de la del eje OX.

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

7

función exponencial ex

-2 -1 1 2

10

20

30

40

50 función exponencial 10x

Esta función cumple las propiedades siguientes:

a0 = 1; a−x = 1

ax ; ax+y = ax ay; ax−y =

ax

ay ; (ax)y = axy.

La función logaritmo en base a, (a > 0), que se escribe loga x, es la función inversa de la función ax. Como consecuencia de lo dicho anteriormente para la función exponencial, loga es una función de R+ en R. En particular, el logaritmo en base e, loge es la función inversa de la función x 7→ ex y se le suele llamar “logaritmo neperiano”. Como consecuencia de ser el logaritmo la función inversa de la exponencial se tiene que, para todo a > 0,

aloga x = x, loga (a x) = x,

dicho con otras palabras, el hecho de que loga x sea la función inversa de a x significa que:

loga x = y si y solo si a y = x.

De las propiedades de la función exponencial se deducen las siguientes propiedades de la función logaritmo:

loga 1 = 0; loga(x y) = loga x+ loga y; loga(x y) = y loga x; loga

( x

y

) = loga x− loga y.

y, de la tercera propiedad, resulta que, si y = lnx, entonces ey = x, de donde, tomando logaritmos en base a, y loga e = loga x, de donde

loga x = loga e lnx,

que es la relación que hay entre el logaritmo en base a y el logaritmo neperiano de un mismo número x.

Análogamente, de ln(ax) = x ln a, se deduce que ax = ex ln a.

C Funciones y ĺımites 10

La gráfica del logaritmo es, como le corresponde por ser la inversa de la función expo- nencial, la que resulta de intercambiar los ejes X e Y en la gráfica de la exponencial:

1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

1

2 función logaritmo neperiano

10 20 30 40 50

0.5

1.0

1.5

función logaritmo decimal

Obsérvese que ax > 0 para todo x, luego loga x, que es su función inversa, sólo está definida para x > 0, y, cuando x se aproxima a 0, loga se aproxima a −∞.

Cabe reseñar que dada una función polinómica f(x) = anx n + . . .+ a1 + a0, con an > 0

y una función exponencial g(x) = ax, con a > 1, cuando x se hace arbitrariamente grande la función exponencial supera antes o después a la función polinómica. Análogamente, si se considera una función logaŕıtmica h(x) = loga(x), con a > 1, esta función es superada, cuando x se hace arbitrariamente grande, por cualquier función polinómica como la de más arriba.

Las funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas se definen como sigue:

Seno hiperbólico: sh(x) = e x−e−x

2

Coseno hiperbólico: chx = e x+e−x

2

Tangente hiperbólica: th(x) = sh(x)ch(x) ,

Cotangente hiperbólica: coth(x) = ch(x)sh(x) ,

Cosecante hiperbólica: cosech(x) = 1sh(x) ,

Secante hiperbólica: sech(x) = 1ch(x)

y sus gráficas son:

C Funciones y ĺımites 11

Out[53]=

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

Seno hiperbólico

-2 -1 1 2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Coseno hiperbólico

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0 Tangente hiperbólica

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Cotangente hiperbólica

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2 Cosecante hiperbólica

-4 -2 2 4

0.40.6 0.81.0

Secante hiperbólica

Estas funciones tienen las siguientes propiedades, análogas a las de las funciones trigonométricas circulares:

ch(a+ b) = ch a ch b+ sh a sh b,

sh(a+ b) = sh a ch b+ ch a sh b,

ch2a− sh2a = 1

y, como consecuencia de las dos primeras fórmulas,

ch 2a = ch2a+ sh2a,

sh 2a = 2 sh a ch a.

C Funciones y ĺımites 12

La fórmula clave que permite llamar a estas funciones hiperbólicas

ch2a− sh2a = 1,

ya que esto nos dice que (ch a, sh a) son los puntos de la rama derecha de la hipérbola

x2 − y2 = 1.

Las funciones trigonométricas hiperbólicas también tienen sus correspondientes inversas que se llaman "argumento seno hiperbólico", ..., de las que indicamos tres en las siguientes gráficas:

Out[54]=

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

argsh: R ® R

Out[55]=

1 2 3 4

0.5

1.0

1.5

2.0

argch: @1,¥L ® R+

Out[57]= -1.0 -0.5 0.5 1.0

-3

-2

-1

1

2

argch: H-1,1L ® Rƒ

C Funciones y ĺımites 13

3 Composición de funciones

Dadas dos aplicaciones f : X → Y , g : Y → Z, se define la aplicación composición de f y g, g ◦ f : X → Z como (g ◦ f)(x) = g(f(x)). Para entender las composiciones de aplicaciones, a menudo es útil considerar diagramas como el siguiente:

X f //

g◦f

Y

g

 Z

Aśı, por ejemplo, si f(x) = sen(x) y g(x) = x3, entonces (g ◦ f)(x) = (sen(x))3 (que también se escribe como sen3(x) y (f ◦ g)(x) = sen

( x3 ) . Además f : R −→ [−1, 1], g : R −→

R, y g ◦ f : R −→ [−1, 1], f ◦ g : R −→ [−1, 1].

Obsérvese que, si f es una función que tiene inversa, las composiciones f−1 ◦ f y f ◦ f−1 verifican que (f−1 ◦ f)(x) = x y (f ◦ f−1)(x) = x. (la aplicación i(x) = x se llama aplicación identidad, y las expresiones anteriores se pueden escribir como f ◦ f−1 = i y f−1 ◦ f = i.)

4 Ecuaciones y su resolución gráfica

Una ecuación es una expresión de la forma

f(x) = y,

en la que f : X → Y es una aplicación e y es un elemento de Y . Dada una ecuación como la anterior, “resolver la ecuación” consiste en encontrar todos los x ∈ X para los que la igualdad f(x) = y es verdadera, es decir, tales que al sustituirlos en la ecuación, ésta se convierte en una identidad.

Otro modo de decir lo mismo es: “dado y ∈ Y , encontrar todos los x ∈ X que satisfacen la igualdad f(x) = y”. Los x ∈ X que cumplen esta condición se llaman soluciones de la ecuación f(x) = y.

En el caso en que la aplicación f sea inyectiva, sabemos que dos elementos distintos de X tienen imágenes distintas, por lo que la solución de una ecuación f(x) = y, si existe, ha de ser única. (Si hubiese en este caso más de una solución, tendŕıamos más de un elemento de X con imagen y.)

Solución gráfica de una ecuación

Sean f y g funciones reales de variable real. ¿Cómo encontrar las soluciones de la ecuación f(x) = g(x) cuando se conocen las gráficas de f y de g?.

Antes una aclaración: la ecuación f(x) = g(x) no es ni más ni menos general que la ecuación f(x) = y. En efecto, la ecuación se puede escribir como f(x) − g(x) = 0 y, si definimos la función h(x) = f(x) − g(x), la ecuación dada es equivalente a h(x) = 0. De la misma manera, si tenemos una ecuación f(x) = y, definiendo la función u(x) = f(x)− y, la ecuación se puede escribir como u(x) = 0. Es decir, toda ecuación en la que intervienen sólo funciones reales de variable real se puede escribir de la forma “función”(x) = 0.

C Funciones y ĺımites 14

Vamos ahora a responder la pregunta. Si a es una solución de f(x) = g(x), entonces f(a) = g(a), lo que es equivalente a

(a, f(a)) = (a, g(a)). Pero (a, f(a)) es un punto de la gráfica de f y (a, g(a)) es un punto de la gráfica de g, luego a es una solución de la ecuación f(x) = g(x) si y solo si las gráficas de f y g coinciden en el punto en que tienen la coordenada x igual a a. Esto da un procedimiento para encontrar gráficamente soluciones de ecuaciones de la forma f(x) = g(x) cuando se conocen las gráficas de ambas funciones: “Se miran los puntos en que ambas gráficas se cortan y las coordenadas x de esos puntos son las soluciones de la ecuación”.

Veamos un ejemplo : Obtener las soluciones de la ecuación sen(x) = x3 − x+ 1. Dibujamos las gráficas de ambas funciones (para x entre −3.1 y 3.1), la primera en rojo

y la segunda en azul:

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

y, mirando los puntos de intersección, observamos que las soluciones son, aproximadamente, -1’5 y 0’8

Claro que podemos equivocarnos, si miramos más de cerca la solución positiva con más resolución (para x entre 0.6 y 0.9):

0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90

0.65

0.70

0.75

0.80

vemos que lo que parećıa un punto de intersección son dos en realidad y, en lugar de la solución 0’8, lo que tenemos son dos soluciones cuyos valores aproximados son 0’69 y 0’82.

Ejercicio: En varios tipos de sistemas competitivos que se dan en economı́a y en bioloǵıa el equilibrio se alcanza para lo que se llama un "punto fijo" de una función f , que se define como un punto x para el que f(x) = x (¿se adivina por qué se llama punto fijo?). Dar

C Funciones y ĺımites 15

ejemplos de funciones que tienen punto fijos y encontrarlos, y ejemplos de funciones que no tienen puntos fijos. Dibujar las gráficas de algunas funciones y determinar gráficamente si tienen puntos fijos o no y, caso de que los tengan, determinarlos gráficamente.

5 Ĺımites de sucesiones

Una sucesión de números reales es una aplicación N→ R y se corresponde con la idea intuitiva de tener una cantidad infinita de números reales ordenados, de modo que la imagen del 1 es el primer elemento, la imagen del 2 es el segundo elemento y aśı sucesivamente. Es costumbre indicar la imagen de cada entero positivo n con una misma letra (para todos los elementos de la sucesión) afectada del sub́ındice n, por ejemplo an.

Algunos ejemplos de sucesiones son los siguientes:

1, 2, 3, 4, . . . , cuyo término general es an = n.

1, 4, 9, 16, . . . , cuyo término general es an = n 2.

1,−1, 1,−1, . . . , cuyo término general es an = (−1)n+1.

A diferencia de lo que ocurre con los ejemplos anteriores, los términos de algunas suce- siones se van acercando cada vez más a un número fijo; aśı, por ejemplo la sucesión

1

2 , 2

3 , 3

4 , 4

5 , . . . , cuyo término general es an =

n

n+ 1

esta formada por números que se acercan al 1 y están tan cerca del 1 como queramos con tal de avanzar suficientemente en la sucesión, es decir, siempre que n sea suficientemente grande. Análogamente ocurre con la sucesión

1, 1

2 , 1

3 , 1

4 , . . . , cuyo término general es an =

1

n ,

cuyos términos están tan cerca de 0 como queramos. Este hecho se recoge de una manera precisa en el concepto de ĺımite de una sucesión.

Se dice que el ĺımite de una sucesión (an)n∈N es el número real b, y se escribe, lim an = b, si para todo número real , con  > 0, existe algún n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0, |an − b| < . (El valor absoluto |an − b| representa la “distancia” entre los números an y b y la condición |an − b| <  es equivalente a escribir b−  < an < b+ .)

Aśı, lim an = b quiere decir que dado cualquier  > 0 (piénsese que  puede ser arbitraria- mente pequeño), existe un término de la sucesión (el an0) tal que a partir de él todos los términos están a una distancia de b menor que . (Aunque resulta redundante, a veces también se escribe limn→∞ an = b.)

Naturalmente, una sucesión no tiene por qué tener ĺımite. Los tres primeros ejemplos anteriores son sucesiones que no tienen ĺımite. Los dos siguientes tienen ĺımite 1 y 0, respec- tivamente.

C Funciones y ĺımites 16

Hay un resultado en Matemáticas que afirma que si una sucesión de números reales (an) es creciente (an ≤ an+1) y está acotada, es decir todos los an son menores que un cierto número fijo B, entonces tiene ĺımite. Estas condiciones las cumple la sucesión an =

( 1 + 1n

)n y su

ĺımite es el número e ya mencionado al hablar de la aplicación exponencial y los logaritmos neperianos. Aśı,

e = lim

( 1 +

1

n

)n .

Este número es irracional, es decir, no es el cociente de ningún par de números enteros y su valor aproximado es e = 2, 718281828459...

6 Ĺımites de funciones

Para una función f : R −→ R, el concepto de ĺımite cuando x → ∞ se puede definir exactamente igual que para una sucesión.

Se dice que limx→∞ f(x) = b si, para cualquier número real positivo , existe un número real M > 0 tal que para todo x ≥M , se cumple que |f(x)− b| < , es decir, la distancia de f(x) a b es más pequeña que  siempre que x sea suficientemente grande.

Se pueden considerar además los casos en que x → −∞ y x → a, siendo a un número real. Concretamente

Se dice que limx→−∞ f(x) = b si, para cualquier número real positivo , existe un número real M > 0 tal que para todo x ≤ −M , se cumple que |f(x) − b| < , es decir, la distancia de f(x) a b es más pequeña que .

Se dice que limx→a f(x) = b si, para cualquier número real positivo , existe un número real positivo δ tal que para todo x con |x− a| < δ, se cumple que |f(x)− b| < , es decir, la distancia de f(x) a b es más pequeña que  para todos los x que están a una distancia de a menor que δ.

Además, tanto para sucesiones como para funciones, podemos considerar la posibilidad de que el ĺımite sea ∞ ó −∞. Por ejemplo, se dice que limx→a f(x) = ∞ si, para todo M > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x con |x− a| < δ se cumple que f(x) > M , (o bien f(x) < −M en el caso de que limx→a f(x) = −∞).

Propiedades elementales: Si existen los ĺımites limx→a f(x) y limx→a g(x), entonces también existen los ĺımites de f(x) + g(x), de f(x) g(x) y de f(x)/g(x), en este último caso siempre que limx→a g(x) 6= 0, y se cumple que

lim x→a

(f(x) + g(x)) = lim x→a

f(x) + lim x→a

g(x), lim x→a

(f(x) g(x)) = lim x→a

f(x) lim x→a

g(x)

lim x→a

f(x)

g(x) =

limx→a f(x)

limx→a g(x) .

Estas propiedades son también válidas para ĺımites cuando x→ ±∞. Además, como es evidente, el ĺımite de cualquier función constante coincide con el valor

constante de la función.

C Funciones y ĺımites 17

Algunas ideas para calcular ĺımites:

lim x→∞

3x4 − 2x2 + 1 x5 + 3x3

= lim x→∞

3x 4

x5 − 2x2

x5 + 1

x5

x5

x5 + 3x

3

x5

= lim x→∞

3 1x − 2 x3

+ 1 x5

1 + 3 x2

= 0.

En general, si P (x) = apx p + . . .+ a0 y Q(x) = bqx

q + . . .+ b0 son polinomios de grados p y q respectivamente, entonces

lim x→∞

P (x)

Q(x) =

 ±∞ si p > q

0 si p < q ap bp

si p = q

Criterio del bocadillo o del sandwich: Dadas las funciones convergentes f : R −→ R y g : R −→ R tales que lim

x→a f(x) = lim

x→a g(x) = α, si h : R −→ R es otra función que verifica

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x próximo a a, entonces lim x→a

h(x) = α, y esto aunque a = ±∞. Aśı, por ejemplo:

La función cosx

x verifica

−1 x ≤ cosx

x ≤ 1

x , y lim

x→∞ (−1 x

) = lim x→∞

( 1

x ) = 0, luego

lim x→∞

cosx

x = 0

Otros hechos útiles que conviene saber para calcular ĺımites son

lim x→0

senx

x = 1,

lim x→∞

ex

xn =∞ para todo n y lim

x→∞

lnx

xn = 0 para todo n ≥ 1,

como resulta de las observaciones que hicimos sobre crecimiento exponencial, polinómico y logaŕıtmico.

Asimismo,

lim x→∞

( 1 +

1

x

)x = e, lim

x→∞

( 1− 1

x

)x =

1

e .

Además de considerar lim x→a

f(x), se puede hablar de ĺımites por la derecha lim x→a+

f(x) y de

ĺımites por la izquierda lim x→a−

f(x). Su definición es análoga a la de ĺımite, añadiendo a la

condición |x − a| < δ las condiciones x > a y x < a, respectivamente. El ĺımite existe si y solo si existen los ĺımites por la derecha y por la izquierda y coinciden (y entonces coinciden también con el ĺımite).

C Funciones y ĺımites 18

Algunos ĺımites y las correspondientes gráficas

1) lim x→0

x√ x+ 1− 1

= 2 -1.0 -0.5 0.5 1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2) lim x→1

x3 − 1 x− 1

= 3 0.5 1.0 1.5 2.0

2

3

4

5

6

7

En efecto: x3 − 1 x− 1

= 1 + x+ x2.

3) lim x→0

√ x2 + 4− 2

x2 =

1

4 -1.0 -0.5 0.5 1.0

0.238

0.240

0.242

0.244

0.246

0.248

0.250

7 Funciones continuas

Se dice que una función f : R −→ R es continua en a ∈ R si limx→a f(x) = f(a). Obsérvese que, en particular, esto implica que la función está definida en a, es decir, que

C Funciones y ĺımites 19

existe f(a); dicho con otras palabras, si f no está definida en a no puede ser continua en este punto. Se dice que f es continua en un intervalo [a, b] de R si lo es en cada punto x ∈ [a, b]. (Por un intervalo [a, b] de R entendemos el conjunto de todos los números reales x tales que a ≤ x ≤ b.).

Teorema: En los puntos en los que están definidas, todas las funciones elementales que hemos estudiado son continuas.

Ejemplos

Se considera la función f definida del siguiente modo

f(x) =

 2x+ 1, if x ≤ −1 3x, if− 1 < x < 1 2x− 1, if x ≥ 1

Cada una de las tres funciones que se usan para definir f son polinomios, luego son continuas. Si hay discontinuidades se darán, por lo tanto, en los puntos en los que cambia el modo de definir la imagen de x, es decir, en x = −1 y en x = 1. En esos puntos los ĺımites no están bien definidos, luego la función no es continua en ellos.

La gráfica de la función es la siguiente (teniendo en cuenta que los segmentos verticales no forman parte de la gráfica)

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

Ĺımites que no existen

Como hemos comentado al definir el concepto de función continua en un punto, si la función no está definida en a no puede ser continua en a. Por ejemplo, la función f(x) = sen(1/x) no está definida para x = 0; además, cualquiera que sea el valor que uno elija para f(0), la función no puede ser continua en x = 0, puesto que al acercarse x a 0, f(x) oscila “infinitas veces” entre 1 y −1:

C Funciones y ĺımites 20

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

En cambio, la función

h(x) =

{ x sen(1/x) si x 6= 0

0 si x = 0

es continua, pues limx→0 x sen(1/x) = 0.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Como consecuencia de las propiedades elementales de los ĺımites, si f y g son funciones continuas, entonces las funciones f + g y f g son continuas. La función f/g es también es continua en todos los puntos en los que no se anule g.

Asimismo, toda función constante es continua.

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