teoriade jocs tema 14, Ejercicios de Ingeniería Civil. Universidad de La Laguna (ULL)
omaita124
omaita124

teoriade jocs tema 14, Ejercicios de Ingeniería Civil. Universidad de La Laguna (ULL)

26 páginas
4Número de visitas
Descripción
Asignatura: introduccio a la sociologia, Profesor: samuel lira, Carrera: Ingeniería Civil, Universidad: ULL
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 26
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 26 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 26 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 26 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 26 páginas totales
Descarga el documento
Tema 14 - Jocs Repetits

1

Economia i Instruments Analítics (2a part)

TEMA 14 Jocs Repetits

Joan Faner

joan.faner@upf.edu

Departament d’Economia i Empresa

Universitat Pompeu Fabra

Despatx 23.111 (Edifici Mercè Rodoreda)

2

Objectius

 En aquest tema tractarem els jocs repetits:  Els jugadors prenen decisions de manera seqüencial o successiva

 Reben els seus guanys

 Els guanys depenen de la combinació d’accions que acaben d’elegir els jugadors

 Els jugadors “juguen” al mateix joc més d’un cop

 Ens centrarem en els jocs amb informació completa  Els jugadors coneixen les funcions de guanys

 A més, distingirem entre jocs repetits:  Finitament: hi ha un horitzó finit, el joc es repeteix un número

concret de cops (T)

 Infinitament: el joc es repeteix de manera infinita, per sempre (∞)

2

3

Estructura del Tema

1. Introducció  Les relacions

2. Jocs repetits finitament

3. Jocs repetits infinitament

4. Aplicacions  Col·lusió Tàcita

1. Introducció

Les Relacions

3

Les Relacions

 Les relacions es construeixen, es treballen, es protegeixen, es poden trencar i poden acabar

 Les relacions van més enllà de la simple coordinació al voltant d’un resultat eficient: cal establir i proporcionar incentius per a assolir i mantenir el resultat desitjat al llarg del temps

 Normalment, en el si d’una relació els resultats són “win-win” (millors per a tots) comparats amb els obtinguts sense aquesta. En termes formals, els resultats obtinguts quan hi ha una relació dominen en el sentit de Pareto als obtinguts sense relació

 El problema és que molt sovint, els resultats obtinguts en el si d’una relació no són el que cada agent per separat pot considerar millor donat el que fan els altres (formalment, no són la millor resposta al que l’altre fa)

5

El Dilema del Presoner: exemple canònic

 El Dilema del Presoner és l’exemple canònic de les qüestions subjacents en una relació

on el perfil estratègic (C,C) és “win-win” (domina en el sentit de Pareto a) en relació a (D,D), però no ho és en relació a (C,D)

6

3 5

3 0

0 1

5 1

Jugador B

Jugador A

Cooperar Desertar

Cooperar

Desertar

4

Dinàmica de les Relacions

 Principi: S’estableix la relació per tal d’obtenir un resultat

 Manteniment: S’ha de donar suport i proporcionar incentius per a mantenir el resultat al llarg del temps. Això es pot assolir per mitjans: 1. Exògens: podem recolzar-nos en els valors dels jugadors (podrien

tenir principis molt sòlids i no voler incomplir promeses en cap cas) o en la signatura de contractes formals

2. Endògens: aprofitar que la relació és a llarg termini per tal de protegir el resultat desitjat. Com? Adoptant diferents regles de comportament que permetin premiar (pastanaga) i castigar (bastó) als altres jugadors al llarg de la relació

 Finalització: Les relacions poden finalitzar i aleshores cal tenir clar el paper de l’últim dia: saber quan s’acabarà esdevé un aspecte crucial de la relació 7

Possibles regles pel manteniment

endogen de la relació

 Norma General de les regles:

 Pastanaga o Bastó: Premia el bon comportament (promet una pastanaga a la mula si treballa bé) i castiga el mal comportament (utilitza el bastó si la mula no vol treballar)

1. Tal faràs, tal trobaràs (tit for tat): Fes el mateix que hagi fet l’altre en el període anterior: coopera quan l’altre ha cooperat i no cooperis si l’altre no ha cooperat

8

5

Possibles regles pel manteniment

endogen de la relació

2. Estratègia de disparador implacable (grim trigger): comença cooperant però si l’altre no coopera un cop, es dispara una reacció irreversible: mai més cooperaràs

3. Estratègia de disparador indulgent

(forgiving trigger): comença cooperant i si l’altre no coopera, segueix no cooperant fins que l’altre se’n penedeixi. Aleshores perdona’l i segueix cooperant

9

Anàlisi de les Relacions

 La Teoria de Jocs ens proporciona un mètode per a entendre les relacions i els mecanismes que hi intervenen

 I ho farem –fonamentalment– analitzant el joc que resulta de participar repetidament en el Joc de Coordinació anterior

10

6

2. Jocs Repetits Finitament

Joc de Coordinació Repetit Finitament  Imaginem que Anna i Bernat participen en el següent joc de

coordinació:

repetidament, és a dir, el juguen dos cops. Després de la primera etapa tothom sap que ha fet l’altre jugador i quins són els pagaments que en resulten. Es tracta doncs d’un joc seqüencial

1. Quantes estratègies té cada jugador?

2. Què hauria de triar un jugador racional a la primera etapa?

3. Què hauria de triar un jugador racional a la primera etapa si jugués al joc 100 vegades amb el mateix jugador? 12

3 5

3 0

0 1

5 1

Jugador B

Jugador A

Cooperar Desertar

Cooperar

Desertar

7

13

A

B

( 0 , 5 )

( 3 , 3 )

B

( 1 , 1 )

( 5 , 0 )

C

D

C

C

D

D

A

B

( 0 , 5 )

( 3 , 3 )

B

( 1 , 1 )

( 5 , 0 )

C

D

C

C

D

D

Joc de Coordinació Repetit Finitament

14

A

B ( 3 , 8 )

( 6 , 6 )

B

C

D

C

D

A

B

B

C

D

C

C

D

D

( 4 , 4 )

( 8 , 3 )C

D

A

B ( 0 , 10 )

( 3 , 8 )

B

C

D

C

D

( 1 , 6 )

( 5 , 5 )C

D

A

B ( 5 , 5 )

( 8 , 3 )

B

C

D

C

D

( 6 , 1 )

( 10 , 0 )C

D

A

B ( 1 , 6 )

( 4 , 4 )

B

C

D

C

D

( 2 , 2 )

( 6 , 1 )C

D

8

Joc de Coordinació Repetit Finitament  Imaginem que l’Anna diu: “Cooperem! A la primera etapa jo cooperaré. Si

tu també cooperes a la primera etapa, llavors jo tornaré a cooperar a la segona. Si, pel contrari, desertes a la primera etapa, aleshores jo desertaré a la segona. (I si sóc jo qui deserta finalment a la primera, també ho faré a la segona”

 Quina és la millor resposta del Bernat a la proposta de l’Anna?

 Tot depèn de si l’Anna i el Bernat es tornen a trobar mai

 Suposem que no: juguen dos cops i no es veuen mai més

 A la segona etapa el Bernat desertarà sempre, perquè D és una estratègia dominant en el joc

 Donada l’estratègia de l’Anna, si el Bernat coopera a la primera etapa obtindrà 3 i a la segona 5 (Anna cooperarà i Bernat desertarà)

 Donada l’estratègia de l’Anna, si el Bernat deserta a la primera etapa obtindrà 5 d’entrada i a la segona 1 (Bernat desertarà i Anna desertarà)

 La millor resposta del Bernat a l’estratègia de l’Anna és cooperar (a la primera etapa) 15

16

A

B ( 3 , 8 )

( 6 , 6 )

B

C

D

C

D

A

B

B

C

D

C

C

D

D

( 4 , 4 )

( 8 , 3 )C

D

A

B ( 0 , 10 )

( 3 , 8 )

B

C

D

C

D

( 1 , 6 )

( 5 , 5 )C

D

A

B ( 5 , 5 )

( 8 , 3 )

B

C

D

C

D

( 6 , 1 )

( 10 , 0 )C

D

A

B ( 1 , 6 )

( 4 , 4 )

B

C

D

C

D

( 2 , 2 )

( 6 , 1 )C

D

9

“Pastanaga o bastó”

 Prometre C a la segona etapa si a la primera es juga (C,C) és al que anomenem “pastanaga”: un premi

 Amenaçar amb D a la segona etapa si a la primera no es produeix (C,C) és al que denominem “basto”: un càstig

 Però sembla que hi ha una bona notícia: l’Anna i el Bernat cooperen (a la primera etapa)!!

17

“Pastanagues o bastó” no funciona

 En principi semblava que l’estratègia de “Pastanaga o bastó” era capaç d’induir el comportament cooperatiu (la millor resposta del Bernat és cooperar -a la primera etapa!!)

 El problema és que l’estratègia “Pastanaga o bastó” proposada per l’Anna no és creïble. Per a ella desertar a la segona etapa és una estratègia dominant i no complirà la seva promesa de cooperar. A això el Bernat ho anticiparà i, per tant, l’Anna no tindrà cap interès en cooperar a la primera etapa

 Així, tots dos desertaran a la primera i tots dos ho tornaran a fer a la segona (independentment del que hagin fet a la primera)

 La pastanaga no funciona perquè és un promesa no creïble: un cop passada la primera etapa l’Anna no té cap incentiu per a cooperar a la segona

 Necessitem més etapes? 18

10

Equilibri de Nash Perfecte en Subjocs

 Per a solucionar el joc, utilitzem el concepte d’equilibri de Nash Perfecte en Subjocs (ENPS) o “inducció cap a enrere per subjocs”

 La “recepta” era: 1.Trobar un subjoc que tingui nodes terminals (l’últim)

2.Determinar l’equilibri de Nash d’aquest subjoc

3.Substituir tot el joc per un node terminal que té els pagaments corresponents a l’EN del subjoc

4.Tornar a aplicar el mateix procediment a partir del pas (1) al joc reduït

19

Solució del Joc repetit un cop

 Al Joc de Coordinació repetit hi ha un únic ENPS:

((D,(D,D,D,D)) , (D,(D,D,D,D)))

amb utilitats ( 2, 2 )

20

11

21

A

B ( 3 , 8 )

( 6 , 6 )

B

C

D

C

D

A

B

B

C

D

C

C

D

D

( 4 , 4 )

( 8 , 3 )C

D

A

B ( 0 , 10 )

( 3 , 8 )

B

C

D

C

D

( 1 , 6 )

( 5 , 5 )C

D

A

B ( 5 , 5 )

( 8 , 3 )

B

C

D

C

D

( 6 , 1 )

( 10 , 0 )C

D

A

B ( 1 , 6 )

( 4 , 4 )

B

C

D

C

D

( 2 , 2 )

( 6 , 1 )C

D

Afegir més etapes?

 Si els jugadors són racionals, arribaran a la conclusió que cal desertar des de la primera etapa!

 El raonament formal per a arribar a aquesta conclusió és: 1. Independentment del que hagi passat a totes les etapes

anteriors, a la darrera etapa no hi ha cap raó per a cooperar. L’estratègia dominant és desertar i, per tant, l’EN és (D,D)!!

2. A la penúltima etapa els dos jugadors anticiparan el que passarà a la darrera etapa i veuran que no hi ha possibilitats de premiar o castigar de manera creïble a l’última etapa

3. Per tant, no hi ha manera d’impedir que tots dos desertin també a la penúltima etapa. De nou l’EN és (D,D)!!

4. L’argument es pot anar repetint per a totes les etapes fins a arribar a la primera

22

12

Què dificulta la cooperació?

 Hi ha tres causes que analitzarem separadament:

1. La naturalesa del joc bàsic que es va repetint a cada etapa

2. L’última etapa

3. L’anàlisi de l’equilibri (ENPS en aquest cas)

23

1. La Naturalesa del Joc bàsic

 Per a induir a la cooperació cal tenir la possibilitat de donar premis i càstigs a l’etapa final

 A l’última etapa les accions que es trien han de ser necessàriament un EN del joc bàsic (els jugadors són racionals)

 El Joc de Coordinació només té un EN i, per tant, no dóna cap flexibilitat per a atorgar premis o càstigs

 Així, l’única manera per a aconseguir que hi hagi cooperació és que el joc bàsic tingui més d’un EN

24

13

2. L’última etapa

 La conclusió que la cooperació no és possible es basa en què els dos jugadors saben des del començament quina etapa serà l’última (és a dir, quants cops es jugarà al joc)

 També es basa en la hipòtesi de que no hi haurà cap mena d’interacció futura addicional entre els jugadors

 Així, l’única manera per a aconseguir que hi hagi cooperació és que hi hagi incertesa sobre el dia a partir del qual no hi haurà més interaccions amb l’altre jugador

25

3. L’Anàlisi de l’Equilibri (ENPS)

 El concepte d’ENPS implica triar “desertar” al llarg de tota la trajectòria d’equilibri

 Com hem vist a l’exemple del Joc de Coordinació (les promeses de l’Anna i la millor resposta del Bernat), la cooperació pot ser una resposta òptima per a un jugador en una etapa que no sigui l’última si:

1. L’altre jugador tria una estratègia que no és d’equilibri

2. Es premia la cooperació i es castiga la deserció

 Però, si és coneixement comú que el teu adversari és racional a totes les etapes futures independentment de la història passada, tots dos triaran D a la primera etapa

26

14

Un exemple: La Competència de Preus

 Hi ha n empreses que proporcionen serveis per a la celebració del Jocs Olímpics (per exemple, venen begudes a l’estadi). Totes saben que el joc, repetit, té un termini inflexible: la fi dels Jocs Olímpics

 Competeixen en preus i els productes que venen són absolutament homogenis, de manera que només ven qui ofereix el preu més baix

 El cost unitari c és el mateix per a totes les empreses

 Els Jocs tenen una durada fixa i coneguda i cada dia (etapa) les empreses tenen l’oportunitat de baixar el preu

 En aquest cas, el comportament cooperatiu (entre les empreses) és acordar un preu igual per a totes i superior al cost unitari i fomentar la cooperació amb el càstig de posar preus baixos en el futur si algú es desvia

 Però, les promeses i amenaces no són creïbles!! Des del primer dia dels Jocs totes les empreses posaran el preu pi = c corresponent a l’equilibri de Bertrand, i totes obtindran benefici 0 a totes les etapes 27

Idees Generals sobre els Jocs

Finitament Repetits

 Si el joc bàsic que es va repetint té un sol EN, aleshores el joc repetit té un únic ENPS consistent en triar l’EN a cada etapa

 Si el joc bàsic té múltiples EN, aleshores hi haurà múltiples ENPS

28

15

Idees Generals sobre els Jocs

Finitament Repetits

 En particular, si considerem el següent joc de cooperació repetit:

 Triar el mateix EN a cada etapa serà un ENPS (p.ex. triar B a cada etapa)

 Un altre ENPS seria triar T en les etapes senars i B en les parells

29

2 0

2 0

0 1

0 1

Jugador 1

T

C

D

Jugador 2

B

3. Jocs Repetits Infinitament

16

Joc sense última etapa

 Considerem ara un joc bàsic (com el Joc de Coordinació anterior) que es repeteix infinites vegades. Ja no hi ha una última etapa.

 Per tal de donar suport a comportaments cooperatius ens caldrà ara un nou element: la “paciència” (els guanys futurs han de tenir prou valor en relació als presents)

31

Estratègia del ‘Disparador Implacable’

 Suposem que es juga al Joc de Coordinació infinites vegades

 Imaginem que el Bernat li diu a l’Anna: “Cooperaré sempre i quan tu hagis cooperat en totes les etapes anteriors. Una sola deserció teva “dispararà” irreversiblement que jo mai més torni a cooperar”

 Així, la resposta òptima de l’Anna és cooperar per sempre (suposant, com veurem, que té prou paciència)

 L’Anna també s’haurà de protegir contra la deserció i adoptar la mateixa estratègia que el Bernat

32

17

Estratègia del ‘Disparador Implacable’

 Però això no és suficient, què passa si l’Anna deserta una vegada per error?

 Aleshores, el Bernat desertarà per sempre i per tant, l’Anna hauria de desertar per sempre també... Hem de completar l’estratègia amb una afirmació addicional:

 El Bernat afegeix: “Per tal de que estiguis segura de que vaig en serio, també em castigaré a mi mateix. Si en algun moment deserto, ho seguiré fent per sempre”

 Si tots dos adopten aquesta estratègia, el perfil estratègic serà un ENPS (si els dos jugadors són prou pacients)

33

Agregar els Guanys

 En el cas de l’exemple anterior, si un jugador considera la possibilitat de desertar o no, hauria de comparar els guanys que li reporten les dues opcions: 1. Si segueix l’estratègia proposada pel Bernat, tothom

cooperarà sempre i els pagaments seran una suma indefinida:

2. Si a l’etapa n = 101 decideix desertar, els pagaments seran:

34

0

3 3 3 3 ... 3 ... 3 i

=

+ + + + + + =∑

100

0 102

3 5 1 i i

= =

+ +∑ ∑

18

El Descompte dels Guanys Futurs

 Suposem que hi ha un número 0 < δ < 1 que mesura quin és el valor d’una unitat de guany en termes dels guanys d’avui

 Dit d’una altra manera, el jugador és indiferent entre una unitat de guany demà i δ unitats de guany avui

 Així, hem de redefinir la comparació anterior: 1. Si segueix l’estratègia proposada pel Bernat, tothom

cooperarà sempre i els pagaments seran una suma infinita:

2. Si a l’etapa n = 101 decideix desertar, els pagaments seran:

35

2 3

0

3 3 3 3 ... 3 i

i

δ δ δ δ ∞

=

+ + + + =∑

100 101

0 102

3 5 1i i

i i

δ δ δ ∞

= =

+ +∑ ∑

El Descompte dels Guanys Futurs

36

 Exemple: El Factor de Descompte a la petita pantalla: tall d’una escena de la sèrie THE KNICK (episodi 2x05)

19

Sumes Infinites amb Descompte

 Volem calcular l’expressió:

 Observem que

 Aïllant x obtenim

 Per tant,

 Així, la suma descomptada de guanys incorpora la “paciència” (o impaciència). Com més proper a 1 sigui el valor del factor de descompte, δ, més pacient és el jugador

37

2 3

0

1 ... i

i

x δ δ δ δ ∞

=

= + + + + =∑

( )2 31 1 ... 1x xδ δ δ δ δ= + + + + + = +

1

1 x

δ =

2 3

0

1 1 ...

1 i

i

δ δ δ δ δ

=

+ + + + = = −∑

Estratègia del ‘Disparador Implacable’

 Considerem el Joc

de Coordinació

 Cooperar sempre, dóna:

 Desertar a la primera etapa, dóna:

 Per tant, la cooperació surt a compte sí:

és a dir, si δ ≥ ½ 38

3 5

3 0

0 1

5 1

Jugador A

Cooperar Desertar

Cooperar

Desertar

Jugador B

2 3

0

3 3 3 3 3 ... 3

1 i

i

δ δ δ δ δ

=

+ + + + = = −∑

2 3

1 0

5 ... 5 5 5 1

i i

i i

δδ δ δ δ δ δ δ

∞ ∞

= =

+ + + + = + = + = + −∑ ∑

3 5

1 1

δ δ δ

≥ + − −

20

Credibilitat i Cooperació

 És creïble l’amenaça de desertar a l’etapa n?

 Si el Bernat ha triat desertar en alguna etapa anterior, segons l’estratègia del disparador, desertarà a la següent

 Donat que l’Anna respondrà jugant D per sempre, és obvi que el Bernat preferirà seguir desertant per sempre també (1 millor que 0)

 I viceversa si és l’Anna qui deserta primer

 Així, l’amenaça és creïble!

 Es coopera si, i només si, els dos jugadors són prou pacients (si δ ≥ ½)

39

Estratègia de “la Llei del talió”

 “Tal faràs, tal trobaràs” (TxT) combina dues idees bàsiques:  Començar per comportar-se cooperativament

 Premiar el bon comportament i castigar el dolent

 En el cas del Joc de Cooperació, es comença amb C i a partir d’aquí es replica exactament el que ha fet el teu adversari en l’etapa anterior

40

21

Estratègia de “la Llei del talió”

 TxT no és una bona estratègia si els dos jugadors la utilitzen i són suficientment pacients (valoren força el futur)

 Si un dels jugadors comet un error, llavors els jugadors queden atrapats per sempre en una espiral de cooperació i desercions

 Imaginem que el Jugador 1 deserta, per error, a la primera etapa i es juga (D,C)

 Si els dos jugadors segueixen l’estratègia TxT la successió de jugades posteriors serà:

(C,D) – (D,C) – (C,D) – (D,C) – ... 41

Estratègia de “la Llei del talió”

 Els guanys obtinguts pel Jugador 2 aplicant TxT seran:

 Si en comptes d’aplicar TxT a la segona ronda, el Jugador 2 perdonés l’error, llavors seguirien cooperant per sempre, i el Jugador 2 obtindria:

42

( ) ( ) 2 3 2 4

2

1 0 5 0 5 ... 5 5 5 ... 5

1 δ δ δ δ δ δ δ

δ + + + + = + + + =

( ) 2 3 10 3 3 3 ... 3

1 δ δ δ δ

δ + + + + =

22

Estratègia de “la Llei del talió”

 Sota quines condicions serà millor perdonar que seguir amb el TxT?

 Cal que es verifiqui que:

 Així, si el Jugador 2 és suficientment pacient (si δ > 2/3), llavors té incentius a desviar-se de TxT i, per tant, aquesta estratègia no forma part d’un ENPS

43

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

2

2

1 1 5 3

11

5 1 3 1

5 1 3 1 1

5 3 1

2 3

δ δ δδ

δ δ

δ δ δ δ

δ

< −−

− < −

− < − +

< + >

Estratègia del ‘Disparador Indulgent’

 Suposem que el Bernat diu a l’Anna: “Si algun dia em traeixes, et castigaré (desertar). Però estic disposat a tornar a cooperar, i ho faré si em demostres que te’n has penedit cooperant un altre cop. Un cop hagi vist que te’n has penedit, et perdonaré i tornaré a cooperar. Per suposat, et tornaré a castigar si em traeixes un altre cop!”

 Si l’Anna deserta un cop i mostra penediment immediatament, els guanys en aquests dos períodes seran 5 + 0δ

 Si en comptes de trair-lo i penedir-se cooperés aquestes dues etapes obtindria 3 + 3δ

44

23

Estratègia del ‘Disparador Indulgent’

 Si l’Anna és prou pacient (δ > 2/3), veurà que

5 + 0δ < 3 + 3δ

i desertar no li surt a compte

 Així, el Bernat i l’Anna han trobat una estratègia millor que qualsevol de les anteriors!

45

Jocs Repetits: Conclusions

 Evitar situacions que tinguin un final exacte, definit. L’últim dia genera problemes!!

 Si hi ha un últim dia (joc finit) o si les possibilitats futures per a protegir-se contra les temptacions de ‘desertar’ són insuficients (jocs infinits on l’equilibri no sigui ‘cooperar’), caldrà utilitzar contractes que es puguin fer complir per llei

46

24

4. Aplicacions

Col·lusió

Col·lusió Tàcita

 La col·lusió tàcita és un acord implícit per a comportar-se de manera que tots els jugadors estiguin millor

 S’arriba a l’acord, tot i que és implícit (no es signa cap contracte) ja que es castiga la desviació

48

25

Col·lusió Tàcita

 Un exemple clàssic és la competència en preus

 Condicions favorables per al seu funcionament efectiu:  Interacció repetida sense final (o almenys amb un final

incert i allunyat)

 Interaccions freqüents, poc temps entre interaccions, i jugadors pacients

 Cost reduït de tirar enrere una acció, fàcilment reversibles

 Possibilitat de detectar ràpidament les desviacions dels oponents

 Guanys petits de les desviacions a curt termini 49

Un exemple: Guerra de preus del Tabac

 Philip Morris va fer un descompte del 40% en el preu dels cigarrets un dissabte a finals de 1993, tot esperant que 1. La baixada de preus passaria desapercebuda pel seu

principal competidor BAT

2. BAT no tindria prou existències per a fer front a un increment de la demanda si també decidia baixar els preus

 Resultat: Phillip Morris es va equivocar!! BAT va respondre en quatre hores, no va tenir problemes d’existències, i al cap d’un any PM havia perdut 8 milions de dòlars sense que haguessin canviat les participacions de mercat!!

50

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 26 páginas totales
Descarga el documento