Tema4, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)
ijome
ijome

Tema4, Ejercicios de Matemáticas. Universitat de València (UV)

20 páginas
6Número de visitas
Descripción
Asignatura: Equacions diferencials ordinàries, Profesor: M Dolores Martinez, Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 20
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 20 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 20 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 20 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 20 páginas totales
Descarga el documento
tema4edo1718.dvi

TEMA IV

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

1. E        

Anem a estudiar en primer lloc l’EDO lineal vectorial de primer ordre homogènia

(1) x′ = A(t)x

on A : J →Mm és una funció contínua (sent J un interval real no buit i Mm l’espai vectorial de les matrius quadrades m ×m amb coeficients reals). Vam demostrar al tema 3 que el problema de Cauchy

 x′ = A(t)x x(t0) = x0,

té una única solució no prolongable ∀(t0, x0) ∈ J × Rm, i el seu domini és tot J. Vegem ara com són les solucions de (1).

Theorem 1.1. Les solucions no prolongables de (1) formen un espai vectorial real de dimensió m respecte de la suma de funcions i el producte per un escalar. A més a més, un conjunt de solucions

 ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕp

 és linealment independent si i sols

si existeix un t0 ∈ J tal que el conjunt de vectors  ϕ1(t0), ϕ2(t0), ϕ3(t0), ..., ϕp(t0)



és linealment independent en Rm.

Proof. Siga

F = {ϕ : J → Rm/ ϕ és solució no prolongable de (1)}

aleshores és immediat que F ⊆ C(J,Rm), vegem que F és un subespai vectorial de C(J,Rm).

Siguen ϕ1, ϕ2 ∈ F i α1, α2 ∈ R, llavors ∀t ∈ J existeix

(α1ϕ1 + α2ϕ2) ′(t) = α1ϕ

′ 1(t) + α2ϕ

′ 2(t) = α1A(t)ϕ1(t) + α2A(t)ϕ2(t) =

= A(t)(α1ϕ1(t) + α2ϕ2(t)) = A(t)(α1ϕ1 + α2ϕ2)(t)

i per tant α1ϕ1 + α2ϕ2 ∈ F . Fixem t0 ∈ J i definim ara l’aplicació

(2) T : F → Rm

tal que si ϕ ∈ F aleshores Tϕ = ϕ(t0). Vegem que és un isomorfisme i per tan obtindrem que dim(F) = dim(Rm) =m.

• T és lineal: Siguen ϕ1, ϕ2 ∈ F i α1, α2 ∈ R, llavors

T (α1ϕ1 + α2ϕ2) = (α1ϕ1 + α2ϕ2)(t0) =

= α1ϕ1(t0) + α2ϕ2(t0) = α1Tϕ1 + α2Tϕ2 1

2 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

• T és injectiva: Siga ϕ ∈ F tal que Tϕ = 0, aleshores ϕ(t0) = 0 i per tant, com el

problema 

x′ = A(t)x x(t0) = 0,

té com a única solució no prolongable la funció

nul·la, llavors ϕ = 0 (funció identicamnt nul·la), • T és sobrejectiva:

Siga x0 ∈ Rm, considerem el problema 

x′ = A(t)x x(t0) = x0,

i ϕ : J → Rm

l’única solució no prolongable d’aquest problema. Aleshores Tϕ = ϕ(t0) = x0 i ϕ ∈ F .

Per tant T és un isomorfisme i llavors: ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕp

 ⊆ F és linealment independent si i sols si existeix un t0 ∈ J

tal que el conjunt de vectors  Tϕ1, Tϕ2, Tϕ3, ..., Tϕp

 =  ϕ1(t0), ϕ2(t0), ϕ3(t0), ..., ϕp(t0)



és linealment independent en Rm. 

Remark 1.1. En realitat es demostra que si agafem un t0 ∈ J qualsevol, el conjunt de solucions

 ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕp

 és linealment independent si i sols si el conjunt de

vectors  ϕ1(t0), ϕ2(t0), ϕ3(t0), ..., ϕp(t0)

 és linealment independent. Per tant els

vectors anteriors són linealment independents ∀t0 ∈ J, però és suficient demostrar que ho són només en un punt i ho seran a la resta de punts.

Aquesta propietat no és certa en general per a funcions contínues, per exemple les funcions

f(x) = (x, x) i g(x) = (x, 2)

són linealment independents i en x = 2 són linealment dependents.

Definition 1.1. Anomenarem sistema fonamental de solucions de l’EDO (1) a qualsevol base de l’espai vectorial F de les solucions no prolongables de l’equació (1). És a dir qualsevol conjunt de m funcions de F linealment independents.

Si {ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕm} és un sistema fonamental, anomenem matriu fona- mental associada a la funció matricial Φ : J → Mm tal que Φ(:, j) = ϕj, ∀j = 1, 2, ....,m, és a dir ∀t ∈ J,

Φ(t) =

 

(ϕ1(t))1 (ϕ2(t))1 ... (ϕm(t))1 (ϕ1(t))2 (ϕ2(t))2 ... (ϕm(t))2

... ... ... ... (ϕ1(t))m (ϕ2(t))m ... (ϕm(t))m

 

Remark 1.2. (1) Pel teorema anterior tenim que si Φ : J → Mm és una matriu fonamental, aleshores det(Φ(t)) = 0, ∀t ∈ J. A més a més si Φ : J →Mm és una funció matricial tal que les seues columnes són solucions de l’EDO (1) en J, aleshores és suficient que ∃t0 ∈ J tal que det(Φ(t0)) = 0 per a que açò passe a la resta de punts, és a dir per a que siga matriu fonamental.

(2) Si Φ : J →Mm és una matriu fonamental, aleshores és una funció derivable i verifica

∀t ∈ J, Φ′(t) = (ϕ′1(t), ϕ ′ 2(t), ϕ

′ 3(t), ..., ϕ

′ m(t)) =

= (A(t)ϕ1(t),A(t)ϕ2(t), A(t)ϕ3(t), ..., A(t)ϕm(t)) = A(t)Φ(t)

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS 3

És a dir, Φ és solució de l’EDO (1) matricial. I al contrari, una funció matricial Φ : J →Mm verificant Φ′(t) = A(t)Φ(t), ∀t ∈ J i tal que ∃t0 ∈ J amb det(Φ(t0)) = 0, és una matriu fonamental de (1).

(3) Si {ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕm} és un sistema fonamental de (1) i Φ és la matriu fonamental associada, aleshores ∀ω ∈ F, existeixen α1, α2, α3, ..., αm ∈ R tals que ∀t ∈ J

ω(t) = α1ϕ1(t) + α2ϕ2(t) + α3ϕ3(t) + ...+ αmϕm(t) = Φ(t)v

sent v =

 α1 : αm

 ∈ Rm. I al contrari, si

ω(t) = Φ(t)v, ∀t ∈ J

amb v ∈ Rm, aleshores ω és solució de (1) en J. (4) Si B ∈Mm és regular aleshores Ψ(t) = Φ(t)B,∀t ∈ J, és també una matriu

fonamental.

Proposition 1.2. Existeix una única funció matricial contínua M : J × J →Mm tal que ∀(ξ, η) ∈ J ×Rm, la solució no prolongable del problema de Cauchy

(3) Pξη

 x′ = A(t)x x(ξ) = η

és la funció ω(t) = M(t, ξ)η. A més a més, pera tota matriu fonamental de l’EDO (1) Φ, es verifica que M(t, ξ) = Φ(t)(Φ(ξ))−1, ∀(t, ξ) ∈ J × J. A la funció M se l’anomena matriu resolvent de (1).

Proof. Siga Φ una matriu fonamental qualsevol de (1), aleshores podem definir la funció matricial següent:

M(t, ξ) = Φ(t)(Φ(ξ))−1,∀(t, ξ) ∈ J × J.

Evidentment aquesta funció està perfectament definida ja que Φ(t) és invertible en qualsevol punt de J , i és contínua ja que Φ(t) i (Φ(t))−1 són contínues en J (sabem que (Φ(t))−1 és una funció contínua per ser Φ(t) i det(Φ(t)) contínues i det(Φ(t)) = 0,∀t ∈ J).

A més a més ∀(ξ, η) ∈ J × Rm, la funció ω(t) = M(t, ξ)η = Φ(t)(Φ(ξ))−1η és solució de (1) per ser el producte d’una matriu fonamental per un vector de Rm, i com ω(ξ) = M(ξ, ξ)η = η aleshores ω(t) és també solució del problema de Cauchy (3).

I per últim la funció matricial M(t, ξ) que hem definit és única ja que ∀j ∈ {1, 2, ...,m} la funció ωj(t) = M(t, ξ)ej és l’unica solució del problema de Cauchy

Pj

 x′ = A(t)x x(ξ) = ej



Remark 1.3. Per la proposició anterior s’obté que si Φ i Ψ són matrius fonamen- tals de (1), llavors:

Φ(t)(Φ(ξ))−1 = Ψ(t)(Ψ(ξ))−1,∀(t, ξ) ∈ J × J.

i per tant (Ψ(t))−1Φ(t) = (Ψ(ξ))−1Φ(ξ),∀(t, ξ) ∈ J × J.

4 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

És a dir, existeix una matriu constant regular B tal que

Φ(t) = Ψ(t)B,∀t ∈ J.

2. E         

Anem a estudiar en aquesta part l’EDO lineal vectorial de primer ordre completa

(4) x′ = A(t)x+ b(t)

on A : J → Mm i b : J → Rm són funcions contínues (sent J un interval real no buit i Mm l’espai vectorial de les matrius quadrades m×m amb coeficients reals). Vam demostrar al tema 3 que el problema de Cauchy

 x′ = A(t)x+ b(t) x(t0) = x0

té una única solució no prolongable ∀(t0, x0) ∈ J × Rm, i que el seu domini és tot J. Vegem ara com són les solucions de (4).

Theorem 2.1. Siga ψ una solució no prolongable de l’EDO no homogènia (4) i {ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕm} un sistema fonamental de l’EDO homogènia corresponent (1), aleshores qualsevol solució no prolongable de l’EDO (4) és del tipus

ψ + α2ϕ2 + α3ϕ3 + ...+ αmϕm

amb α1, α2, α3, ..., αm ∈ R arbitraris. I al contrari, qualsevol funció d’aquesta forma és solució de (4).

Proof. Siguen α1, α2, α3, ..., αm ∈ R i siga la funció ϕ = α2ϕ2+α3ϕ3+ ...+αmϕm, aleshores és immediat que ψ + ϕ serà derivable i que ∀t ∈ J

(ψ + ϕ)′(t) = ψ′(t) + ϕ′(t) = A(t)ψ(t) + b(t) +A(t)ϕ(t) =

= A(t)(ψ(t) + ϕ(t)) + b(t) = A(t)(ψ + ϕ)(t) + b(t)

per tant ψ + ϕ és solució no prolongable de (4). Siga ara ω una solució no prolongable qualsevol de (4), aleshores si considerem

ϕ = ω − ψ, és immediat que és derivable i que ∀t ∈ J

ϕ′(t) = ω′(t)− ψ′(t) = A(t)ω(t) + b(t)−A(t)ψ(t)− b(t) =

= A(t)(ω(t)− ψ(t)) = A(t)(ω − ψ)(t).

Per tant ϕ és solució no prolongable de (1) i existeixen uns α1, α2, α3, ..., αm ∈ R tals que

ϕ = α2ϕ2 + α3ϕ3 + ...+ αmϕm,

aleshores efectivament ω = ψ + α2ϕ2 + α3ϕ3 + ...+ αmϕm. 

Remark 2.1. El resultat anterior demostra que el conjunt de solucions de (4) té estructura d’espai afí de dimensió m. Vegem en el següent resultat com obtenir la solució particular de (4) que necessitem per obtenir la solució general de (4).

Theorem 2.2. (Fòrmula de Lagrange) Si Φ és una matriu fonamental de (1) i fixem t0 ∈ J, aleshores la funció ψ : J → Rm definida de la forma

ψ(t) = Φ(t)

t

t0

(Φ(s))−1b(s) ds, per a t ∈ J

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS 5

és la solució del problema de Cauchy

(5) 

x′ = A(t)x+ b(t) x(t0) = 0

.

Proof. La funció ψ del enunciat està ben definida ja que Φ(t) és invertible en qual- sevol punt de J , i (Φ(t))−1b(t) és contínua ja que les funcions b(t), Φ(t) i det(Φ(t)) són contínues i det(Φ(t)) = 0,∀t ∈ J .

A més a més ψ és derivable en J i per a tot t ∈ J

ψ′(t) = Φ′(t)

t

t0

(Φ(s))−1b(s) ds+Φ(t)(Φ(t))−1b(t) =

= A(t)Φ(t)

t

t0

(Φ(s))−1b(s) ds+ b(t) = A(t)ψ(t) + b(t),

i ψ(t0) = 0, per tant efectivament ψ és solució del problema de Cauchy (5). 

Remark 2.2. (1) La fòrmula de Lagrange es pot expressar en funció de la matriu resolvent de la següent manera

ψ(t) =

t

t0

M(t, s)b(s) ds, per a t ∈ J

(2) Segons els resultats que hem vist amb anterioritat, és immediat demostrar que la solució del problema de Cauchy

 x′ = A(t)x+ b(t) x(t0) = x0

serà la funció

ψ(t) = M(t, t0)x0 +

t

t0

M(t, s)b(s) ds, per a t ∈ J.

3. E           

Anem a estudiar com obtenir una matriu fonamental quan en (1) la funció ma- tricial A : J → Mm és constant, és a dir quan tenim una EDO lineal vectorial de primer ordre homogènia amb coeficients constants

(6) x′ = Ax

En el cas escalar m = 1 i A = (a), sabem que la solució general és

ω(t) = ceta = c ∞

k=0

tk

k! ak, ∀t ∈ R

sent c ∈ R arbitrari, i per tant una matriu fonamental en aquest cas és Φ(t) = eta. Vegem que açò es pot generalitzar al cas matricial i que si m > 1, aleshores podrem definir la funció matricial etA i la solució general de (6) serà ω(t) = etAv, sent v ∈ Rm arbitrari.

Theorem 3.1. Si A ∈Mm, la sèrie ∞

k=0

tk

k!A k és convergent ∀t ∈ R, i su suma etA

és derivable en R i verifica

d(etA)

dt = AetA, ∀t ∈ R.

6 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

Per tant, etA és una matriu fonamental de (6).

Proof. Donada · una norma en Rm considerem la norma matricial subordinada corresponent en Mm, és a dir si A ∈Mm llavors

A = max {Av /v ∈ Rm i v = 1}

Aleshores ∀k ∈ N i ∀t ∈ R es verifica

0 ≤

tk

k! Ak ≤

|t| k

k! Ak

i per tant, com la sèrie ∞

k=0

|t|k

k! A k és convergent a etA enR, la sèrie

k=0

t k

k!A k

és també convergent.

Llavors la sèrie matricial ∞

k=0

tk

k!A k és també convergent en Mm per a tot t ∈ R i

denotem per etA a la seua suma. Vegem que etA és derivable i que la seua derivada és AetA. Siga t ∈ R i h/ |h| ≤ 1, aleshores:

e(t+h)A − etA

h −AetA =

1

h

k=1

(t+ h)k − tk

k! Ak −A

k=0

tk

k! Ak =

= 1

h

k=2

(t+ h)k − tk

k! Ak −

k=2

tk−1

(k − 1)! Ak =

1

h

k=2

(t+ h)k − tk − hktk−1

k! Ak = (∗)

I per altra banda, per la fòrmula de Taylor aplicada a la funció g(h) = (t+ h)k

i centrada en h = 0, s’obté que existeix un h1 ∈]0, h[ (o h1 ∈]h, 0[) tal que

(t+ h)k = tk + hktk−1 + 1

2 k(k − 1)(t+ h1)

k−2h2

per tant

e(t+h)A − etA

h −AetA = (∗) =

h

2 A2

k=2

(t+ h1) k−2

(k − 2)! Ak−2

I com (t+ h1)

k−2

(k − 2)! Ak−2

≤ (|t|+ 1)k−2

(k − 2)! Ak−2

i la sèrie ∞

k=2

(|t|+1)k−2

(k−2)! A k−2 és convergent i su suma és e(|t|+1)A, aleshores

0 ≤

e(t+h)A − etA

h −AetA

≤ |h|

2 A2 e(|t|+1)A.

I si ara prenem límits en la desigualtat anterior quan h→ 0 s’obté que

∃ lim h→0

e(t+h)A − etA

h −AetA

= 0.

Aleshores efectivament etA és derivable i

d(etA)

dt = AetA, ∀t ∈ R.

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS 7

Si ara anomenem Φ(t) = etA, ∀t ∈ R, aleshores Φ(0) = Im i com ∀t ∈ R, Φ′(t) = AΦ(t), llavors Φ(t) = etA és una matriu fonamental de (6). 

Remark 3.1. (1) El resultat anterior és també cert si la matriu A és complexa. (2) Notem que si en etA donem el valor t = 1, aleshores tenim definida la

matriu eA per a qualsevol matriu A ∈Mm (real o complexa).

Proposition 3.2. Siguen U, V ∈ Mm (reals o complexes) tals que UV = V U . Aleshores

eUeV = eU+V

En particular eU és regular i (eU)−1 = e−U .

Proof. Siga x0 ∈ Rm (o Cm), sabem pel teorema anterior que la funció

ϕ(t) = et(U+V )x0,∀t ∈ R

és l’única solució no prolongable del problema

(7) 

x′ = (U + V )x x(0) = x0

Vegem que la funció ψ(t) = etUetV x0, ∀t ∈ R és també solució del mateix problema i llavors tindrem que ϕ = ψ.

Donat p ∈ N anomenem Sp = p

k=0

tk

k!U k, aleshores per la continuitat del producte

de matrius i per la conmutativitat de V i Sp, s’obté que

etUV = ( lim p→∞

Sp)V = lim p→∞

(SpV ) = lim p→∞

(V Sp) = V ( lim p→∞

Sp) = V e tU .

Per tant d(etUetV )

dt = UetUetV + etUV etV = (U + V )etUetV , ∀t ∈ R

i com e0Ue0V = Im, aleshores etUetV és una matriu fonamental de x′ = (U + V )x i per tant ψ(t) és efecticament solució del problema (7).

Llavors hem demostrat que per a qualsevol x0 ∈ Rm (o Cm) i ∀t ∈ R es verifica que

et(U+V )x0 = e tUetV x0

i per tant et(U+V ) = etUetV i en particular eU+V = eUeV .

Com a conseqüència d’açò i del fet de que U conmuta amb −U per a tota matriu U ∈Mm, aleshores

Im = e U−U = eUe−U

i per tant eU és regular i (eU )−1 = e−U . 

Remark 3.2. (1) D’ara en abans suposarem que A ∈Mm és real. (2) Pels resultats anteriors s’obté que efectivament la solució general de l’EDO

(6) és ω(t) = etAv,

sent v ∈ Rm arbitrari i que la matriu resolvent és

M(t, ξ) = e(t−ξ)A

8 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

per tant la solució del problema de Cauchy 

x′ = Ax x(t0) = x0

és ψ(t) = e(t−t0)Ax0, per a tot t ∈ R. (3) De la mateixa manera es demostra fàcilment que la solució general de

l’EDO lineal vectorial de primer ordre completa amb coeficients constants

(8) x′ = Ax+ b(t)

on A ∈Mm i b : J → Rm és una funció contínua, és

ψ(t) = etAv +

t

t0

e(t−s)Ab(s) ds,

per a tot t ∈ J, sent v ∈ Rm i t0 ∈ J arbitraris. I la del problema de Cauchy 

x′ = Ax+ b(t) x(t0) = x0

la funció ψ(t) = e(t−t0)Ax0 +  t t0 e(t−s)Ab(s) ds, per a tot t ∈ J.

(4) L’obtenció de les solucions anteriors necessita del càlcul de la matriu expo- nencial actuant en vectors de Rm i açò no és factible en general fer-ho de manera directa. El que farem és estudiar una tècnica que utilitza resultats d’àlgebra, per a reduir aquest càlcul a un nombre finit d’operacions.

Theorem 3.3. Siga A ∈ Mm i siguen λ1, λ2, . . . , λp els diferents valors propis de A amb multiplicitats respectives k1, k2, . . . , kp. Aleshores s’obté la descomposició espectral de Cm següent:

Cm =

p

i=1

ker(A− λi) ki .

Remark 3.3. (1) Anomenarem

σ(A) = {valors propis de A}

aleshores al resultat anterior es verifica que

σ(A) = {λ1, λ2, . . . , λp} i k1 + k2 + . . .+ kp = m.

(2) A més a més, es verifiquen les següents afirmacions: • dim(ker(A− λi)

ki) = ki, ∀i = 1, 2, .., p • ker(A−λi)1 ⊆ .... ⊆ ker(A−λi)ki = ker(A−λi)ki+1 = ..., ∀i = 1, 2, .., p Al menor natural νi (1 ≤ νi ≤ ki) que verifique que

ker(A− λi) νi = ker(A− λi)

ki

l’anomenarem índex de λi. Aleshores es verifica • ker(A−λi)

1  ker(A−λi) 2  ....  ker(A−λi)

νi−1  ker(A−λi) νi =

= ker(A − λi) νi+1 = .... = ker(A − λi)

ki = ker(A − λi) ki+1 = ...,

∀i = 1, 2, .., p

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS 9

Proposition 3.4. Siga A ∈Mm i λ ∈ σ(A) amb índex ν, i multiplicitat k, aleshores si v ∈ ker(A− λ)ν = ker(A− λ)k, es verifica que ∀t ∈ R

etAv = eλt k−1

j=0

tj

j! (A− λ)jv = eλt

ν−1

j=0

tj

j! (A− λ)jv.

Proof. Pel Teorema 3.2, com λtIm i t(A− λ) conmutem ∀t ∈ R, sabem que

etA = eλtIm+t(A−λ) = eλtImet(A−λ) = eλtIme t(A−λ) = eλtet(A−λ).

Per tant si v ∈ ker(A − λ)ν = ker(A − λ)k, com el producte matricial és una aplicació contínua, s’obté que:

etAv = eλt ∞

j=0

tj

j! (A− λ)jv = eλt

k−1

j=0

tj

j! (A− λ)jv = eλt

ν−1

j=0

tj

j! (A− λ)jv.



Remark 3.4. (1) En el resultat anterior si v ∈ ker(A − λ)ν = ker(A − λ)k, aleshores v pot ser un vector complex no real. En general si agafem v ∈ Rm

sabem pel Teorema 3.3 que es verifica que:

(9) v = v1 + v2 + .....+ vp, amb vi ∈ ker(A− λi)ki ,

i per tant etAv = etAv1 + e

tAv2 + .....+ e tAvp =

=

p

i=1

eλit ki−1

j=0

tj

j! (A− λi)

jvi =

p

i=1

eλit vi−1

j=0

tj

j! (A− λi)

jvi.

que és una expressió finita que ens dona un valor real. Ara bé, és un problema si volem clacular etAv, trobar cada vegada la descomposició (9). Per açò buscarem un altre mètode per a calcular el valor de etAv.

(2) Si σ(A) = {λ}, aleshores k = m i per tant Cm = ker(A− λ)k i s’obté que

etAv = eλt m−1

j=0

tj

j! (A− λ) jv per a tot v ∈ Cm i per tant:

etA = eλt m−1

j=0

tj

j! (A− λ)j

Proposition 3.5. Si {v1,v2,..., vm} és una base de Rm, aleshores  etAv1,e

tAv2,..., e tAvm



és un sistema fonamental de (6).

Proof. La demostració és immediata ja que el conjunt de funcions  etAv1,e

tAv2,..., e tAvm



està format per m solucions de (6), aleshores és suficient demostrar que són lineal- ment independents. Ara bé, si calculem el valor d’aquestes funcions quan t = 0, llavors ∀j ∈ {0, 1, 2, ...,m} , e0Avj = vj i evidentment el conjunt {v1,v2,..., vm} és linealment independent en Rm per ser una base, i per tant efectivament les funcions de l’enunciat formen un sistema fonamental de (6). 

10 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

Remark 3.5. Anem a buscar una base de Rm que aplicant els resultat anterior ens proporcione un sistema fonamental de (6) fàcil de calcular.

Proposition 3.6. Siga A ∈ Mm (real) i λ ∈ σ(A) amb multiplicitat k (i per tant λ̄ ∈ σ(A) amb la mateixa multiplicitat), aleshores els subespais ker(A − λ)k

verifiquen les següents propietats: (1) Si v ∈ ker(A−λ)k, aleshores v̄ ∈ ker(A−λ̄)k. Llavors si {v1,v2,..., vk} és una

base de ker(A−λ)k, el conjunt {v1, v2, ..., vk} serà una base de ker(A− λ̄)k. (2) Si λ ∈ σ(A) ∩ R i v ∈ ker(A − λ)k, aleshores Re(v) ∈ ker(A − λ)k i

Im(v) ∈ ker(A − λ)k. I per tant sempre és possible trobar una base de l’espai complex ker(A−λ)k amb elements de Rm a la que anomenarem Bλ.

(3) Si λ ∈ σ(A) ∩ (C \R) i v ∈ ker(A − λ)k i v = 0, aleshores Re(v) = 0 i Im(v) = 0. I a més a més

{Re(v), Im(v)} ⊂ ker(A− λ)k 

ker(A− λ̄)k.

I per tant sempre és possible trobar una base de l’espai complex

ker(A− λ)k 

ker(A− λ̄)k

amb elements de Rm a la que anomenarem Dλλ̄.

Proof. Sabem que si λ aleshores λ̄ és també valor propi i té la mateixa multiplicitat k. Suposem ara que v ∈ ker(A− λ)k, llavors (A− λ)kv = 0 i

(A− λ)kv = (A− λ̄)kv̄ = 0

i per tant v̄ ∈ ker(A− λ̄)k. És a dir es verifica (1). Vegem (2). Si λ ∈ σ(A) ∩R i v ∈ ker(A− λ)k, aleshores per (1)

v̄ ∈ ker(A− λ̄)k = ker(A− λ)k

i per tant:

Re(v) = v + v̄

2 ∈ ker(A− λ)k i Im(v) =

v − v̄

2i ∈ ker(A− λ)k.

Aleshores si {v1,v2,..., vk} és una base de ker(A− λ)k, el conjunt

{Re(v1),Re(v2), ...,Re(vk), Im(v1), Im(v2)..., Im(vk)}

serà un sistema generador de ker(A−λ)k amb vectors de Rm, i per tant existiran k vectors linealment independents d’aquest sistema que formaran una base de ker(A− λ)k amb vectors de Rm, a la que anomenarem Bλ.

I per últim, si λ ∈ σ(A)∩(C \R) i v ∈ ker(A−λ)k i v = 0, aleshores si Re(v) = 0 llavors v = iw tal que w = 0 i per tant v̄ = −iw = −v ∈ ker(A − λ̄)k. I açò és un absurde ja que si v ∈ ker(A− λ)k ∩ ker(A− λ̄)k per la suma directa s’obté que v = 0.

I de la mateixa manera si Im(v) = 0 llavors v̄ = v ∈ ker(A − λ̄)k. I açò és un absurde ja que si v ∈ ker(A − λ)k ∩ ker(A − λ̄)k per la suma directa s’obté que v = 0.

Per altra banda, com Re(v) = v+v̄2 i Im(v) = v−v̄ 2i , aleshores és immediat que

{Re(v), Im(v)} ⊂ ker(A− λ)k 

ker(A− λ̄)k.

Per altra banda si {v1,v2,..., vk} és una base de ker(A− λ)k, sabem per (1) que el conjunt {v1, v2, ..., vk} serà una base de ker(A− λ̄)k i per tant

{v1,v2,..., vk, v1, v2, ..., vk}

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS 11

serà una base de ker(A− λ)k 

ker(A− λ̄)k formada amb vectors de Cm a la que anomenarem Eλλ̄. I el conjunt

{Re(v1),Re(v2), ...,Re(vk), Im(v1), Im(v2)..., Im(vk)}

serà un sistema generador de ker(A− λ)k 

ker(A− λ̄)k formada per 2k vectors i per tant serà una base de ker(A− λ)k

 ker(A− λ̄)k formada amb vectors de Rm

a la que anomenarem Dλλ̄. Aleshores es verifica (3). 

Corollary 3.7. Siga A ∈Mm (real), aleshores per cada λ ∈ σ(A) ∩ R amb multi- plicitat k, considerem la base real Bλ de ker(A−λ)k que hem obtés en la proposició anterior. I per cada parella

 λ, λ̄  ⊂ σ(A)∩ (C \R) amb multiplicitat respectiva k,

considerem les bases Eλλ̄ i Dλλ̄ de ker(A−λ) k 

ker(A− λ̄)k que hem obtés també en la proposició anterior. Aleshores si

K = 

λ∈σ(A)∩R

Bλ = {v1,v2,..., vr}

H = 

{λ,λ̄}⊂σ(A)∩(C\R) Eλλ̄ = {w1,w2,..., ws, w̄1,w̄2,..., w̄s} i

N = 

{λ,λ̄}⊂σ(A)∩(C\R) Dλλ̄ = {Re(w1),Re(w2), ...,Re(ws), Im(w1), Im(w2), ..., Im(ws)}

(amb r + 2s =m), es verifica que:

K ∪H = {v1,v2,..., vr, w1,w2,..., ws, w̄1,w̄2,..., w̄s}

és una base de Cm. I

K ∪N = {v1,v2,..., vr,Re(w1),Re(w2), ...,Re(ws), Im(w1), Im(w2), ..., Im(ws)}

és una base de Rm(i de Cm).

Proof. És immediat, per la proposició anterior i per la descomposició espectral de Cm, que els vectors de K ∪ H formen una base de Cm. I de la mateixa manera els vectors de K ∪ N també formen una base de Cm formada en aquest cas per vectors de Rm. I per altra banda, com els vectors de K ∪N són també linealment independents en Rm, aleshores també formen una base de Rm. 

Corollary 3.8. Si considerem les diferents bases Bλ, Dλλ̄ i Eλλ̄, obtingudes en la proposició anterior aleshores les funcions

(10)  etAv1, ..., e

tAvr,Re(e tAw1), ...,Re(e

tAws), Im(e tAw1), ..., Im(e

tAws) 

formen un sistema fonamental de (6).

Proof. Sabem pel corolari anterior que

H = {v1,v2,..., vr,Re(w1),Re(w2), ...,Re(ws), Im(w1), Im(w2), ..., Im(ws)}

és una base de Rm i per tant per la proposició 3.5 obtenim que  etAv1, ..., e

tAvr, e tARe(w1), ..., e

tARe(ws), e tA Im(w1), ..., e

tA Im(ws) 

és un sistema fonamental de (6). Aleshores com ∀j ∈ {0, 1, 2, ..., s} ,

etAwi = e tA(Re(wi) + i Im(wi)) = e

tARe(wi) + ie tA Im(wi)

llavors ∀j ∈ {0, 1, 2, ..., s} ,

etARe(wi) = Re(e tAwi)

etA Im(wi) = Im(e tAwi)

12 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

i per tant s’obté que efectivament  etAv1, ..., e

tAvr,Re(e tAw1), ...,Re(e

tAws), Im(e tAw1), ..., Im(e

tAws) 

és un sistema fonamental de (6). 

Remark 3.6. (1) La matriu fonamental associada al sistema fonamental (10) és

Φ(t) =  etAv1, ..., e

tAvr,Re(e tAw1), ...,Re(e

tAws), Im(e tAw1), ..., Im(e

tAws)  =

= etA[v1, ..., vr,Re(w1), ...,Re(ws), Im(w1), ..., Im(ws)] = e tAB

per tant etA = Φ(t)B−1 tal que B = Φ(0), és a dir

etA = Φ(t)(Φ(0))−1.

(2) I la matriu resolvent de (6) la podem expressar també de la forma

M(t, ξ) = e(t−ξ)A = Φ(t)(Φ(ξ))−1 = Φ(t− ξ)(Φ(0))−1

(3) La matriu fonamental Φ(t) es pot utilitzar, de la mateixa manera que la matriu exponencial, en la fòrmula de Lagrange per obtenir una solució par- ticular de l’EDO (8). Ara bé, de vegades aquest càlcul és costòs i és més convenient utilitzar el següent resultat.

Proposition 3.9. (Mètode dels coeficients indeterminats) Siga l’EDO

(11) x′ = Ax+ ertQ(t)

on A ∈Mm (real), r ∈ C i Q(t) és un polinomi vectorial de grau p amb coeficients en Cm, aleshores (11) té una solució del tipus

(12) ψ(t) = ertP (t)

sent P (t) un polinomi vectorial tal que

(1) Si r /∈ σ(A), és del mateix grau p que Q(t) (2) I si r ∈ σ(A) amb multiplicitat k , és de grau ≤ p+ k. (3) Si es coneix l’índex ν de r el resultat és cert substituint k per ν.

Remark 3.7. (1) Si r ∈ R, i Q(t) és un polinomi vectorial amb coeficients en Rm, aleshores la solució (12) ix real.

(2) Com a corolari (Seminaris) d’aquesta proposició s’obté que si tenim l’EDO

(13) x′ = Ax+ eαt(Q1(t) cos(βt) +Q2(t) sin(βt))

on A ∈Mm (real), α, β ∈ R i Q1(t) i Q2(t) són uns polinomis vectorials de grau menor o igual que p amb coeficients en Rm, aleshores (13) té alguna solució del tipus

ψ(t) = eαt(P1(t) cos(βt) + P2(t) sin(βt))

sent P1(t) i P2(t) uns polinomis vectorials reals tals que (a) Si α+ iβ /∈ σ(A), són de grau ≤ p . (b) I si α+ iβ ∈ σ(A) amb multiplicitat k , són de grau ≤ p+ k.

(3) Si es coneix l’índex ν de α+ iβ el resultat és cert substituint k per ν.

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS 13

4. E       ’  

En aquesta secció anem a estudiar l’EDO lineal escalar d’ordre n

(14) x(n) + a1(t)x(n−1) + ...+ an−1(t)x′ + an(t)x = g(t)

on les funcions aj (j = 1, ..., n ) i g són funcions contínues definides en un interval no buit J de R. Si g ≡ 0 es diu que (14) és homogènia.

Vam veure als seminaris que l’EDO (14) és equivalent a una EDO de primer ordre vectorial de dimensió n del tipus:

(15) y′ = A(t)y + b(t)

on A : J ⊂ R→Mm i b : J ⊂ R→ Rn són les funcions contínues

A =

 

0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1

−an(t) −an−1(t) −an−2(t) ... −a1(t)

 

i b(t) =

 

0 0 : : 0 g(t)

 

Per tant sabem que si φ : I ⊂ R→ R és solució de (14), aleshores

ψ = (φ, φ′, .., φ(n−1)) : I ⊂ R→ Rn

és solució de (15). I al contrari, que si

ψ = ( ψ1, ψ2, .., ψn) : I ⊂ R→ R n

és solució de (15), aleshores ψ1 : I ⊂ R→ R és solució de (14). I també és conegut que les solucions no prolongables de (15) estan defenides en J, amb la qual cosa també les solucions no prolongables de (14) estan definides en J , i s’obté fàcilment el següent resultat.

Proposition 4.1. Donats els números reals (t0, x0, x10, ..., x n−2 0 , x

n−1 0 ) ∈ J × R

n, el problema de Cauchy

(16)

 



x(n) + a1(t)x (n−1) + ...+ an−1(t)x

′ + an(t)x = g(t) x(t0) = x0 x′(t0) = x10 .... x(n−1)(t0) = x

n−1 0

té una única solució no prolongable definida en J que és la primera component de l’única solució no prolongable del problema de Cauchy

(17) 

y′ = A(t)y + b(t) y(t0) = (x0, x

1 0, ..., , x

n−2 0 , x

n−1 0 ).

A més a més, el conjunt de solucions no prolongables de l’EDO lineal escalar d’ordre n homogènia

(18) x(n) + a1(t)x(n−1) + ...+ an−1(t)x′ + an(t)x = 0

formen un espai vectorial de dimensió n respecte de la suma de funcions i el producte per un escalar.

14 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

Proof. Sabem que el problema de Cauchy (17) té una única solució no prolongable definida en J ja que les funcions A(t) i b(t) són contínues. Per tant, pels resultats vists en el Tema 1 relatius a la reducció a la forma canònica d’una EDO, el problema (16) també té una única solució no prolongable que serà la primera component de la solució de (17).

Siga ara el conjunt

E = {ϕ : J → R/ ϕ és solució no prolongable de (18)}

aleshores és immediat que E ⊆ C(J,R), vegem que E és un subespai vectorial de C(J,R).

Siguen ϕ1, ϕ2 ∈ E i α1, α2 ∈ R, llavors ∀k = 1, ..., n i ∀t ∈ J existeix

(α1ϕ1 + α2ϕ2) (k)(t) = α1ϕ

(k) 1 (t) + α2ϕ

(k) 2 (t)

aleshores

(α1ϕ1 + α2ϕ2) (n)(t) + a1(t)(α1ϕ1 + α2ϕ2)

(n−1)(t) + ...+ an(t)(α1ϕ1 + α2ϕ2)(t) =

= α1(ϕ (n) 1 (t) + a1(t)ϕ

(n−1) 1 (t) + ...+ an(t)ϕ1(t))+

+α2(ϕ (n) 2 (t) + a1(t)ϕ

(n−1) 2 (t) + ...+ an(t)ϕ2(t)) = 0

i per tant α1ϕ1 + α2ϕ2 ∈ E . És a dir E és un subespai vectorial de C(J,R). Considerem ara l’espai vectorial

de dimensió n

F = {ψ : J → Rm/ ψ és solució no prolongable de y′ = A(t)y}

i definim l’aplicació τ : E → F

tal que si ϕ ∈ E aleshores τϕ = (ϕ,ϕ′, ..., ϕ(n−1)). Vegem que és un isomorfisme i per tan obtindrem que dim(E) = dim(F) = n.

• τ és lineal: Siguen ϕ1, ϕ2 ∈ E i α1, α2 ∈ R, llavors

τ(α1ϕ1 + α2ϕ2) = (α1ϕ1 + α2ϕ2, α1ϕ ′ 1 + α2ϕ

′ 2, ..., α1ϕ

(n−1) 1 + α2ϕ

(n−1) 2 ) =

= α1(ϕ1, ϕ ′ 1, ..., ϕ

(n−1) 1 ) + α2(ϕ2, ϕ

′ 2, ..., ϕ

(n−1) 2 ) = α1τϕ1 + α2τϕ2

• τ és injectiva:

Siguen ϕ1, ϕ2 ∈ E tal que τϕ1 = τϕ2, aleshores (ϕ1, ϕ ′ 1, ..., ϕ

(n−1) 1 ) =

(ϕ2, ϕ ′ 2, ..., ϕ

(n−1) 2 ) i per tant ϕ1 = ϕ2.

• τ és sobrejectiva: Siga ψ ∈ F , aleshores sabem que si ψ = (ψ1, ψ2, ..., ψn) llavors ψ1 és

solució de (18) i ψk1(t) = ψk+1(t) , ∀k = 1, ..., n− 1. Per tant ψ1 ∈ E i

τψ1 = (ψ1, ψ ′ 1, ..., ψ

n−1 1 ) = (ψ1, ψ2, ..., ψn) = ψ.

Aleshores τ és un isomorfisme i per tant dim(E) = dim(F) = n. 

Definition 4.1. Anomenarem sistema fonamental de solucions de l’EDO (18) a qualsevol base de l’espai vectorial de les solucions no prolongables de l’equació (18). És a dir qualsevol conjunt de n funcions de E linealment independents.

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS 15

Definition 4.2. Si tenim n funcions (n− 1) vegades derivables en J,

{ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn}

anomenarem wronskià de les funcions a la funció

W(ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn)(t) = det

 

ϕ1(t) . . . ϕn(t) ...

... ...

ϕ (n−1) 1 (t) . . . ϕ

(n−1) n (t)

  , ∀t ∈ J

Proposition 4.2. Si {ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn} són solucions de (18), aleshores W (ϕ1, ..., ϕn) té el mateix caràcter en tots els punts de J, és a dir, és nul o no nul, en tots els punts de J. Si és nul, les solucions són linealment dependents, i si és no nul, són linealment independents.

Proof. Pel isomorfisme τ entre E i F vist en la proposició anterior les solucions

{ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn}

són linealment independents si i sols si les funcions

{τϕ1, τϕ2, τϕ3, ..., τϕn}

ho són. I sabem que aquestes funcions de F són linealment independents si i sols si

det

 

ϕ1(t) . . . ϕn(t) ...

... ...

ϕ (n−1) 1 (t) . . . ϕ

(n−1) n (t)

  =W (ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn)(t) = 0, ∀t ∈ J.

I també sabem que si ∃ t0 ∈ J tal que W (ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn)(t0) = 0, aleshores W (ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn)(t) = 0, ∀t ∈ J .

Per tant W (ϕ1, ..., ϕn) té el mateix caràcter en tots els punts de J . 

Remark 4.1. Com a consequència de la proposició anterior, si {ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn} són solucions de (18) i ∃ t0 ∈ J tal que W (ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn)(t0) = 0, aleshores {ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn} és un sistema fonamental de solucions de (18).

Proposition 4.3. Si ψ és una solució no prolongable de l’EDO completa (14) i ϕ és qualsevol solució no prolongable de l’EDO homogènia (18), aleshores la suma ψ + ϕ és solució de l’EDO completa (14). I recíprocament, qualsevol solució no prolongable de (14) és la suma de ψ amb alguna solució no prolongable de (18).

Proof. La demostració és immediata utilitzant l’equivalència entre les EDOs (14) i (15). O també reproduint els mateixos raonaments utilitzats en el cas vectorial en el Teorema 2.1. 

Remark 4.2. (1) El resultat anterior demostra que el conjunt de solucions de (14) té estructura d’espai afí de dimensió n.

(2) Una manera d’obtenir la solució particular ψ de (14) que necessitem per obtenir la solució general de (14) és utilitzar la fòrmula de Lagrange de la següent manera:

16 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

Considerem {ϕi} n i=1 un sistema fonamental de solucions de l’EDO ho-

mogènia associada (18), llavors si anomenem Φ a la funció matricial

Φ(t) =

 

ϕ1(t) . . . ϕn(t) ...

... ...

ϕ (n−1) 1 (t) . . . ϕ

(n−1) n (t)

 

Fixat t0 ∈ J, la funció ψ : J → R determinada por ser la primera compo- nent de la funció vectorial que ens dona la fòrmula de Lagrange

t ∈ J → Φ(t)

t

t0

(Φ(s))−1b(s) ds ∈ Rn

és una solució particular de l’EDO completa (14). (3) Si n = 2, la solució particular obtinguda a partir de la fòrmula de Lagrange

és de la forma:

ψ(t) = ϕ2(t)

t

t0

ϕ1(s)g(s)

W (ϕ1, ϕ2)(s) ds− ϕ1(t)

t

t0

ϕ2(s)g(s)

W (ϕ1, ϕ2)(s) ds,

Sent {ϕ1, ϕ2} un sistema fonamental de l’equació homogènia associada.

Proposition 4.4. (Mètode de variació de constants) Si {ϕi} n i=1 és un sistema

fonamental de solucions de l’EDO homogènia (18), i les funcions

c1, c2, ..., cn : J → R

de classe C1 verifiquen les equacions

(19) n

j=1

c′j(t)ϕ (m) j (t) =

 0, si m = 0, 1, .., n− 2 g(t), si m = n− 1

, ∀t ∈ J

aleshores la funció

ω(t) = c1(t)ϕ1(t) + c2(t)ϕ2(t) + ...+ cn(t)ϕn(t)

verifica l’EDO completa (14) en J.

Proof. Sabem que si

Φ(t) =

 

ϕ1(t) . . . ϕn(t) ...

... ...

ϕ (n−1) 1 (t) . . . ϕ

(n−1) n (t)

  i

 

c1(t) ...

cn(t)

  =

t

t0

(Φ(s))−1b(s) ds,∀t ∈ J,

aleshores, per la fòrmula de Lagrange, la primera component de Φ(t)

 

c1(t) ...

cn(t)

 

serà solució de (14) en J . I com la primera component aquesta és la funció

ω(t) = c1(t)ϕ1(t) + c2(t)ϕ2(t) + ...+ cn(t)ϕn(t),

aleshores serà suficient demostrar que les funcions c1, c2, ..., cn verifiquen les equa- cions (19).

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS 17

Ara bé, com

 

c1(t) ...

cn(t)

  =

 t t0 (Φ(s))−1b(s) ds,∀t ∈ J i (Φ(s))−1b(s) és una funció

contínua en J , llavors les funcions c1, c2, ..., cn són derivables en J i 

 

c′1(t) ...

c′n(t)

  = (Φ(t))−1b(t),∀t ∈ J,

i per tant

Φ(t)

 

c′1(t) ...

c′n(t)

  = b(t) =

 

0 ...

g(t)

  ,∀t ∈ J,

aleshores, igualant component a component en aquesta equació vectorial, obtenim les equacions (19). 

5. E     ’           

Anem a estudiar ara l’EDO lineal escalar d’ordre n amb coeficients con- stants

(20) x(n) + a1x(n−1) + ...+ an−1x′ + anx = g(t)

on les constants aj ∈ R (j = 1, ..., n ) i g és una funció contínua definida en un interval no buit J de R. Si g ≡ 0 es diu que (20) és homogènia. Sabem per la secció anterior que per a resoldre l’EDO (20) necessitem trobar un sistema fonamental de l’equació homogènia corresponent

(21) x(n) + a1x(n−1) + ...+ an−1x′ + anx = 0

vegem como trobar-ho. Sabem que (21) és equivalent a

(22) y′ = Ay

on

A =

 

0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1

−an −an−1 −an−2 ... −a1

 

,

que les solucions de (22) depenen dels valors propis de A, i que les solucions de (21) són les primeres components de solucions de (22).

Definition 5.1. Anomenem polinomi característic de (21), o de (20) al poli- nomi

Q(r) = rn + a1r n−1 + ...+ an−1r + an

Lemma 5.1. Es verifica que

det(A− r) = (−1)nQ(r).

Per tant els valors propis de A són les arrels del polinomi característic Q(r), amb la mateixa multiplicitat.

18 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

Proof. Demostrarem el resultat per inducció respecte de n.

• Si n = 1, aleshores tenim l’edo x′ + a1x = 0 i per tant A = (−a1) i

det(A− r) = −a1 − r = (−1) 1Q(r).

• Suposem que el resultat és cert per a n− 1. • Vegem que també és cert per a n.

det(A− r) = det

 

−r 1 0 ... 0 0 −r 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1

−an −an−1 −an−2 ... −a1 − r

 

=

= (−r) det

 

−r 1 ... 0 0 0 −r ... 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... −r 1

−an−1 −an−2 ... −a2 −a1 − r

 

−an(−1) n+1 det

 

1 0 ... 0 0 −r 1 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 0 0 0 ... −r 1

 

= (∗)

Si ara apliquem la hipòtesi d’inducció a l’edo

x(n−1) + a1x (n−2) + ...+ an−2x

′ + an−1x = 0

s’obté que

det

 

−r 1 ... 0 0 0 −r ... 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... −r 1

−an−1 −an−2 ... −a2 −a1 − r

 

= (−1)n−1(rn−1+a1r n−2+...+an−2r+an−1)

Per tant si substituim aquesta expresió en la igualtat anterior s’obté

det(A−r) = (∗) = (−r)(−1)n−1(rn−1+a1r n−2+ ...+an−2r+an−1)−an(−1)

n+1 =

= (−1)n(rn + a1r n−1 + ...+ an−1r) + an(−1)

n = (−1)nQ(r).



Theorem 5.2. Per cada arrel real λ de Q(r), amb multiplicitat k, considerem les k funcions

(23) eλt, teλt, . . . , tk−1eλt,

EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS 19

i per cada parella d’arrels complexes conjugades α± βi de Q(r), amb β ∈ R no nul i multiplicitat p, considerem les (2p) funcions

eαt cos(βt), t cos(βt)eαt, . . . , tp−1 cos(βt)eαt,(24)

eαt sin(βt), t sin(βt)eαt, . . . , tp−1 sin(βt)eαt.

Aleshores el conjunt format per les n funcions així obtingudes formen un sistema fonamental de solucions de (21).

Proof. Sabem que qualsevol solució de (21) és la primera component d’una solució de (22). I sabem que qualsevol solució de (22) és una combinació lineal del sistema fonamental obtingut en el Corolari 3.8, és a dir de

(25)  etAv1, ..., e

tAvr,Re(e tAw1), ...,Re(e

tAws), Im(e tAw1), ..., Im(e

tAws) 

sent {v1,v2,..., vr, w1,w2,..., ws, w̄1,w̄2,..., w̄s}

la base K de Cm obtinguda en el Corolari 3.7 de manera que ∀i ∈ {1, 2, ..., r}

vi ∈ ker(A− λ) k ∩Rm per a un λ ∈ σ(A) ∩R amb multiplicitat k

i ∀i ∈ {1, 2, ..., s}

wi ∈ ker(A−λ) p∩(Cm ∼ Rm) per a un λ = α+iβ ∈ σ(A)∩(C ∼ R) amb multiplicitat p.

Per tant

etAvi = e λt

k−1

j=0

tj

j! (A− λ)jvi = e

λt

k−1

j=0

tjyij

amb yij ∈ Rm, ∀i ∈ {1, 2, ..., r} i ∀j ∈ {0, 2, ..., k − 1} . I

etAwi = e λt

p−1

j=0

tj

j! (A− λ)jwi = e

αt(cos(βt) + i sin(βt))

p−1

j=0

tjzij

amb zij ∈ Cm, ∀i ∈ {1, 2, ..., s} i ∀j ∈ {0, 2, ..., p− 1} . Per tant

Re(etAwi) = e αt cos(βt)

p−1

j=0

tj Re(zij)− e αt sin(βt))

p−1

j=0

tj Im(zij) i

Im(etAwi) = e αt cos(βt)

p−1

j=0

tj Im(zij) + e αt sin(βt))

p−1

j=0

tj Re(zij).

Aleshores, com pel Lema 5.1 sabem que els valors propis de A són els arrels del polinomi característic Q(r) i amb la mateixa multiplicitat, obtenim que les primeres components de les funcions del sistema fonamental (25) són combinacions lineals reals de les funcions (23) i (24) de l’enunciat.

Per tant qualsevol solució de (22) és també una combinació lineal d’aquestes funcions. És a dir, si anomenem B al espai vectorial real generat per aquestes funcions (23) i (24) de l’enunciat, aleshores:

E = {ϕ : R→ R/ ϕ és solució no prolongable de (21)} ⊂ B

I com B té dimensió menor o igual que n ja que està generat per n funcions, i E té dimensió n, aleshores

E = B

20 EQUACIONS DIFERENCIALS LINEALS

i per tant el sistema generador de B és una base de B i també de E. És a dir efectivament les funcions (23) i (24) formen un sistema fonamental de solucions de (21). 

Remark 5.1. (1) Per obtenir la solució particular ψ de (20) que necessitem per a resoldre l’EDO (20), ja sabem que podem utilitzar, com passa en el cas general de coeficients variables, la fòrmula de Lagrange, o el mètode de variació de constants.

(2) De vegades, al igual que passa al cas vectorial, si g(t) té una forma concreta és millor utilitzar el mètode dels coeficients indeterminats que ens dona el següent resultat.

Proposition 5.3. (Mètode dels coeficients indeterminats) Siga l’EDO

(26) x(n) + a1x(n−1) + ...+ an−1x′ + anx = p(t)ert

on aj ∈ R (j = 1, ..., n ), r ∈ C i p(t) és un polinomi de grau p amb coeficients en C, aleshores (26) té una solució del tipus

(27) ψ(t) = tks(t)ert

sent s(t) un polinomi vectorial de grau p i (1) k = 0, si r no és arrel del polinomi característic Q(r). (2) k =multiplicitat de r, si r és arrel del polinomi característic Q(r).

Remark 5.2. (1) Si r ∈ R i p(t) és un polinomi amb coeficients en R, aleshores la solució (27) ix real.

(2) Com a corolari (Seminaris) d’aquesta proposició s’obté que si tenim l’EDO

(28) x(n) + a1x(n−1) + ...+ an−1x′ + anx = eαt(p1(t) cos(βt) + p2(t) sin(βt))

on aj ∈ R (j = 1, ..., n ), α, β ∈ R i p1(t) i p2(t) són uns polinomis de grau menor o igual que p amb coeficients en R, aleshores (28) té alguna solució del tipus

ψ(t) = tkeαt(s1(t) cos(βt) + s2(t) sin(βt))

sent s1(t) i s2(t) uns polinomis reals de grau ≤ p , i (a) k = 0, si α+ iβ no és arrel del polinomi característic Q(r). (b) k =multiplicitat de (α + iβ), si (α + iβ) és arrel del polinomi carac-

terístic Q(r).

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 20 páginas totales
Descarga el documento