Tema 5, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)
ijome
ijome

Tema 5, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)

18 páginas
6Número de visitas
Descripción
Asignatura: Equacions diferencials ordinàries, Profesor: M Dolores Martinez, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 18
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 18 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 18 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 18 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 18 páginas totales
Descarga el documento
tema5edo1718.dvi

TEMA V DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

1. Continuïtat respecte de condicions inicials

Anem a estudiar en primer lloc, com afecten a les solucions d’un problema de Cauchy, les variacions en les condicions inicials. I veurem que, amb certes hipòtesis, aquesta dependència és contínua. És a dir, vorem que sota certes condicions, si

00

½ 0 = ( ) (0) = 0

i 11

½ 0 = ( ) (1) = 1

les solucions de 11 tendeixen a les solucions de 00  quan (1 1)→ (0 0). Lemma 1.1. Si  : [ ] → R (∀ ∈ N) i  : [ ] → R són funcions que verifiquen que existeix un 0  0 tal que ∀ ∈ N existeix un  ∈ [ ] verificant (1) k()− ()k ≥ 0 , aleshores no existeix cap subsuccessió de {}≥1 que convergisca uniformement a  en [ ].

Proof. Si existeix una subsuccessió © 

ª ≥1 de {}≥1 que convergeix uniforme-

ment a  en [ ], aleshores existeix un 0 = 0(0) tal que ∀ ≥ 0°°()− ()°° ≤ 02 ∀ ∈ [ ] en particular si 0 = 0, i considerem el corresponent 0 ∈ [ ] de l’enunciat, s’obté que °°0(0)− (0)°° ≤ 02 que és un absurde amb (1). ¤

Lemma 1.2. Si  : [ ] → R (∀ ∈ N) són funcions tals que existeix un 0 ∈ [ ] tal que la successió {(0)}≥1 està fitada en R i, a més a més, existeix una costant   0 verificant:

k()− (0)k ≤ |− 0|, ∀,0 ∈ [ ] i ∀ ∈ N aleshores existeix una subsuccessió de {}≥1 que convergeix uniformement en [ ] a una funció contínua.

Proof. Será suficient demostrar que {}≥1 verifica les hipòtesis del Teorema d’Ascoli-Arzelà, és a dir que és equicontínua i puntualment fitada.

• És equicontínua ja que: Donat   0, si considerem  =  , aleshores si  

0 ∈ [ ] : |− 0|   es verifica que

k()− (0)k ≤ |− 0|   

 = , ∀ ∈ N

1

2 DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

• És puntualment fitada ja que: Si considerem una costant   0 verificant que k(0)k ≤  ∀ ≥ 1

(sabem que existeix per la hipòtesi de l’enunciat), aleshores ∀ ∈ [ ] i ∀ ≥ 1

k()k ≤ k()− (0)k+ k(0)k ≤ |− 0|+ ≤(− ) + Per tant podem aplicar el Teorema d’Ascoli-Arzelà i existeix una sub-

successió de {}≥1 que convergeix uniformement en [ ] a una funció que serà contínua en [ ] per ser límit uniform de funcions contínues.

¤

Theorem 1.3. Si  : [ ] × R → R és contínua i fitada, i existeix un punt (0 0) ∈ [ ]×R de forma que el problema de Cauchy

0 0

½ 0 = ( ) (0) = 0

té solució única no prolongable  : [ ] → R, aleshores per a tot   0, existeix un entorn  de (0 0) tal que per a tot ( ) ∈  ∩ ([ ] × R) i per a tota solució no prolongable  : [ ]→ R del problema de Cauchy

 

½ 0 = ( ) () = 

es verifica k()− ()k   ∀ ∈ [ ]

Proof. Sabem pel Teorema de Peano Global que per a tot ( ) ∈ [ ]×R existeix solució no prolongable del problema  i que totes les solucions no prolongables estan definides en [ ]. Vegem ara la demostració del resultat per R.A.A. Suposem que existeix un 0  0 tal que per a tot entorn de (0 0) no es verifica

el resultat, aleshores:

∀ ∈ N ∃( ) ∈ ((0 0) 1

 ) ∩ ([ ]×R)

i ∃ : [ ]→ R solució no prolongable en [ ]×R del problema de Cauchy



½ 0 = ( ) () = 

tal que existeix un  ∈ [ ] verificant k()− ()k ≥ 0∀ ∈ N Aleshores pel Lema 1.1 tenim que no existeix cap subsuccessió de {}≥1 que

convergisca uniformement a  en [ ] Per altra banda trobarem una subsuccessió de {}≥1 que convergeix uniformement a  en [ ] i ja tindrem l’absurde. Observem que

(2) lim →∞

( ) = (0 0)

ja que ∀ ∈ N ( ) ∈ ((0 0) 1 ). I també sabem que ∀ ∈ N,  és solució de l’edo 0 = ( ) en [ ] × R i

que  és contínua en aquest conjunt, aleshores per a qualsevol parella  0 ∈ [ ]

(3) ()− (0) = Z  0 0()  =

Z  0 ( ()) 

DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS 3

i com  és fitada en [ ]×R, existeix una constant   0 tal que k( )k ≤∀( ) ∈ [ ]×R

per tant

k()− (0)k ≤ ¯̄̄̄Z  0 k( ())k 

¯̄̄̄ ≤ |− 0|, ∀,0 ∈ [ ] i ∀ ∈ N

i en particular com ,0 ∈ [ ], (4) 0 ≤ k()− (0)k = k − (0)k ≤ | − 0|, ∀ ∈ N. Aleshores, si prenem límits quan  →∞ en la desigualtat anterior, obtenim que

lim →∞

k − (0)k = 0 és a dir lim

→∞ (0) = lim

→∞  = 0 per (2), i per tant la successió {(0)}≥1 està

fitada en R. Aleshores es verifiquen les hipòtesis del Lema 1.2 i per tant existeix una sub-

successió © 

ª ≥1 de {}≥1 que convergeix uniformement en [ ] a una funció

contínua  : [ ]→ R. Vegem que doncs que  =  i ja tindrem el que voliem. Com 0 ∈ [ ], aleshores per (3) tenim que ∀ ∈ N i ∀ ∈ [ ]

()− (0) = Z  0

( ()) 

per tant si prenem límits quan →∞ , com lim →∞(0) = 0 llavors

()− 0 = lim →∞

Z  0

( ())  ∀ ∈ [ ]

Aleshores si demostrem que (· (·)) convergeix uniformement a (· (·)) en [ ], tindrem que

()− 0 = Z  0

( ()) ∀ ∈ [ ]

i per tant  és solució del problema de Cauchy 0 0 i com té una única solució que és , obtindrem que  =  que és el que voliem. Vegem doncs que (· (·)) convergeix uniformement a (· (·)) en [ ]. Sabem per (4) i pel fet de que {(0)}≥1 està fitada, que ∀ ∈ [ ] i ∀ ∈ N°°()°° ≤ °°()− (0)°°+°°(0)°° ≤ |− 0|+ ≤(− )+ = 

aleshores ∀ ∈ N ( ()) ∈ [ ]×(0 )

i per tant també ( ()) ∈ [ ]×(0) Per altra banda, com  és contínua en el compacte [ ] × (0 ), aleshores

és uniformement contínua en aquest compacte i per tant per tant existeix un  = ()  0 de manera que

∀( ) (0 0) ∈ [ ]×(0 ) tal que |− 0|   i k− 0k  (5) es verifica que k( )− (0 0)k  

4 DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

I com © 

ª ≥1 convergeix uniformement en [ ] a la funció  : [ ] → R,

aleshores existeix un 0 = 0() tal que

(6) °°()− ()°°  , per a tot  ≥ 0 i ∀ ∈ [ ]

i per tant, per (5) i (6) obtenim que per a tot  ≥ 0 = 0() = 0()°°( ())− ( ())°°  , ∀ ∈ [ ] aleshores efectivament (· (·)) convergeix uniformement a (· (·)) en [ ].

¤

Lemma 1.4. Siga  : [ ] → R una funció contínua i   0, aleshores els corresponents conjunts associats a  i a  següents:

∆ = {( ) ∈ [ ]×R : k− ()k ≤ }  = {( ) ∈ [ ]× R : k− ()k ≥ } ∆0 = {( ) ∈] [×R : k− ()k  }

són, respectivament, compacte, tancat i obert. A més a més, ∆ i ∆0 són convexos respecte de les "". I per altra banda, si  ⊂ R× R és un obert que conté a la gràfica de , aleshores existeix un  suficientment xicotet tal que ∆ ⊂ . I per últim, la funció  : [ ]× R → R×R definida per

( ) =

( ( ) si ( ) ∈ ∆ ( () +  −()k−()k ) si ( ) ∈ 

està ben definida, és contínua i aplica [ ]×R sobre el conjunt ∆, més conc- retament ([ ]×R) = ∆. Proof. Si considerem la funció cóntínua

 : [ ]×R → R ( ) Ã  − k− ()k

aleshores ∆ = −1([0+∞[) i  = −1(] −∞ 0]), per tant els dos conjunts són tancats en [ ]×R i per tant també en R×R. A més a més ∆ és fitat ja que  és contínua en [ ] compacte i per tant fitada

en [ ], és a dir existeix una costant   0 tal que k()k ≤  + i llavors: Si ( ) ∈ ∆ si  ∈ [ ] i kk ≤ k− ()k+ k()k ≤  +

Aleshores ∆ és tancat i fitat en R×R i per tant compacte. Per altra banda si considerem la funció contínua |][×R , ∆0 = −1([0+∞[)

i per tant ∆0 és obert en ] [×R i també en R×R. Considerem ara un  ∈ [0 1], aleshores si ( 1) ( 2) ∈ ∆ (o ∆0),

( 1) + (1− )( 2) = ( 1 + (1− )2) i sabem que si ( 1) ( 2) ∈ ∆  ∈ [ ] i k1 − ()k ≤  i k2 − ()k ≤ , per tant

k1 + (1− )2 − ()k = k1 + (1− )2 − (() + (1− )())k ≤ ≤  k1 − ()k+ (1− ) k2 − ()k ≤ + (1− ) = 

i si ( 1) ( 2) ∈ ∆0  ∈ [ ] i k1 − ()k   i k2 − ()k  , per tant raonant com abans, com o  6= 0 o (1− ) 6= 0, llavors

k1 + (1− )2 − ()k  

DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS 5

Per tant, efectivament ∆ i ∆0 són convexos respecte de les "". Siga ara un obert  ⊂ R×R tal que

 = () = {( ()) ∈ [ ]} ⊂  vegem que existeix un  suficientment xicotet tal que ∆ ⊂ . Considerem en R×R la norma k( )k = max {|| kk} i  la distància associada

en R× R. Aleshores com ((R× R) ∼ ) ∩  = ∅ i (R× R) ∼  és tancat i  és compacte, sabem que ( (R× R) ∼ )  0. Siga ara   0 tal que 0    ( (R×R) ∼ ), i considerem el corresponent

∆, aleshores si (0 0) ∈ ∆ ((0 0) (0 (0))) = k0 − (0)k ≤   ( (R×R) ∼ )

i com (0 (0)) ∈  i ( (R× R) ∼ )  0, llavors (0 0) ∈ (R× R) ∼ . Per tant efectivament ∆ ⊂ . I per últim coniderem la funció  de l’enunciat que evidentment està ben definida

i és contínua ja que ∆∪  = [ ]×R,  és contínua en cada subconjunt ∆ i  i si ( ) ∈ ∆ ∩  , aleshores k− ()k =  i per tant

( () +  − () k− ()k ) = ( () + 

− () 

) = ( )

Vegem per últim que ([ ]×R) = ∆ Evidentment si ( ) ∈ ∆, ( ) = ( ) ∈ ∆. I si ( ) ∈  ,

( ) = ( () +  − () k− ()k )

i llavors °°°() +  −()k−()k − ()°°° =  i per tant també ( ) ∈ ∆.

I al contrari, si ( ) ∈ ∆, ( ) = ( ), per tant efectivament ([ ]×R) = ∆

¤

Lemma 1.5. Siguen  ⊂ R×R obert i  :  → R contínua, i siga un punt (0 0) ∈  tal que el problema de Cauchy

(7) 0 0

½ 0 = ( ) (0) = 0

té solució única no prolongable  :  → R. Considerem ara un interval compacte [ ] ⊂  tal que 0 ∈] [, un   0 tal que ∆ ⊂  (on ∆ és el conjunt del lema anterior associat a  i a |[] ) i la funció corresponent associada

 : [ ]×R → ∆ ⊂ R×R Aleshores si considerem la funció  =  ◦  , es verifica que |∆ = |∆. I com a conseqüència d’açò si una solució de 0 = ( ) té la gráfica continguda en ∆, aleshores serà també solució de 0 = ( ), i al contrari. A més a més,  és contínua i fitada en [ ]×R i el problema

0 0

½ 0 = ( ) (0) = 0

té una única solució no prolongable que és |[] en [ ]×R.

6 DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

Proof. Evidentment si es verifiquen totes les hipòtesis del lema aleshores |∆ = |∆ ja que si ( ) ∈ ∆, ( ) = (( )) = ( ). Aleshores si  :  → R és una solució de 0 = ( ) amb gràfica en ∆, com

( ()) ∈ ∆, ∀ ∈  0() = ( ()) = (( ())) = ( ()) ∀ ∈ 

i per tant  és també solució de 0 = ( ). I al contrari, si  :  → R és solució de 0 = ( ) amb gràfica en ∆, aleshores

com ( ()) ∈ ∆, ∀ ∈  0() = ( ()) = (( ())) = ( ()) ∀ ∈ 

i per tant  és també solució de 0 = ( ). Per altra banda  =  ◦ és contínua per ser composició de contínues, i es també

fitada ja que pel lema anterior sabem que ([ ]×R) = ∆ i ∆ és un compacte i  és contínua en ∆, aleshores està fitada en ∆. Vegem ara que |[] és l’única solució no prolongable del problema 0 0 en

[ ]×R. Evidentment, com 0 ∈ [ ], |[] és solució del problema 0 0 i té la gràfica

en ∆. Per tant també serà solució del problema 0 0 en [ ]×R i per tant serà no prolongable. Vegem que és l’única per R.A.A. És a dir, suposem que existeix una solució no prolongable del problema 0 0

en [ ]× R,  : [ ] → R, tal que |[] 6= . Aleshores () " ∆ ja que si no  sería també solució de 0 0 i per tant |[] =  ja que aquest problema té unicitat. I per tant

(|[0] ) " ∆ o (|[0] ) " ∆ Suposem que (|[0] ) " ∆ (l’altre cas és anàleg), alehores existeix un punt

∗ ∈ [0 ] tal que k(∗)− (∗)k   i per tant el conjunt  = { ∈ [0 ] : k()− ()k ≥ } 6= ∅

i és tancat ja que si considerem la funció contínua

 : [0 ] → R  Ã  − k()− ()k

aleshores  = −1(]−∞ 0]), per tant és tancat en [0 ] i també en R. Llavors si considerem 0 = inf  ∈ ̄ =  aleshores 0  0 ≤  (ja que

(0) = 0 = (0)) i

(8) k(0)− (0)k ≥  i per definició d’ínfim es verifica que

∀ ∈ [0 0[ k()− ()k   aleshores (|[00[ ) ⊂ ∆ i per tant |[00[ és solució de 0 0 , i per la unicitat de solució d’aquest problema s’obté que

() = ()∀ ∈ [0 0[ Llavors per la continuitat de las dos funcions, com 0 ∈  ⊂ [0 ], s’obté que (0) = (0) que és una contradicció amb (8), aleshores efectivament |[] és l’única solució no prolongable del problema 0 0 en [ ]×R. ¤

DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS 7

Theorem 1.6. Si  ⊂ R×R és obert i  :  → R és contínua, i existeix un punt (0 0) ∈  de forma que el problema de Cauchy (7) té solució única no prolongable  :  → R, aleshores donat un interval compacte [ ] ⊂  i un   0, existeix un entorn  (⊂ ) de (0 0) tal que per a tot ( ) ∈  i per a tota solució no prolongable  :  → R del problema de Cauchy

(9)  

½ 0 = ( ) () = 

es verifica que [ ] ⊂  i k()− ()k   ∀ ∈ [ ]

Proof. És suficient demostrar el resultat per al cas en que [ ] ⊂  tal que 0 ∈] [, ja que si no verifica aquesta propietat com  és obert i 0 ∈  llavors existirà un interval [ ] ⊂  tal que [ ] ∪ {0} ⊂] [ , i per tant si el resultat és cert per a [ ] també ho serà per a [ ]. De la mateixa manera és suficient demostrar-ho per a un  suficientment xicotet

tal que ∆ ⊂  (sent ∆ el conjunt del Lema 1.4 associat a  i a |[] ) ja que evidentment si és cert per a aquest  ho és també ∀0  . Siga per tant [ ] ⊂  tal que 0 ∈] [ i   0 suficientment xicotet tal que ∆ ⊂

. I considerem la funció corresponent associada  : [ ] × R → ∆ ⊂ R×R del Lema 1.4, i la funció  =  ◦  que sabem pel lema anterior que és contínua i fitada en [ ]×R i que el corresponent problema 0 0 té una única solució no prolongable que és |[] en [ ]×R. Aleshores podem aplicar el Teorema 1.3 i per tant existeix un entorn  de (0 0)

(podem suposar que  ⊂ ∆0 ja que (0 0) ∈ ∆0 ⊂ ∆ ⊂  i ∆0 és obert) tal que per a tot ( ) ∈  i per a tota solució no prolongable  : [ ]→ R del problema de Cauchy

 

½ 0 = ( ) () = 

en [ ]×R, es verifica que (10) k()− ()k   ∀ ∈ [ ] Vegem que en aquest mateix entorn si ( ) ∈  i  :  → R és una solució no prolongable del problema de Cauchy   en  aleshores es verifica que

(11) [ ] ⊂  i k()− ()k   ∀ ∈ [ ] Sabem que si ( ) ∈  ⊂ ∆0, aleshores  ∈] [∩ i

k − ()k = k()− ()k   Llavors hi ha dues possibilitats:

(1) Que ∀ ∈ [ ] ∩  k()− ()k   Aleshores com ∆ = {( ) ∈ [ ]×R : k− ()k ≤ } ⊂  i les fun-

cions () i () =  són contínues en [ ] i |∩[+∞[ és no prolongable a la dreta i |∩]−∞] és no prolongable a l’esquerra, aplicant els criteris de comparació laterals respectius, s’obté que:

[ ] = [ ] ∩ [+∞[⊂  ∩ [+∞[ i [ ] = [ ]∩]−∞ ] ⊂ ∩]−∞ ]

i per tant [ ] ⊂  i s’obté (11).

8 DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

(2) Que ∃∗ ∈ [ ] ∩  k(∗)− (∗)k ≥  Suposem que ∗ ∈ [ ]∩ , l’altre cas (∗ ∈ [ ]∩) és anàleg. Aleshores

el conjunt

 = { ∈ [ ∗] : k()− ()k ≥ } 6= ∅ i és tancat ja que si considerem la funció contínua

 : [ ∗] → R  Ã  − k()− ()k

aleshores  = −1(]−∞ 0]), per tant és tancat en [ ∗] i també en R. Llavors si considerem 0 = inf ∈  =  aleshores   0 ≤ ∗ (ja que

( ) ∈  ⊂ ∆0 k()− ()k = k − ()k  ) i (12) k(0)− (0)k ≥  A més a més per definició d’ínfim es verifica que

∀ ∈ [ 0[ k()− ()k   i per tant per continuitat de la norma i de les funcions  i , com 0 ∈  ⊂ [ ]∩ , s’obté que

k(0)− (0)k ≤  Aleshores la (|[0] ) ⊂ ∆ i per tant |[0] és també solució del problema   en [ ] × R, i existirá una funció  : [ ] → R prolongació no prolongable de |[0] en [ ]×R

 que per (10) verifica que

k()− ()k   ∀ ∈ [ ] en particular com 0 ∈ [ ] i (0) = (0), s’obté

k(0)− (0)k   que és una contradicció amb (12). Aleshores aquest cas no es pot donar i sempre es dona el primer cas on ja haviem demostrat que es verificava (11). ¤

Remark 1.1. Si tenim que  ⊂ R×R és obert i que la funció  :  → R és contínua, i sabem que ∀( ) ∈  existeix una única solució no prolongable del problema de Cauchy (9), aleshores a aquesta solució la denotarem de la forma (·  ) i al seu interval de definició l’anomenarem  que serà un interval obert que conté a . Evidentment es verificarà que

0(  ) = ( (  )) ∀ ∈  (  ) = 

Corollary 1.7. Si  ⊂ R×R és obert, la funció  :  → R és contínua, i l’EDO 0 = ( ) té unicitat en , aleshores ∀(0 0) ∈  i ∀[ ] ⊂ 00  i ∀  0, existeix un entorn  (⊂ ) de (0 0) tal que per a tot ( ) ∈  [ ] ⊂  i es verifica que

k(  )− ( 0 0)k   ∀ ∈ [ ] Proof. La demostració és immediata aplicant el teorema anterior per a tot punt (0 0) ∈  ja que hi ha unicitat de solució del problema corresponent (7) en . ¤

DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS 9

Theorem 1.8. (Continuïtat respecte de condicions inicials) Si  ⊂ R×R és obert, la funció  :  → R és contínua, i l’EDO 0 = ( ) té unicitat en , aleshores el conjunt

Ω = {(  ) ∈ R× :  ∈ } és obert, i la funció

Ω → R (  ) Ã (  )

és contínua.

Proof. Siga (0 0 0) ∈ Ω, aleshores (0 0) ∈  i  ∈ 00 . Per tant com (· 0 0) i és contínua en 0 es verifica que donat   0 existeix un ()  0 tal que [0 −  0 + ] ⊂ 00 i (13) ∀ ∈ [0 −  0 + ] es verifica que k( 0 0)− (0 0 0)k  2 I per altra banda pel corolari anterior sabem que donats (0 0) ∈ ,   0 i

[0 −  0 + ] ⊂ 00 , existeix un entorn  (⊂ ) de (0 0) tal que per a tot ( ) ∈  [0 −  0 + ] ⊂  i es verifica que (14) k(  )− ( 0 0)k  2 ∀ ∈ [0 −  0 + ] aleshores [0 −  0 + ] ×  ⊂ Ω ja que si (  ) ∈ [0 −  0 + ] ×  ,  ∈

[0 −  0 + ] i ( ) ∈  per tant  ∈ [0 −  0 + ] ⊂  i (  ) ∈ Ω. Per tant [0 −  0 + ] ×  és un entorn de (0 0 0), i com açò es pot fer

∀(0 0 0) ∈ Ω, alehores efectivament Ω és un obert. A més a més donat   0 si (  ) ∈ [0 −  0 + ] ×  per la desigualtat

triangular i per (14) i (13), s’obté que

k(  )− (0 0 0)k ≤ k(  )− ( 0 0)k+ + k( 0 0)− (0 0 0)k  2 + 2 = 

per tant  és contínua en (0 0 0) i com és per a tot (0 0 0) ∈ Ω, és contínua en Ω. ¤

2. Continuïtat respecte de condicions inicials i paràmetres

En aquesta secció anem a estudiar com afecten a les corresponents solucions d’un problema de Cauchy, les variacions dels paràmetres que puguen aparéixer en la pròpia equació diferencial, així com les de les condicions inicials. I veurem que amb certes hipòtesis, aquesta dependència és també contínua. És a dir, vorem que sota certes condicions, si

000

½ 0 = (  0) (0) = 0

i 111

½ 0 = (  1) (1) = 1

quan (1 1 1)→ (0 0 0) les solucions de 111 tendeixen a les solucions de 000 .

Lemma 2.1. Siguen  ⊂ R×R×R la funció  :  → R i el punt (0 0 0) ∈  aleshores si  :  → R és una solució (no prolongable) del problema de Cauchy

(000)

½ 0 = (  0) (0) = 0

10 DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

en 0 = {( ) ∈ R×R : (  0) ∈ }, la funció  = ( 0) :  → R×R és una solució (no prolongable) del problema de Cauchy

(000)

½ 0 =  ( ) (0) = (0 0)

en  sent  ( ) = (( ) 0) ∈ R×R ∀( ) ∈  . I recíprocament, si  és solució (no prolongable) en  de (000), aleshores

existeix una solució (no prolongable)  de (000) en 0tal que  = ( 0). Per tant, (000) té solució única no prolongable en 0 si i sols si (000)

té solució única no prolongable en  i la solució no prolongable de (000) són las  primeres components de la solució de (000).

Proof. Siga  :  → R una solució del problema de Cauchy 000 en 0 , aleshores ∀ ∈  ( ()) ∈ 0 , és a dir ( () 0) ∈  , i 0() = ( () 0). I si considerem ara la funció  = ( 0) :  → R×R, aleshores ∀ ∈ 

( ()) ∈  i existeix 0() = (( () 0) 0) =  ( ()) i

(0) = ((0) 0) = (0 0)

És a dir,  és solució de 000 en  . Siga ara  = (1 2)  1 :  → R, 2 :  → R, una solució del problema de

Cauchy 000 en  , aleshores ∀ ∈  ( ()) = ( 1() 2()) ∈  i 0() =  ( ()) = (( ()) 0)

i (0) = (1(0) 2(0)) = (0 0)

Aleshores ∀ ∈  01() = ( 1() 2()) i 1(0) = 0 02() = 0 i 2(0) = 0

i per tant 2(0) = 0∀ ∈  És a dir, ∀ ∈  ( 1() 0) ∈  , o el que és equivalent ( 1()) ∈ 0 , i

01() = ( 1() 0) i 1(0) = 0 i per tant 1 :  → R és una solució del problema de Cauchy 000 en 0 . I si les solucions anteriors són no prolongables les corresponents solucions són

també no prolongables ja que de lo contrari s’aplega de manera immediata a una contradicció. I de la mateixa manera passa amb la unicitat de solució de cada problema. Ja

que si el problema 000 té una única solució no prolongable en 0 i el problema 000 tinguera dues solución no prolongables en  diferents:  i , aleshores pel que acabem de demostrar exixtirien dues solucions no prolongables del problema 000 :  i  tals que  = ( 0) i  = (  0). I com  i  són diferents, llavors  i  són també diferents la qual cosa és un absurde. I al contrari si el problema 000 té una única solució no prolongable en 

i si  i  són dos solucions no prolongables del problema 000 i són diferents, aleshores les funcions  = ( 0) i  = (  0) serien solucions no prolongables del problema 000 i també serien diferents i s’aplega a un absurde. ¤

DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS 11

Corollary 2.2. (Continuïtat respecte de condicions inicials i paràmetres) Si  ⊂ R×R×R és obert i la funció  :  → R és contínua tal que el problema de Cauchy

  

½ 0 = (  ) () = 

∀(  ) ∈  té una única solució no prolongable en  = {( ) ∈ R×R : (  ) ∈ }

que denotarem de la forma (·   ) i estarà definida a l’interval obert   , aleshores el conjunt

Ω = {(   ) ∈ R× :  ∈   } és obert, i la funció

Ω → R (   ) Ã (   )

és contínua.

Proof. Siga (0 0 0) ∈  i considerem el problema de Cauchy

(000)

½ 0 =  ( ) (0) = (0 0)

en  sent  ( ) = (( ) 0) ∈ R×R ∀( ) ∈  . Aleshores sabem per les hipòtesis i pel lema anterior que 000 té una única

solució no prolongable (· 0 0 0) :  00 → R+ i que (· 0 0 0) = ((· 0 0 0) 0)

on (· 0 0 0) és l’única solució no prolongable de 000 en 0 , i que éstà definida al mateix interval obert  00 . Llavors com  és obert i  ( ) és contínua en  per ser-ho ( ), i acabem

de demostrar que l’edo 0 =  ( ) té unicitat de solució en  , podem aplicar el Teorema 1.8 i obtenim que el conjunt

Ω = {(   ) ∈ R× :  ∈   } és obert, i la funció

Ω → R+ (   ) Ã (   ) = ((   ) )

és contínua. I per tant, si ens quedem en les primeres  components d’aquesta funció, s’obté que la funció resultant

Ω → R (   ) Ã (   )

és també contínua. ¤

12 DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

3. Diferenciabilitat respecte de condicions inicials

Remark 3.1. En el Tema 3 vam demostrar el Lema 2.5 que dia que: Si  ⊂ R×R és obert i  :  → R és tal que existeixen i són contínues en

 les parcials  ( ) ∀  = 1 2 , aleshores si  és convex respecte de les "", es verifica que ∀ = 1 2  i ∀( ) ( ) ∈ 

( )− ( ) = X =1

( − ) 1Z 0

 

( + (1− ))

Ara bé, aquestes  igualtats es poden expressar vectorialment de la forma:

( )− ( ) = ⎛⎝ 1Z 0

( + (1− )) ⎞⎠ (− )

sent  la matriu jacobiana de  respecte de les components de . I si anomenem

(  ) =

1Z 0

( + (1− ))

a la funció matricial contínua definida en el conjunt

 = {(  ) ∈ R×R ×R ( ) ∈  i ( ) ∈ } aleshores s’obté que:

( )− ( ) = (  )(− ) ∀( ) ( ) ∈ 

i (  ) = ( ) ∀( ) ∈  Theorem 3.1. (Diferenciabilitat respecte de les ordenades de les condi- cions inicials) Si  ⊂ R× R és obert, la funció  :  → R és contínua tal que existeixen i són contínues en  les parcials  ( ) ∀  = 1 2 , i per tant l’EDO 0 = ( ) té unicitat en , aleshores si considerem el conjunt obert

Ω = {(  ) ∈ R× :  ∈ } i la funció contínua

Ω → R (  ) Ã (  )

es verifica que aquesta funció admet derivades parcials   ∀ = 1 2 . I a més a més, ∀( ) ∈  les funcions  (·  ) com a funcions de  en

 són les úniques solucions no prolongables en  × R dels problemes lineals respectius



½ 0 = ( (  )) () = 

∀ = 1 2 

(sent  el vector corresponent de la base canònica, i  la matriu jacobiana de les  respecte de les ).

DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS 13

Proof. Evidentment per les hipòtesis del teorema sabem que l’edo 0 = ( ) té unicitat en  i que es verifiquen totes les hipòtesis del Teorema 1.8 de continuïtat respecte de les condicions inicials, per tant el conjunt

Ω = {(  ) ∈ R× :  ∈ } és obert, i la funció

Ω → R (  ) Ã (  )

és contínua. Vegem ara que si fixem  ∈ {1 2 } i (0 0 0) ∈ Ω, aleshores existeix el límit

lim →0 (0 0 0 + )− (0 0 0)

Per açò definim la funció:

( ) = ( 0 0 + )− ( 0 0)

i busquem un conjunt on poder definir-la. Com (0 0 0) ∈ Ω, aleshores 0 ∈ 00 i 0 ∈ 00 , per tant existeix un

interval [ ] ⊂ 00 tal que 0 0 ∈] [ (ja que 00 és obert). I considerant ara l’interval [ ] i la funció (· 0 0)|[] sabem que existeix un   0 suficientment xicotet tal que

∆ = {( ) ∈ [ ]×R : k− ( 0 0)k ≤ } ⊂  I sabem pel Corolari 1.7 que donat aquest   0 i el compacte [ ] ⊂ 00 , existeix un entorn  ⊂  de (0 0) tal que per a tot ( ) ∈  [ ] ⊂  i es

verifica que

k(  )− ( 0 0)k   ∀ ∈ [ ] Ara bé, si  és un entorn de (0 0), sabem que existeix un   0 tal que

((0 0) ) ⊂  . Per tant si considerem un  tal que ||  , aleshores

(0 0 + ) ∈ ((0 0) ) ⊂  (ja que si per exemple considerem la norma euclídea k(0 0 + )− (0 0)k = ||). Llavors si  és tal que ||  , es verifica que

(15) [ ] ⊂ 00+ i k( 0 0 + )− ( 0 0)k   ∀ ∈ [ ]. Per tant si considerem el conjunt ] [×(] −  [∼ {0}), la funció ( ) estarà

perfectament definida. I per altra banda, si considerem el conjunt

∆0 = {( ) ∈] [×R : k− ( 0 0)k  } que és obert i convex respecte de les "" i la funció  de la que sabem per hipòtesis que existeixen les parcials  ( ) ∀  = 1 2  i són contínues, per la nota anterior i per (15) s’obté que si ( ) ∈] [×(]−  [)

( ( 0 0 + )) ∈ ∆0 i ( ( 0 0)) ∈ ∆0 i

14 DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

( ( 0 0 + ))− ( ( 0 0)) =(16) = ( ( 0 0 + ) ( 0 0))(( 0 0 + )− ( 0 0)) =

= ( )(( 0 0 + )− ( 0 0)) On ( ) = ( ( 0 0 + ) ( 0 0)) i

(17) ( 0) = ( ( 0 0) ( 0 0)) = ( ( 0 0))

I si ara ∀ ∈ ]−  [∼ {0}, la funció (· ) definida en ] [ serà derivable respecte de  i per (16) s’obté que ∀ ∈] [:

 ( ) =

0( 0 0 + )− 0( 0 0) 

=

= ( ( 0 0 + ))− ( ( 0 0))

 =

= ( )(( 0 0 + )− ( 0 0))

 = ( )( )

i com (0 ) =  , aleshores (· ) és solució del problema



½ 0 = ( ) (0) = 

en ] [×R, ∀ ∈ ]−  [∼ {0}. Per altra banda sabem que ∀(   ) ∈] [×R×]−  [ el problema



½ 0 = ( ) () = 

té una única solució no prolongable (·    ) definida en  =] [, ja que ∀ ∈ ] −  [ la funció (· ) és contínua en ] [ per ser composició de funcions contínues, aleshores podem aplicar el Corolari 2.2 de la continuïtat respecte de condicions inicials i paràmetres i obtenim que existeix el

lim →0 ( 0   ) = ( 0   0), ∀ ∈] [

és a dir, per (17), s’obté que existeix el:

lim →0 ( ) = (), ∀ ∈] [

sent () l’única solució no prolongable del problema

0 =  =

½ 0 = ( ( 0 0)) (0) = 

en ] [. Aleshores existeix



 ( 0 0) = (), ∀ ∈] [

I per tant efectivament  (· 0 0) és solució de  en ] [. Ara bé, hem demostrat que ∀(0 0 0) ∈ Ω existeix  (0 0 0) i que

  (· 0 0)

és solució de  en un entorn ] [ de 0 en 00 , i sabem que el problema  té una única solució no prolongable en 00×R definida en 00 . Aleshores  (· 0 0) és també solució de  en 00  ja que ∀ ∈ 00 ( 0 0) ∈ Ω i per tant existirà un entorn de  en 00 on

  (· 0 0) és també solució de   ¤

DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS 15

Corollary 3.2. Amb les hipòtesis anteriors, les parcials  ∀ = 1 2  són funcions contínues en Ω

Proof. Sabem pel teorema anterior que si

Ω = {(  ) ∈ R× :  ∈ } ∀ = 1 2  la funció

Ω → R (  ) Ã  (  )

està ben definida, vegem que és contínua. Siga per tant  ∈ {1 2 } i (0 0 0) ∈ Ω. Aleshores considerem, igual

que hem fet en el teorema anterior, un interval [ ] ⊂ 00 tal que 0 0 ∈] [. I considerant ara l’interval [ ] sabem que existeix un entorn obert  ⊂  de (0 0) tal que, per a tot ( ) ∈  [ ] ⊂  (podem considerar  obert ja que  és obert). Siga ara el obert  =] [×R× i siguen ∀(    ) ∈  els problemes lineals



½ 0 = ( (  )) () = 

És immediat que aquestos problemes lineals tenen per a tot (    ) ∈  una única solució no prolongable en ] [×R,

(·     ) :] [→ R ja que la funció matricial (· (·  )) és contínua en ] [⊂ . Aleshores pel Corolari 2.2 de la continuïtat respecte de condicions inicials i

paràmetres obtenim que el conjunt

Ω0 = {(     ) ∈ R× :  ∈] [} = = ] [× =] [×] [×R × 

és obert, i la funció Ω0 → R

(     ) Ã (     ) és contínua. I sabem pel teorema anterior que si (     ) ∈ Ω0, aleshores

(18) (     ) = 

 (  )

ja que llavors ( ) ∈  ⊂  i  ∈] [⊂ . I (     ) ∈ Ω0, quan  ∈] [, ( ) ∈  i  ∈] [. Ara bé és immediat

que, per ser  obert, i ] [ també obert i 0 ∈] [, existeix un entorn  ⊂  de (0 0) tal que ∀( ) ∈ es verifica que  ∈] [ Aleshores ] [× és un entorn de (0 0 0) i ] [× ⊂ Ω, ja que si (  ) ∈

] [× , llavors ( ) ∈ ⊂  i  ∈] [⊂  per tant (  ) ∈ Ω. A més a més, ∀(  ) ∈] [× s’obté que (     ) ∈ Ω0 i per tant es

verifica (18) i (     ) com a funció de (  ) en ] [× és contínua per ser composició de funcions contínues. Per tant  (  ) és contínua en aquest

entorn ] [× de (0 0 0) ∈ Ω, i com açò és cert per a qualsevol (0 0 0) ∈ Ω, aleshores  (  ) és contínua en Ω. ¤

16 DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

Theorem 3.3. (Diferenciabilitat respecte de l’abscissa de les condicions inicials) Amb les hipòtesis anteriors, existeix la parcial  en Ω i verifica:



 (  ) = −(  )( ) ∀(  ) ∈ Ω

I Per tant  és contínua en Ω

Proof. Evidentment per les hipòtesis del teorema sabem que l’edo 0 = ( ) té unicitat en  i que es verifiquen totes les hipòtesis del Teorema 1.8 de continuïtat respecte de les condicions inicials, per tant el conjunt

Ω = {(  ) ∈ R× :  ∈ } és obert, i la funció

Ω → R (  ) Ã (  )

és contínua. I també sabem pel teorema anterior i pel corolari anterior que ∀ = 1 2  la funció

Ω → R (  ) Ã  (  )

està ben definida i és contínua. Vegem ara que si (0 0 0) ∈ Ω, aleshores existeix el límit

lim →0 (0 0 +  0)− (0 0 0)

 

Com (0 0 0) ∈ Ω, aleshores 0 ∈ 00 i 0 ∈ 00 , per tant raonant com en els resultats anteriors, sabem que existeix un interval [ ] ⊂ 00 tal que 0 0 ∈] [. I considerant ara l’interval [ ] sabem que existeix un entorn  ⊂  de (0 0) obert i convex respecte de les "" (és suficient considerar una bola oberta centrada en (0 0)) tal que, per a tot ( ) ∈  [ ] ⊂ . D’altra banda, com 0 ∈] [ i ] [ és obert, aleshores existeix un 1  0 tal que

si  és tal que ||  1, 0 +  ∈] [. De la mateixa manera com lim

→0 (0+ 0) = (0 0) ∈  i  és obert, aleshores

existeix un 2  0 tal que si  és tal que ||  2, (0 +  0) ∈  i per tant [ ] ⊂ 0+0 . I com 0 ∈] [, si ||  2 aleshores (0 0 +  0) ∈ Ω, existeix

∗ = (0 0 +  0) i

lim →0 (0 0 +  0) = lim

→0 ∗ = 0

I per tant lim →0

(0  ∗ ) = (0 0) ∈ 

aleshores existeix un 0  3  2 tal que si  és tal que ||  3, (0 ∗) ∈  i per tant [ ] ⊂ 0∗ . Llavors si considerem un  tal que ||   = min {1 3} es verifica que: • 0 +  ∈] [ • (0 +  0) ∈  i per tant [ ] ⊂ 0+0• (0 ∗) ∈  i per tant [ ] ⊂ 0∗

DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS 17

Aleshores si considerem per a ||   les solucions de l’edo 0 = ( ) definides en [ ], (· 0+ 0) i (· 0 ∗), com (0 0+ 0) = ∗ = (0 0 ∗) i n’hi ha unicitat de solució d’aquesta equació en , s’obté que

(· 0 +  0) = (· 0 ∗) Aleshores per a ||   s’obté

(0 0 +  0)− (0 0 0) 

= (0 0 

∗ )− (0 0 0) 

= (∗) I si ara considerem la funció contínua (per ser-ho  en Ω i (0  ) ∈ Ω):

 :  → R ( ) Ã ( ) = (0  )

verifica que existeixen les derivades parcials  ( ) =   (0  ) ∀ = 1 2 ,

i són contínues en  pel mateix motiu que . Aleshores com  és obert i convex respecte de les "", per la nota 3.1 s’obté per a ||  , com (0 ∗) (0 0) ∈  que

(0  ∗ )− (0 0) = (0 ∗ 0)(∗ − 0)

sent  una funció contínua tal que

(0 0 0) = (0 0) = (0 0 0)

Per altra banda, aplicant el teorema del valor mitjà ∀ = 1 2 , existeix un  ∈]0 1[ tal que:

(∗ − 0) = (0 0 +  0)− (0 +  0 +  0) = = 0(0 +  0 +  0)(−) = = −(0 +  (0 +  0 +  0))

Aleshores substituint aquestes expressions en (*), obtenim:

(0 0 +  0)− (0 0 0) 

= (∗) = (0  ∗ )− (0 0) 

=(19)

= (0 

∗  0)

 (−)

⎛⎜⎝ 1(0 +  (0 + 1 0 +  0))... (0 +  (0 +  0 +  0))

⎞⎟⎠ I per tant com  és contínua i els punts (0+  0+ 0) ∈ Ω (ja que 0+ ∈ [ ] ⊂ 0+0 perquè 0 ∈ [ ] i 0+ ∈ [ ]) i  és contínua en Ω i  contínua en , prenent límits quan → 0 en (19), s’obté que:

lim →0 (0 0 +  0)− (0 0 0)

 = −(0 0 0)(0 0)

és a dir existeix 

 (0 0 0) = −(0 0 0)(0 0)

I com açò és cert per a tot (0 0 0) ∈ Ω aleshores existeix la parcial  en Ω i és una funció contínua en Ω per ser-ho  en Ω i  en . ¤

Corollary 3.4. Amb les hipòtesis anteriors, la funció (  ) és de classe 1en Ω.

18 DEPENDÈNCIA RESPECTE DE LES CONDICIONS INICIALS

Proof. Sabem pels resultats anteriors que existeixen les parcials  i    ∀ =

1 2  i que són totes contínues en Ω, per tant serà suficient demostrar que existeix  i que és contínua en Ω. Ara bé si (  ) ∈ Ω, ( ) ∈ ,  ∈  i per tant, per ser (·  ) solució de

0 = ( ) en  definida en , s’obté que 0(  ) = ( (  )) i per tant  com a funció de (  ) té parcial  i verifica que:



 (  ) = 0(  ) = ( (  ))

i com  és contínua en Ω i  és contínua en , aleshores  és contínua en Ω. ¤

Corollary 3.5. Amb les hipòtesis anteriors, si  és de classe −1en  i existeixen les parcials d’ordre  respecte de les components de les ”” i són contínues en , aleshores la funció (  ) és de classe en Ω.

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 18 páginas totales
Descarga el documento