Tema 3, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)
ijome
ijome

Tema 3, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)

16 páginas
4Número de visitas
Descripción
Asignatura: Equacions diferencials ordinàries, Profesor: M Dolores Martinez, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 16
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento

TEMA III PROLONGABILITAT. UNICITAT

1. Prolongabilitat

De…nition 1.1. Siguen D  R Rm, f : D ! Rm i ' : I ! Rm una solució de l’EDO

(1) x0 = f(t; x)

en D. Direm que ' és una solució prolongable si existeix un interval J % I i existeix una solució en D de (1) : J ! Rm tal que

(t) = '(t); 8t 2 I :

Es diu que és prolongable per la dreta (o per l’esquerra) si hi ha excés de J respecte de I, per aquest costat.

Remark 1.1. D’ara en abans suposarem que r i s són els extrems de l’interval I i que r < s. I el que anem a fer en primer lloc és estudiar diferents criteris de prolongació de la solució '; segons els casos en els que es troben els extrems anteriors r i s.

Lemma 1.1. Si s =2 I i és …nit (o r =2 I i és …nit), i g : I ! R és una funció deriv- able tal que existeixen i són …nits els límits lim

t!s�(o r+) g(t) = c i lim

t!s�(o r+) g0(t) = d,

aleshores la funció (extensió) ~g : I [ fsg ! R (o ~g : I [ frg ! R) de…nida de la forma

~g(t) =

 g(t); si t 2 I c; si t = s (o t = r)

és derivable en s (o en r) i ~g0(s) = d (o ~g0(r) = d).

Proof. Suposem que s =2 I, i que g : I ! R és una funció derivable tal que existeixen i són …nits els límits lim

t!s g(t) = c i lim

t!s g0(t) = d, aleshores considerem la funció

extensió ~g : I [ fsg ! R de…nida de la forma

~g(t) =

 g(t); si t 2 I c; si t = s

Vegem que és derivable en s i que ~g0(s) = d, o el que és equivalent que si h > 0 existeix el lim

h!0 ~g(s�h)�~g(s)

�h = d .

Donat un  > 0, com lim t!s

g0(t) = d, llavors existeix un  = () > 0 tal que

[s� ; s[ I i si t 2 [s� ; s[ es veri…ca

(2) jg0(t)� dj <  1

2 POLONGABILITAT. UNICITAT

Siga 0 < h < , aleshores pel teorema del valor mitjà, sabem que existeix un th 2]s� h; s[ tal que: ~g(s� h)� ~g(s)�h � d

= g(s� h)� c�h � d =(3)

=

g0(th)(�h)�h � d = jg0(th)� dj

i com ]s� h; s[ [s� ; s[, per (2) i per(3) s’obté ~g(s� h)� ~g(s)�h � d = jg0(th)� dj < 

I per tant ~g és derivable en s i ~g0(s) = d Per al cas en que r =2 I es raona de manera anàlega. 

Proposition 1.2. (Criteri de prolongabilitat quan s =2 I, o r =2 I) Siguen f : D  R Rm ! Rm

contínua i ' : I ! Rm solució de x0 = f(t; x) tal que s =2 I i és …nit (o r =2 I i és …nit), aleshores ' és prolongable per la dreta (o per l’esquerra) si, i sols si, existeix

lim t!s�(o r+)

'(t) = w i (s; w) 2 D (o (r; w) 2 D)

Proof. Suposem que s =2 I i és …nit. Suposem primer que ' : I ! Rm és una solució proplongable per la dreta de

x0 = f(t; x) en D, aleshores 9 s  s i : I [ [s; s]! Rm tal que és també solució de l’edo en D i (t) = '(t); 8t 2 I. Llavors si anomenem w := (s), per la continuitat de s’obté que

9 lim t!s�

'(t) = lim t!s�

(t) = w

i (s; w) = (s; (s)) 2 D. I suposem ara que 9 lim

t!s� '(t) = w i que (s; w) 2 D, aleshores de…nim la funció

: I [ [s]! Rm tal que

(t) =

 '(t); si t 2 I w; si t = s

:

Per tant serà su…cient demostrar que és solució de x0 = f(t; x) en D per a veure que ' és proplongable per la dreta. És immediat que si t 2 I, aleshores 9 0(t) = '0(t) = f(t; '(t)) = f(t; (t)). I si t = s, com (s; w) 2 D i f és contínua en D, aleshores

9 lim t!s�

'0(t) = lim t!s�

f(t; '(t)) = f(s; w)

i per tant pel lema anterior s’obté que 9 0(s) = f(s; w) = f(s; (s)). Per al cas en que r =2 I i és …nit, es raona de manera anàlega. 

Proposition 1.3. (Criteri de prolongabilitat quan s 2 I, o r 2 I) Siguen f : D  R Rm ! Rm

contínua i ' : I ! Rm solució de x0 = f(t; x) tal que s 2 I (o r 2 I) i (s; '(s)) 2 D (o (r; '(r)) 2 D), aleshores ' és prolongable per la dreta (o per l’esquerra).

POLONGABILITAT. UNICITAT 3

Proof. Suposem que s 2 I i que (s; '(s)) 2  D. Si anomenem w := '(s), aleshores

9 a > 0 i 9 b > 0 tals que

E = [s� a; s+ a]B(w; b)  D: Llavors com f és també contínua en E, pel Teorema de Cauchy-Peano local,

s’obté que existeix solució del’edo x0 = f(t; x) en E, i per tant en D,

 : [s� ; s+ ]! Rm tal que (s) = w: Anomenem s := s+ i de…nim la funció : I [ [s; s]! Rm tal que:

(t) =

 '(t); si t 2 I (s); si t 2 [s; s]

que és contínua i ben de…nida ja que (s) = w = '(s). Per tant serà su…cient demostrar que és solució de x0 = f(t; x) en D per a veure

que ' és prolongable per la dreta. Però sabem que la juxtaposició de solucions és solució quan coincideixen a l’interval intersecció per tant tenim el resultat buscat.

Per al cas en que r 2 I i que (r; '(r)) 2  D, es raona de manera anàlega. 

Remark 1.2. La condició su…cient de la proposició anterior no és necessària com ho prova el següent exemple:

Siga l’EDO x0 = q x+ t

2

4 � t 2 plantejada en el domini

D =

 (t; x) 2 R2=x  � t

2

4

 ;

aleshores per a tot c > 0 la funció '(t) = ct + c2 de…nida en I = [�2c;+1[, i la funció (t) = � t24 de…nida en J =] �1;�2c], són solucions de l’EDO en D: I per altra banda, (�2c; '(�2c)) = (�2c;�c2) 2 Fr(D) amb la qual cosa la funció ' és prolongable a l’esquerra, ja que per exemple una prolongació és la funció

~'(t) =

 (t); si t 2 J '(t); si t 2 I amb domini R % I.

Corollary 1.4. Si D  R Rm és obert, f : D ! Rm és contínua i ' : I ! Rm

és una solució no prolongable per la dreta (o per l’esquerra) de l’EDO x0 = f(t; x) en D, aleshores l’interval I és obert per la dreta (o per l’esquerra). I si ' és no proplongable llavors I és obert.

Proof. Suposem que ' : I ! Rm és una solució no prolongable per la dreta de l’EDO x0 = f(t; x) en D.

Aleshores si I és tancat per la dreta es veri…ca que (s; '(s)) 2 D =  D i per tant

pel resultat anterior ' seria proplongable per la dreta, la qual cosa és un absurde. Es raona de manera simètrica quan ' és no prolongable per l’esquerra. I si ' és no proplongable llavors I és obert ja que seria no prolongable ni per

l’esquerra ni per la dreta. 

Remark 1.3. A continuació anem a estudiar l’existència de solució no prolongable, i per açò anem a veure primer unes de…nicions necessàries per a poder aplicar el Lema de Zorn.

4 POLONGABILITAT. UNICITAT

De…nition 1.2. Siga un conjunt , anomenarem relació d’ordre R en , a un subconjunt del producte cartesià  amb les propietats:

(1) ( ; ) 2 R;8 2 (re‡exiva) (2) Si ( ; ) 2 R i ( ; ) 2 R, aleshores = (antisimètrica) (3) Si ( ; ) 2 R i ( ; ) 2 R, aleshores ( ; ) 2 R (transitiva)

Si ( ; ) 2 R es diu que és anterior a , o que és posterior a , i el denotarem també de la forma  .

De…nition 1.3. (1) Direm que R és una relació d’ordre total si es veri…ca que 8 ; 2 , ( ; ) 2 R , o ( ; ) 2 R.

(2) Anomenarem cadena a tot subconjunt 0 de tal que R restringida a 0, és a dir el conjunt R0 = R\ ( 0 0), és una relació d’ordre total en 0.

(3) Es diu que  2 és un element maximal si no existeix cap element de , llevat del propi , posterior a ell.

(4) Es diu que un subconjunt F  admet un element majorant (o …ta superior) si existeix un ! 2 posterior a tots els elements de F .

Lemma 1.5. (de Zorn) Siga un conjunt no buit amb una relació d’ordre R; si es veri…ca que tota cadena de té una …ta superior, aleshores admet almenys un element maximal.

Theorem 1.6. (D’existència de solució no prolongable) Siguen D  RRm, f : D ! Rm i ' : I ! Rm una solució en D de l’EDO

(4) x0 = f(t; x)

Aleshores si ' és prolongable, existeix una prolongació de ' no prolongable en D:

Proof. Siga el conjunt

= f : I ! Rm tal que  és solució de (4) en D veri…cant I  I i (t) = '(t); 8t 2 Ig

De…nim en la següent relació d’ordre: Donades 1; 2 2 direm que 1  2, si I1  I2 i 1(t) = 2(t); 8t 2 I1 . Evidentment és una relació d’ordre ja que es veri…quen les propietats: i) (re‡exiva) És immediat que 8 2 ,   . ii) (antisimètrica) Si 1  2, aleshores I1  I2 i 8t 2 I1 ; 1(t) = 2(t): I

si 2  1, llavors I2  I1 i 8t 2 I2 ; 2(t) = 1(t): Per tant I1 = I2 i 1 = 2. iii) (transitiva) Si 1  2, aleshores I1  I2 i 8t 2 I1 ; 1(t) = 2(t): I si

2  3, llavors I2  I3 i 8t 2 I2 ; 2(t) = 3(t): Per tant I1  I3 i 8t 2 I1 ; 1(t) = 2(t) = 3(t). És a dir 1  3. Considerem ara una cadena quealsevol 0 de i anem a obtindre una …ta supe-

rior d’aquesta cadena. De…nim H = [fI= 2 0g, aleshores I  H i per tant H és també un interval.

I de…nim ara la funció : H ! Rm tal que (t) = (t) si t 2 I i  2 0. Aquesta funció está ben de…nida ja que si t 2 I1 \ I2 i 1; 2 2 0, aleshores

1  2 o 2  1 per ser 0 una cadena i per tant 1(t) = 2(t). A més a més si t 2 I, com I  I per a tot  2 0, llavors (t) = (t) = '(t). Vegem ara que és solució de (4) en D. Siga t0 2 H, poden passar els casos

següents:

POLONGABILITAT. UNICITAT 5

a) Si t0 és l’extrem de la dreta de H també serà l’extrem per la dreta de I per a un  2 0 i per tant si considerem h < 0=t0 + h 2 I, es veri…ca que: 9 0�(t0) = lim

h!1 (t0+h)� (t0)

h = limh!1 (t0+h)�(t0)

h =  0 �(t0) = f(t0; (t0)) =

f(t0; (t0)) b) Si t0 és l’extrem de l’esquerra de H es raona de manera simètrica. c) Si t0 2 H aleshores exiteixen t1; t2 2 H tals que t1 < t0 < t2 i t1 2 I1 i

t2 2 I2 per a certes 1; 2 2 0. Ara bé com 0 és una cadena, llavors 1  2 o 2  1. Suposem que 1  2, aleshores I1  I2 i per tant t0 2]t1; t2[ I2 i es veri…ca que si considerem h=t0 + h 2]t1; t2[: 9 0(t0) = lim

h!1 (t0+h)� (t0)

h = limh!1 2(t0+h)�2(t0)

h =  0 2(t0) = f(t0; 2(t0)) =

f(t0; (t0)) Llavors és solució de (4) en D i per tant 2 i és una una …ta superior de

0 ja que: 8 2 0, I  H i 8t 2 I es veri…ca que (t) = (t) i per tant   . Aleshores com no és buit i tota cadena seua té …ta superior, podem aplicar el

Lema de Zorn i s’obté que té un element maximal:  2 : I evidentment  és solució de (4) en D i serà no prolongable en D ja que si

existeix una prolongació  d’aquesta, aleshores  2 i    i com  un element maximal de l’unica possibilitat és que  = . 

Corollary 1.7. Si D  RRm, f : D ! Rm és una funció contínua i (t0; x0) 2  D,

aleshores el problema de Cauchy

(5)  x0 = f(t; x); x(t0) = x0:

té solució no prolongable en D.

Proof. Sabem pel Teorema de Peano que el problema (5) té una solució

' : I ! Rm

aleshores o aquesta és no prolongable, o pel teorema anterior existirà una prolon- gació d’aquesta no prolongable. 

2. Unicitat

D’ara en abans suposarem que D  R Rm i f : D ! Rm.

De…nition 2.1. (Unicitat global) Direm que l’EDO

(6) x0 = f(t; x)

té unicitat en D; si per a tota parella de solucions en D de (6) 1 : I1 ! Rm i 2 : I2 ! Rm tals que 9 t0 2 I1 \ I2 = 1(t0) = 2(t0), aleshores es veri…ca que

1(t) = 2(t); 8t 2 I1 \ I2

De…nition 2.2. (Unicitat d’un problema de Cauchy) Donat (t0; x0) 2 D, direm que el problema de Cauchy

x0 = f(t; x); x(t0) = x0:

6 POLONGABILITAT. UNICITAT

té unicitat en D, si per a tota parella de solucions 1 : I1 ! Rm i 2 : I2 ! Rm del problema de Cauchy en D; es veri…ca que

1(t) = 2(t); 8t 2 I1 \ I2 De…nition 2.3. (Unicitat local) Direm que l’EDO

x0 = f(t; x)

té unicitat local en D; si 8(t0; x0) 2 D existeix un entorn V en D tal que, per a tota parella de solucions 1 : I1 ! Rm i 2 : I2 ! Rm del problema de Cauchy

x0 = f(t; x); x(t0) = x0:

en V; es veri…ca que 1(t) = 2(t); 8t 2 I1 \ I2

Theorem 2.1. L’unicitat local implica l’unicitat global.

Proof. Suposem que hi ha unicitat local de x0 = f(t; x) en D. I siguen 1 : I1 ! Rm i 2 : I2 ! Rm dues solucións en D d’aquesta EDO veri…cant que 9 t0 2 I1 \ I2 = 1(t0) = 2(t0), vegem que 1(t) = 2(t); 8t 2 I1 \ I2 i ja estarà demostrat el que voliem. Anomenem J al interval no buit i per tant connex J = I1 \ I2 i de…nim el conjunt

H = ft 2 J=1(t) = 2(t)g Serà su…cient demostrar que H = J i per açò demostrarem que H és tancat i

obert en J . Vegem primer que H és tancat en J demostrant que H = H \ J . Evidentment H  H \ J . Siga doncs  2 H \ J , aleshores  2 J i existeix una

successió ftngn2N  H  J tal que  = lim n!1

tn, per tant per la continuitat de les

funcions 1 i 2 s’obté que:

1() = lim n!1

1(tn) = lim n!1

2(tn) = 2()

i per tant efectivament  2 H. Vegem ara que H és obert en J . Siga  2 H, aleshores  2 J i 1() = 1() =  i (; ) 2 D, per tant existirà

un entorn en D d’aquest punt: V on el problema de Cauchy

(7)  x0 = f(t; x); x() = 

té unicitat de solució. Considerem ara les funcions contínues: gi : J ! D, i = 1; 2 de…nides de la forma gi(t) = (t; i(t)). Aleshores com gi() = (; ) 2 V  D, existeix un  > 0 tal que 8t 2] � ;  + [\J es veri…ca que gi(t) = (t; i(t)) 2 V (entorn en D del punt (; )). És a dir les grà…ques de 1 i 2 restringides a ] � ;  + [\J estàn en V on hi

ha unicitat del problema de Cauchy (7), per tant 8t 2]� ; + [\J , 1(t) = 2(t) i com a conseqüència d’açò ] � ;  + [\J  H i H és obert en J . 

Lemma 2.2. Siguen D  RRm i f : D ! Rm; i 1 : I1 ! Rm i 2 : I2 ! Rm solucions de x0 = f(t; x) de forma que J = I1 \ I2 és un interval no trivial. Aleshores es veri…ca que

POLONGABILITAT. UNICITAT 7

(1) La funció (t) = k1(t)� 2(t)k és derivable als punts t0 2 J tals que (t0) = 0; i a més a més 0(t0) = 0:

(2) La funció e(t) = k1(t)� 2(t)ke de…nida en J , és derivable i veri…ca

(8) j0e(t)j  kf(t; 1(t))� f(t; 2(t))ke ;8t 2 J:

Proof. Siguen t0 2 J i h tal que t0 + h 2 J , aleshores

0  (t0 + h)� (t0)h

(9)  k1(t0 + h)� 2(t0 + h)� (1(t0)� 2(t0))kjhj =

=

1(t0 + h)� 1(t0)h � 2(t0 + h)� 2(t0)h

I per altra banda com 1 i 2 són solucions de x 0 = f(t; x) i t0 2 J , aleshores

existeix el

lim h!0

1(t0 + h)� 1(t0)h � 2(t0 + h)� 2(t0)h =(10)

= 01(t0)� 02(t0) = kf(t0; 1(t0))� f(t0; 2(t0))k

Per tant per (9), (10) i pel criteri de l’emparedat, s’obté que si t0 2 J és tal que (t0) = 0, llavors

9 0(t0) = lim h!0

(t0 + h)� (t0) h

= 0:

És a dir es veri…ca la propietat 1. Vegem ara 2. Per açò considerem la norma euclídea i la corresponent funció

e(t) = k1(t)� 2(t)ke de…nida en J . Com e(t) = s

mP j=1

(1;j(t)� 2;;j(t))2,

aleshores és derivable als punts t0 2 J tal que e(t0) 6= 0, i als punts t0 2 J tal que e(t0) = 0 també ho és per l’apartat anterior. Per tant e(t) és derivable en tot J , és a dir 8t 2 J , 9 0e(t). Aleshores, prenent límits quan h! 0 en (9) i considerant l’igualtat (10), s’obté

que: j0e(t)j  kf(t; 1(t))� f(t; 2(t))ke ;8t 2 I:



Theorem 2.3. (Criteri de Lipschitz) Si f : D  R  Rm ! Rm veri…ca la condició de Lipschitz respecte de les x en D (f és lipschitziana respecte de les x), és a dir existeix una constant k > 0 tal que

kf(t; x1)� f(t; x2)k  k kx1 � x2k ; 8(t; x1); (t; x2) 2 D

aleshores l’equació diferencial x0 = f(t; x) té unicitat en D.

Proof. Considerem la norma euclídea, aleshores per l’equivalència de normes en Rm es demostra fàcilment que existeix una constant k0 > 0 tal que

kf(t; x1)� f(t; x2)ke  k0 kx1 � x2ke ; 8(t; x1); (t; x2) 2 D

És a dir també es veri…ca la condició de Lipschitz per a la norma euclídea.

8 POLONGABILITAT. UNICITAT

Siguen 1 : I1 ! Rm i 2 : I2 ! Rm dues solucións en D d’aquesta EDO veri…cant que 9 t0 2 I1\ I2 = 1(t0) = 2(t0), vegem que 1(t) = 2(t); 8t 2 I1\ I2 i ja estarà demostrat el que voliem. Raonarem per R.A.A., és a dir suposem que 9 t1 2 I1\I2 tal que 1(t1) 6= 2(t1)

i que t1 > t0 (si es veri…ca t1 < t0 es raona de manera simètrica) Anomenem J al interval no buit J = I1 \ I2 que conté a [t0; t1] i de…nim el

conjunt A = ft 2 [t0; t1]=1(t) = 2(t)g = ft 2 [t0; t1]=e(t) = 0g

Evidentment t0 2 A i per tant A és no buit. Siga t2 = supA, aleshores com t2 2 A \ [t0; t1]  J per la continuitat de e(t)

en [t0; t1] s’obté que e(t2) = 0 i per tant t0  t2 < t1 ja que e(t1) > 0. Siga ara t3 2]t2; t1] tal que t3 � t2 < 1k0 , aleshores per de…nició de suprem es

veri…ca que e(t3) > 0. I per altra banda com e(t) és contínua i [t2; t3] és un compacte, existeix el

max fe(t)=t 2 [t2; t3]g = t4 i veri…carà per tant que e(t4)  e(t3) > 0. Si apliquem ara el teorema del valor mitjà a e(t) en [t2; t4], que es pot pel Lema

anterior, i la desigualtat (8) obtenim que 9t5 2]t2; t4[ tal que

e(t4)� e(t2) = 0e(t5)(t4 � t2)  kf(t5; 1(t5))� f(t5; 2(t5))ke (t4 � t2)   k0 k1(t5)� 2(t5)ke (t4 � t2)  k0e(t5)(t3 � t2) < e(t5)

la qual cosa és un absurde per la de…nició de màxim ja que e(t2) = 0 i t4 és el màxim de e en [t2; t3] i t5 2]t2; t4[ [t2; t3]. Aleshores efectivament es veri…ca que 1(t) = 2(t); 8t 2 J . 

Corollary 2.4. (Teorema de Picard) Siguen (t0; x0) 2 R  Rm; a; b > 0; el conjunt E = [t0 � a; t0 + a]  B(t0; b) i f : E ! Rm contínua i lipschitziana respecte de les x en E, aleshores existeix una única solució del problema de Cauchy (o de valors inicials) (5) de…nida en I = [t0� ; t0+ ] on = minfa; b=Mg sent M > 0 tal que

kf(t; x)k M;8(t; x) 2 E:

Proof. La demostració és immediata ja que pel Teorema de Peano local sabem que existeix una solució del problema de Cauchy (5) de…nida en I = [t0 � ; t0 + ] i aquesta solució és única pel teorema anterior. 

Lemma 2.5. Siga D  R  Rm obert i f : D ! Rm tal que existeixen i són contínues en D les parcials @fi@xj (t; x); 8i; j = 1; 2; :::;m. Aleshores si D és convex respecte de les "x" (és a dir 8s 2 [0; 1], s(t; u)+(1�s)(t; v) = (t; su+(1�s)v) 2 D si (t; u); (t; v) 2 D), es veri…ca que 8i = 1; 2; :::;m i 8(t; u); (t; v) 2 D

fi(t; u)� fi(t; v) = mX j=1

(uj � vj) 1Z 0

@fi @xj

(t; su+ (1� s)v)ds

Proof. Siga i 2 f1; 2; :::;mg i siguen (t; u); (t; v) 2 D, aleshores de…nim la funició g : [0; 1]! R de la forma g(s) = fi(t; su+ (1� s)v). Aquesta funció és composició de les següents funcions: a)  : [0; 1] ! Rm que és derivable i amb derivada contínua: 0j(s) = uj � vj ,

8j = 1; 2; :::;m i

POLONGABILITAT. UNICITAT 9

b) h : A ! R sent A = fx 2 Rm=(t; x) 2 Dg, que és diferenciable ja que 9 @h@xj (x) =

@fi @xj

(t; x), 8j = 1; 2; :::;m i són contínues en A. Aleshores com 8s 2 [0; 1]; g(s) = h((s)), aquesta funció és també derivable amb

derivada contínua en [0; 1] ja que

g0(s) = mX j=1

@h

@xj ((s))0j(s) =

mX j=1

@fi @xj

(t; (s))(uj � vj), 8s 2 [0; 1]:

Per tant es pot aplicar la regla de Barrow a la funció g(s) en [0; 1] i s’obté:

fi(t; u)�fi(t; v) = g(1)�g(0) = 1Z 0

g0(s)ds = mX j=1

(uj�vj) 1Z 0

@fi @xj

(t; su+(1�s)v)ds.

I açò és cert 8i = 1; 2; :::;m i 8(t; u); (t; v) 2 D. 

Theorem 2.6. (Condició su…cient per a ser localment lipschitziana) Siga D  R  Rm obert i f : D ! Rm tal que existeixen i són contínues en D les parcials @fi@xj (t; x); 8i; j = 1; 2; :::;m. Aleshores per a tot (t0; x0) 2 D existeix un entorn d’aquest punt en el que la funció f veri…ca la condició de Lipschitz, és a dir per a tot (t0; x0) 2 D existeix un entorn V en D i existeix una constant kV > 0 tal que

kf(t; u)� f(t; v)k  kV ku� vk ; 8(t; u); (t; v) 2 V

Proof. Com ja vam veure en el Criteri de Lipschitz és su…cient demostrar el resultat per a una norma concreta de Rm i ho veurem per a la norma màxim. Siga (t0; x0) 2 D, aleshores com D és obert, existeix una bola tancada

U = B((t0; x0); )  D:

Considerem com a entorn de (t0; x0) 2 D la bola oberta V = B((t0; x0); ) que evidentment és convexa, i per tant convexa respecte de les "x". Per altra banda com U és compacte i 8i; j = 1; 2; :::;m, @fi@xj (t; x) són contínues

en U , aleshores existeix una constant M > 0 tal que @fi@xj (t; x) M; 8i; j = 1; 2; :::;m i 8(t; x) 2 U

per tant si apliquem el lema anterior a la funció f en V , s’obté que 8(t; u); (t; v) 2 V

jfi(t; u)� fi(t; v)j =

mX j=1

(uj � vj) 1Z 0

@fi @xj

(t; su+ (1� s)v)ds

 

mX j=1

M juj � vj j  mM ku� vkmax

Llavors

kf(t; u)� f(t; v)kmax = maxi=1;2;::;m jfi(t; u)� fi(t; v)j  mM ku� vkmax

I açò és per a tota parella (t; u); (t; v) 2 V . Aleshores la funció f veri…ca la condició de Lipschitz en V . 

10 POLONGABILITAT. UNICITAT

Remark 2.1. La hipòtesi del corolari anterior de que @fi@xj existisca i siga contínua,

és su…cient però no necessària. És su…cient considerar l’EDO

x0 = jxj

Evidentment la funció f(t; x) = jxj és lipschitziana en R2 però als punts (t; 0) no existeix la parcial @f@x .

Corollary 2.7. Amb les hipòtesis del teorema anterior l’EDO (6) té unicitat en D.

Proof. Evidentment pel resultat anterior hi ha unicitat local en D i per tant hi ha unicitat (global) en D. 

Corollary 2.8. Siga D  R  Rm obert i f : D ! Rm tal que és contínua i existeixen i són contínues les parcials @fi@xj (t; x); 8i; j = 1; 2; :::;m. Aleshores 8(t0; x0) 2 D, el problema de Cauchy

(11)  x0 = f(t; x); x(t0) = x0:

té una única solució no prolongable en D i el seu interval de de…nició és un obert.

Proof. Per serD obert i f contínua sabem que 8(t0; x0) 2 D, el problema de Cauchy (11) té solució no prolongable en D i que per a qualsevol solució no prolongable del problema el seu interval de de…nició és un obert. Per altra banda pel corolari anterior tenim que hi ha unicitat en D i per tant aquesta solució és única. 

3. Criteris de Comparació. Aplicacions

Lemma 3.1. (Criteri de Cauchy) Si ' : I ! Rm és una funció veri…cant per a tots t; t0 2 I:

(12) k'(t)� '(t0)k  k jt� t0j :

aleshores existeixen els límits

lim t!s�

'(t) = w 2 Rm i lim t!r+

'(t) = v 2 Rm

Proof. Demostrarem l’existència del límit

lim t!s�

'(t) = w 2 Rm

l’altra existència es demostra de manera anàlega. Siga una successió ftngn1  I tal que limn!+1 tn = s, aleshores serà de Cauchy

per ser convergent i per tant per (12) la successió f'(tn)gn1 també serà de Cauchy en Rm que és complet, per tant:

9 lim n!+1

'(tn) = w 2 Rm

Vegem que si fsngn1  I és altra successió tal que limn!+1 sn = s, aleshores si lim

n!+1 '(sn) = u 2 Rm; es veri…ca que u = w.

Ara bé si apliquem altra vegada (12), obtenim que:

k'(tn)� '(sn)k  k jtn � snj ;8n = 1; 2; ::::

POLONGABILITAT. UNICITAT 11

Aleshores prenent límits quan n ! +1, s’obté que lim n!+1

'(tn) = lim n!+1

'(sn) i

per tant efectivament: 9 lim t!s�

'(t) = w 2 Rm



Proposition 3.2. (Criteri lateral de comparació) Siga D  RRm un conjunt obert i f : D ! Rm una funció contínua. I siga ' : I ! Rm una solució no prolongable per la dreta (o per l’esquerra) de x0 = f(t; x) amb t0 = inf I 2 I (o t0 = sup I 2 I). Siga J un interval no trivial amb t0 = inf J 2 J (o t0 = supJ 2 J). Suposem que existeixen dues funcions contínues, g : J ! Rm i  : J ! [0;+1[, veri…cant:

(1) A = f(t; x) 2 R Rm : t 2 J , kx� g(t)k  (t)g  D; (2) k'(t)� g(t)k  (t);8t 2 I \ J: Aleshores J  I. Si D = J0  Rm, on J0 és un interval no trivial, el resultat també és cert i (1)

és equivalent a demanar que J  J0.

Proof. Suposem que D és un conjunt obert i que ' : I ! Rm és una solució no prolongable per la dreta de x0 = f(t; x) amb t0 = min I 2 I. Siga J un interval no trivial amb min J = t0 2 J , i siguen dues funcions contínues, g : J ! Rm i  : J ! [0;+1[ veri…cant les propietats 1 i 2. Vegem que J  I. Siga doncs  2 J  ft0g, vegem que  2 I per R.A.A. És a dir suposem que  =2 I,

aleshores si s és l’extrem de la dreta de I es veri…ca que I = [t0; s[ [t0; ]  J . Considerem ara el conjunt

H = f(t; x) 2 R Rm = t 2 [t0; ] i kx� g(t)k  (t)g Aleshores

8t 2 I; (t; '(t)) 2 H  A  D: Vegem ara que H és compacte. Siga la funció contínua G : [t0; ] Rm ! R de…nida de la forma

G(t; x) = (t)� kx� g(t)k aleshores H = G�1([0;+1[ i per tant és tancat en [t0; ]Rm i també en RRm. Siga ara (t; x) 2 H, aleshores t 2 [t0; ] que és …tat, i per ser g i  contínues en

el compacte [t0; ] existeix una constant M > 0 tal que

kxk  kx� g(t)k+ kg(t)k  (t) + kg(t)k M: Per tant H és …tat en RRm i com també és tancat llavors és compacte en RRm, i com f és contínua estarà …tada en H, és a dir existeix una constant k > 0 tal que

kf(t; x)k  k; 8(t; x) 2 H Aleshores si t; t0 2 I = [t0; s[, com f és contínua i ' és solució de (6) en D, s’obté

k'(t)� '(t0)k =

tZ

t0

f(r; '(r))dr

 k jt� t0j : I per tant pel Criteri de Cauchy tenim que existeix el

lim t!s�

'(t) = w i (s; w) = lim t!s�

(t; '(t)) 2 H = H  D

12 POLONGABILITAT. UNICITAT

la qual cosa implica que ' és prolongable per la dreta en D i per tant s’aplega a un absurde. I per últim si D = J0  Rm, on J0 és un interval no trivial i J  J0, es pot

raonar tot igual i si  2 J  ft0g i  =2 I, aleshores poden passar dues possibilitats: a) Que I = [t0; s[ [t0; ]  J , aleshores es raona de la mateixa manera que en

el cas anterior i s’aplega a l’absurde. b) Que I = [t0; s] ( [t0; ]  J i s 2]t0; [ J  J0 i per tant (s; '(s)) 2 D,

aleshores ' és proplongable per la dreta i per tant s’aplega a l’absurde. Si ' : I ! Rm és una solució no prolongable per l’esquerra de x0 = f(t; x) amb

t0 = max I 2 I, i J un interval no trivial amb max J = t0 2 J , es raona de manera simètrica. 

Corollary 3.3. (Criteri lateral de comparació escalar) Siga D  R  R un conjunt obert i f : D ! R una funció contínua. I siga ' : I ! R una solució no prolongable per la dreta (o per l’esquerra) de x0 = f(t; x) amb t0 = inf I 2 I (o t0 = sup I 2 I). Siga J un interval no trivial amb t0 = inf J 2 J (o t0 = sup J 2 J). Suposem que existeixen dues funcions contínues, g1 : J ! R i g2 : J ! R, veri…cant:

(1) g1(t)  g2(t);8t 2 J: (2) A = f(t; x) 2 R2 : t 2 J; g1(t)  x  g2(t)g  D: (3) g1(t)  '(t)  g2(t);8t 2 I \ J: Aleshores J  I. Si D = J0  R, on J0 és un interval no trivial, el resultat també és cert i (2) és

equivalent a demanar que J  J0.

Proof. El resultat és immediat aplicant el resultat anterior a les funcions g : J ! R i  : J ! [0;+1[, de…nides de la forma: g = 12 (g1 + g2) i  =

1 2 (g2 � g1). 

Theorem 3.4. (Peano global) Siga J un interval no trivial i siga la funció con- tínua i …tada f : J  Rm ! Rm, aleshores 8(t0; x0) 2 J  Rm, el problema de Cauchy 

x0 = f(t; x); x(t0) = x0:

té solució no prolongable, sent el domini de qualsevol solució no prolongable l’interval J:

Proof. Siga (t0; x0) 2 J  Rm, vegem primer que el problema de Cauchy correspo- nent té solució no prolongable. Si (t0; x0) 2 J  Rm, aleshores 9 a > 0 i 9 b > 0 tals que

E = [t0 � a; t0 + a]B(x0; b)  J  Rm:

Llavors com f és també contínua en E, pel Teorema de Cauchy-Peano local, s’obté que existeix solució de l’edo x0 = f(t; x) en E i per tant en J  Rm,

' : [t0 � ; t0 + ]! Rm

per a un cert > 0. I evidentment existirà una prolongació no prolongable d’aquesta solució en J  Rm. Si t0 = inf J 2 J , aleshores 9 a > 0 i 9 b > 0 tals que

E = [t0; t0 + a]B(x0; b)  J  Rm:

POLONGABILITAT. UNICITAT 13

Llavors com f és també contínua en E, pel Teorema de Cauchy-Peano local, s’obté que existeix solució de l’edo x0 = f(t; x) en E i per tant en J  Rm,

' : [t0; t0 + ]! Rm

per a un cert > 0. I evidentment existirà una prolongació no prolongable d’aquesta solució en J  Rm. I per últim si t0 = sup J 2 J , aleshores 9 a > 0 i 9 b > 0 tals que

E = [t0 � a; t0]B(x0; b)  J  Rm:

Llavors com f és també contínua en E, pel Teorema de Cauchy-Peano local, s’obté que existeix solució de l’edo x0 = f(t; x) en E i per tant en J  Rm,

' : [t0 � ; t0]! Rm

per a un cert > 0. I evidentment existirà una prolongació no prolongable d’aquesta solució en J  Rm. Siga ' : I ! Rm una solució no prolongable qualsevol del problema de Cauchy

donat, vegem que I = J . Sabem que 8t 2 I; (t; '(t)) 2 J  Rm, aleshores t 2 J i per tant I  J . Vegem

l’altra inclusió. Sabem que f és …tada, aleshores existeix una M > 0 tal que

kf(t; x)k M; 8(t; x) 2 J  Rm

Aleshores si t 2 I = I \ J , com f és contínua i ' és solució del problema de Cauchy, s’obté

(13) k'(t)� x0k =

tZ

t0

f(r; '(r))dr

M jt� t0j : Considerem ara les funcions contínues g : J ! Rm i  : J ! [0;+1[ de…nides

8t 2 J de la forma: g(t) = x0 i (t) =M jt� t0j :

Aleshores per (13) es comprova que veri…quen les propietats 1 i 2 de la proposició anterior i per tant: a) Si t0 = inf J 2 J , aleshores I és també tancat a l’esquerra en t0 i ' és no

prolongable a la dreta, per tant J  I. b) Si t0 = supJ 2 J , aleshores I és també tancat a la dreta en t0 i ' és no

prolongable a l’esquerra, per tant J  I. c) I si t0 2 I \ J , aleshores I \ [t0;+1[ és tancat a l’esquerra en t0 i 'jI\[t0;+1[

és no prolongable a la dreta, per tant J \ [t0;+1[ I \ [t0;+1[. I I\] �1; t0] és tancat a la dreta en t0 i 'jI\]�1;t0] és no prolongable a l’esquerra, per tant J\]�1; t0]  I\]�1; t0] i llavors J  I. 

Lemma 3.5. (de Gronwall) Siguen f; g; h : I ! R contínues, amb h(t)  0; 8t 2 I. Aleshores es veri…quen les següents a…rmacions:

(1) Si I és tancat per l’esquerra amb extrem t0 i es veri…ca que

(14) g(t)  f(t) + Z t t0

g(s)h(s) ds;8t 2 I:

14 POLONGABILITAT. UNICITAT

Aleshores

g(t)  f(t) + Z t t0

f(s)h(s) exp(

Z t s

h(r) dr) ds;8t 2 I:

Si f(t) = c ;8t 2 I, aleshores

g(t)  c exp( Z t t0

h(s) ds);8t 2 I:

(2) Si I és tancat per la dreta amb extrem t0 i es veri…ca que

g(t)  f(t) + Z t0 t

g(s)h(s) ds;8t 2 I:

Aleshores

g(t)  f(t) + Z t0 t

f(s)h(s) exp(

Z s t

h(r) dr) ds;8t 2 I:

Si f(t) = c ;8t 2 I, aleshores

g(t)  c exp( Z t0 t

h(s) ds);8t 2 I:

Proof. Demostrarem l’apartat 1, l’altre es demostra de manera simètrica. Anomenem (t) =

R t t0 g(s)h(s) ds;8t 2 I, aleshores serà su…cient demostrar que

(t)  Z t t0

f(s)h(s) exp(

Z t s

h(r) dr) ds;8t 2 I;

o el que és equivalent que

(15) w(t) = (t) exp(� Z t t0

h(r) dr)  Z t t0

f(s)h(s) exp(� Z s t0

h(r) dr) ds;8t 2 I:

Evidentment és derivable amb derivada contínua per ser g i h funcions contínues en I; i per (14), s’obté que:

(16) 0(t) = g(t)h(t)  f(t)h(t) + (t)h(t);8t 2 I:

Aleshores w(t) és també derivable amb derivada contínua i per (16), s’obté:

w0(t) = 0(t) exp(� Z t t0

h(r) dr)� (t)h(t) exp(� Z t t0

h(r) dr) (17)

 f(t)h(t) exp(� Z t t0

h(r) dr);8t 2 I:

Aleshores per la regla de Barrow, com w(t0) = 0, per (17) obtenim que:

w(t) = w(t)� w(t0) = Z t t0

w0(s)ds 

 Z t t0

f(s)h(s) exp(� Z s t0

h(r) dr) ds;8t 2 I:

Per tant hem arrivat a (15) que és el que voliem.

POLONGABILITAT. UNICITAT 15

I si f(t) = c ;8t 2 I, aleshores pel que acabem de demostrar

g(t)  c+ c Z t t0

h(s) exp(

Z t s

h(r) dr)ds =

= c+ c(�1 + exp( Z t t0

h(s) ds)) = c exp(

Z t t0

h(s) ds);8t 2 I:



Theorem 3.6. (Picard global) Siga J un interval no trivial i siga una funció contínua f : J  Rm ! Rm tal que en cada banda compacta K  Rm (on K  J compacte) es veri…ca la condició de Lipschitz, aleshores 8(t0; x0) 2 J  Rm, el problema de Cauchy 

x0 = f(t; x); x(t0) = x0:

té una única solució no prolongable i el seu domini és tot J:

Proof. Donat qualsevol punt de J  Rm, existeix un entorn d’aquest punt en la topologia restringida de J Rm, de la forma K Rm (on K  J és un compacte) i en aquest entorn hi ha unicitat de solució per f ser lipschitziana per hipòtesi, aleshores hi ha unicitat local en J Rm. I per tant hi ha també unicitat global en J  Rm. Per altra banda si (t0; x0) 2 JRm, raonant de la mateixa forma que al Teorema

de Peano global (ja que f és contínua en J Rm) es demostra que existeix solució no prolongable en J  Rm del problema de Cauchy corresponent

' : I ! Rm

I aquesta solució és única per la unicitat en J  Rm que hem demostrat abans. Vegem per tant que I = J . i ja haurem deemostrat el resultat. Sabem que 8t 2 I; (t; '(t)) 2 J  Rm, aleshores t 2 J i per tant I  J . Vegem

l’altra inclusió. Siga b 2 J , suposem que b > t0 i vegem que b 2 I (en el cas en que b < t0 es

raona de manera simètrica). Considerem ara la banda [t0; b] Rm, aleshores per hipòtesi sabem que existeix

una k0 > 0 tal que

kf(t; x1)� f(t; x2)k  k0 kx1 � x2k ; 8(t; x1); (t; x2) 2 [t0; b] Rm

Aleshores si t 2 I \ [t0; b], com f és contínua i ' és solució del problema de Cauchy, s’obté

k'(t)� x0k =

tZ

t0

f(s; '(s))dr

 tZ

t0

kf(s; '(s))� f(s; x0)k dr + tZ

t0

kf(s; x0)k dr 

 tZ

t0

k0 k'(s)� x0k dr + bZ

t0

kf(s; x0)k dr = tZ

t0

k0 k'(s)� x0k dr + C

Considerem ara les funcions contínues f; g; h : I \ [t0; b] ! R , de…nides de la forma:

f(t) = C; g(t) = k'(t)� x0k i h(t) = k0  0, 8t 2 I \ [t0; b]

16 POLONGABILITAT. UNICITAT

Aleshores per l’apartat 1 del Lema de Gronwall s’obté que:

k'(t)� x0k  C exp( Z t t0

k0 ds) = C exp(k0(t� t0));8t 2 I \ [t0; b]:

I si ara apliquem el criteri de comparació de dominis a les funcions contínues ~g : [t0; b]! Rm i  : [t0; b]! [0;+1[ de…nides de la forma:

~g(t) = x0 i (t) = C exp(k0(t� t0)): com I \ [t0;+1[ és tancat a l’esquerra en t0 i 'jI\[t0;+1[ és no prolongable a la

dreta, s’obté que [t0; b]  I \ [t0;+1[. I per tant b 2 I i llavors J  I.  Remark 3.1. Per Mm entendrem l’espai vectorial de les matrius quadrades reals mm:

Corollary 3.7. Siga J un interval no trivial i siguen b : J ! Rm i A : J ! Mm funcions contínues, aleshores 8(t0; x0) 2 J  Rm, el problema de Cauchy

x0 = A(t)x+ b(t); x(t0) = x0;

té una única solució no prolongable i el seu domini és tot J:

Proof. La demostració és immediata a partir del teorema anterior aplicat a l’edo lineal

x0 = A(t)x+ b(t);

ja que f(t; x) = A(t)x+ b(t) és contínua per ser-ho fi(t; x) = mP j=1

aij(t)xj + bi(t)

per a tot i = 1; 2; ::;m: I en cada banda compacta K Rm (on K  J compacte) es veri…ca la condició

de Lipschitz ja que:

kA(t)xkmax = maxi=1;2;::;m

mX j=1

aij(t)xj

  kxkmax

0@ max i=1;2;::;m

mX j=1

jaij(t)j

1A ;8(t; x) 2 K  Rm I com les funcions aij(t) són contínues al compacte K, aleshores están …tades i

per tant existeix una k0 > 0 tal que:

kA(t)xkmax  k0 kxkmax ;8(t; x) 2 K  R m

Llavors 8(t; x1); (t; x2) 2 K  Rm; kf(t; x1)� f(t; x2)kmax = kA(t)(x1 � x2)kmax  k0 kx1 � x2kmax



No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 16 páginas totales
Descarga el documento