trigonometria, Apuntes de Cálculo. Universidad Politécnica de Cartagena (UPCT)
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trigonometria, Apuntes de Cálculo. Universidad Politécnica de Cartagena (UPCT)

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Asignatura: Cálculo, Profesor: Juan Carlos Sánchez Monreal, Carrera: Ingeniería Telemática, Universidad: UPCT
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Tema 3

Trigonometŕıa.

3.1. Trigonometŕıa plana

Trigonometŕıa, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las fun- ciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometŕıa son la trigonometŕıa plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometŕıa esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superfi- cie de una esfera. En esta sección nos centraremos en el estudio de los conceptos fundamentales de la trigonometŕıa plana.

Definición 3.1 (Ángulo). Un ángulo se define como la porción comprendida entre dos semirrectas con origen en un mismo punto, denominado vértice del ángulo.

Unidades de medición de ángulos

Grado: Un ángulo tiene la amplitud de un grado si ésta es igual a la nonagésima parte de la de un ángulo recto. El grado presenta dos subunidades; el minuto que es la sexagésima parte de un grado y el segundo que es la sexagésima parte de un minuto.

Para expresar un ángulo en grados lo podemos realizar de dos formas; forma compleja que se trata de expresarlo en grados minutos y segundos y la forma incompleja que se trata de expresarlo en grados siguiendo el sistema decimal.

Forma compleja: 36o1236” Forma incompleja: 36,21o

2 Trigonometŕıa.

Radián: Un radián es la medida del ángulo central1 de una circunferencia que abarca un arco de longitud igual a la del radio. La medida, en radianes, de un ángulo central de una circunferencia se expresa como la razón del arco determinado por el ángulo y el radio de la circunferencia.

Entre grados y radianes existe una relación de proporcionalidad directa, por tanto para la conversión de una medida a otra bastará con tener en cuenta que 2π rad = 360o y realizar una simple regla de tres.

Grados 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

Radianes 0 π 6

π 4

π 3

π 2

π 3π 2

2π

Cuadro 3.1: Relación grados-radianes entre los ángulos notables.

Teniendo en cuenta que las semirrectas son diferentes en cuanto a su identifi- cación (lado inicial y final), se suele identificar ángulos de magnitud positiva si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj.

1Ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.

3.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo 3

3.2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Se define las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo como:

sen = cateto opuesto

hipotenusa cos =

cateto contiguo

hipotenusa tg =

cateto opuesto

cateto contiguo

Si consideremos el triángulo rectángulo

A B

C

a b

c

cuyos lados tienen longitud a, b y c y sus ángulos una amplitud A, B y C, entonces:

sen B = b

a cos B =

c

a tg B =

b

c

sen C = c

a cos C =

b

a tg C =

c

b

A las inversas de las anteriores razones trigonométricas se les llama cosecante, secante y cotangente del ángulo α.

cosec α = 1

sen α sec α =

1

cos α cotg α =

1

tg α

Observación 1. Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo cualquiera, no importa el triángulo rectángulo escogido para tal fin, ya que si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo en común éstos son semejantes y la longitud de sus lados están en la misma proporción por lo que el resultado obtenido seŕıa el mismo. En consecuencia, las razones trigonométricas están bien definidas.

Ejemplo 3.2.

Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo

A B

C

a b = 3

c = 4 Para calcular las razones necesitamos calcular la hipotenusa, utilizando el teore-

ma de Pitágoras a2 = b2 + c2, se obtiene que a = 5, por tanto:

sen B = 3

5 cos B =

4

5 tg B =

3

4 sen C =

4

5 cos C =

3

5 tg C =

4

3

4 Trigonometŕıa.

Relaciones fundamentales de la trigonometŕıa

1. sen2 α + cos2 α = 1

2. tg α = sen α

cos α

3. 1 + tg2 α = 1

cos2 α

Ejercicio 1. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α sabiendo:

a) sen α = 2 3

b) tg α = 2

a) Despejando en la primera relación fundamental se obtiene que

cos α =

1sen2 α = √

14 9

=

5 3

, utilizando la segunda relación tg α =

sen α cos α

= 25

= 2

5 5

.

b) Despejando en la primera relación fundamental se obtiene que

cos α = 11+tg2 α

= 15

=

5 5

y ahora despejando en la segunda

sen α = tg α · cos α = 2

5 5

Ejercicio 2. Demostrar que tg2 α− sen2 α = tg2 α · sen2 α.

tg2 α− sen2 α = sen 2 α

cos2 α − sen2 α = sen

2 α− sen2 α · cos2 α cos2 α

= sen2 α(1cos2 α)

cos2 α ,

despejando en la primera relación se obtiene que sen2 α = 1cos2 α, entonces

tg2 α− sen2 α = sen 2 α(1cos2 α)

cos2 α =

sen2 α · sen2 α cos2 α

= sen2 α

cos2 α · sen2 α =

= tg2 α · sen2 α.

3.3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Dado un ángulo cualquiera α, éste lo podemos considerar como un ángulo central de la circunferencia goniométrica2 cuyo lado inicial está sobre el segmento que une el origen con el punto (1, 0). El lado final del ángulo cortará a la circunferencia en un punto de coordenadas (x, y), se definen las razones trigonométricas de este ángulo como:

sen α = y cos α = x tg α = y

x

2Se denomina circunferencia goniométrica a aquella circunferencia centrada en el origen de coordenadas y de radio unidad.

3.4 Reducción al primer cuadrante 5

1

1

11 x

y

α

Figura 3.1: Circunferencia goniométrica.

Razones 1er Cuadrante 2o Cuadrante 3er Cuadrante 4o Cuadrante sen α + + − − cos α + − − + tg α + +

Cuadro 3.2: Signo de las razones trigonométricas en cada cuadrante.

Ejercicio 3. Sabiendo que sen α =

3 4

y que α es un ángulo del segundo cuadrante, calcular las restantes razones trigonométricas.

Es un ejercicio igual que el 1, con la única diferencia que las razones habrá que calcularlas con su signo.

cos α = −√1sen2 α =

13 16

= − √

13 4

tg α = sen α cos α

= − √

313

= − √

39 13

3.4. Reducción al primer cuadrante

En esta sección vamos a comparar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera con las de uno que esté situado en el primer cuadrante.

Ángulos suplementarios: α y π − α

Dos ángulos son suplementarios si suman π radianes, es decir dos ángulos com- plementarios son α y π − α y la relación entre sus razones trigonométricas es:

sen(π − α) = sen α cos(π − α) = cos α tg(π − α) = tg α

Ejemplo 3.3.

sen 5π 6

= sen(π − π 6 ) = sen π

6 = 1

2 , cos 5π

6 = cos π

6 =

3

2 , tg 5π

6 = tg π

6 =

3

3

6 Trigonometŕıa.

Grados 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

Radianes 0 π 6

π 4

π 3

π 2

π 3π 2

2π

sen 0 1 2

2

2

3

2 1 0 1 0

cos 1

3 2

2

2 1 2

0 1 0 1 tg 0

3

3 1

3 @ 0 @ 0

Cuadro 3.3: Razones trigonométricas de los ángulos notables.

Ángulos que se diferencian en π radianes: α y π + α

Dos ángulos que se diferencian en π radianes han de ser de la forma α y π + α y la relación entre sus razones trigonométricas es:

sen(π + α) = sen α cos(π + α) = cos α tg(π + α) = tg α

Ejemplo 3.4.

sen 5π 4

= sen(π + π 4 ) = sen π

4 =

2

2 , cos 5π

4 = cos π

4 =

2

2 , tg 5π

4 = tg π

4 = 1

Ángulos opuestos: α y −α

La relación de las razones trigonométricas entre ángulos opuestos es:

sen(−α) = sen α cos(−α) = cos α tg(−α) = tg α

Tener en cuenta que el ángulo 2π − α tiene las mismas razones que −α. Ejemplo 3.5.

sen −π 3

= sen π 3

= − √

3 2

, cos −π 3

= cos π 3

= 1 2 , tg −π

3 = tg π

3 = −√3

Ángulos complementarios α y π

2 − α

Dos ángulos son complementarios si suman π 2

radianes, es decir dos ángulos complementarios son α y π

2 − α y la relación entre sus razones trigonométricas son:

sen (π

2 − α

) = cos α cos

(π 2 − α

) = sen α tg

(π 2 − α

) = cotg α

Ejemplo 3.6.

sen π 3

= sen(π 2 − π

6 ) = cos π

6 =

3

2 , cos π

3 = sen π

6 = 1

2 , tg π

3 = cotg π

6 =

3

3.5 Fórmulas trigonométricas 7

3.5. Fórmulas trigonométricas

Suma y diferencia de ángulos

sen(α± β) = sen α · cos β ± cos α · sen β

cos(α± β) = cos α · cos β ∓ sen α · sen β

tg(α± β) = tg α± tg β 1tg α · tg β

Ángulo doble

sen(2α) = 2 sen α · cos α

cos(2α) = cos2 α− sen2 α

tg(2α) = 2 tg α

1tg2 α

Ángulo mitad

sen α

2 = ±

√ 1cos α

2

cos α

2 = ±

√ 1 + cos α

2

tg α

2 = ±

√ 1cos α 1 + cos α

Transformación de sumas y rectas en productos

sen α + sen β = 2 sen (

α+β 2

) · cos (α−β 2

)

sen α− sen β = 2 cos (α+β 2

) · sen (α−β 2

)

cos α + cos β = 2 cos (

α+β 2

) · cos (α−β 2

)

cos α− cos β = 2 sen (α+β 2

) · sen (α−β 2

)

8 Trigonometŕıa.

Ejercicio 4. Sabiendo que sen α =

5 3

y cos β = 4 5 , calcular cos(α + β), sen(2β) y

tg α 2 .

Las formulas para resolver el ejercicio necesitan previamente calcular las demás razones de α y β.

cos α =

1sen2 α = √

15 9

= 2 3

sen β =

1cos2 α = √

116 25

= 3 5

cos(α + β) = cos α · cos β − sen α · sen β = 2 3 · 4

5

5

3 · 3

5 = 83

5

15

sen(2β) = 2 sen β · cos β = 2 · 4 5 · 3

5 = 24

25

tg α 2

= ±

1cos α 1+cos α

=

√ 12

3

1+ 2 3

= √

1 5

=

5 5

Ejercicio 5. Calcular sen(3α) en función de sen α y cos α.

sen(3α) = sen(2α + α) = sen(2α) · cos(α) + cos(2α) · sen α = = 2 sen α·cos α·cos α+(cos2 α−sen2 α) sen α = 2 sen α·cos2 α+cos2 α·sen α−sen3 α =

= 3 cos2 α · sen α− sen3 α = sen α · (3 cos2 α− sen2 α).

sen(3α) = sen α · (3 cos2 α− sen2 α)

Ejercicio 6. Demostrar que 1tg2 α

2

1 + tg2 α 2

= cos α.

tg α 2

= ±

1cos α 1+cos α

tg2 α 2

= 1cos α 1+cos α

1tg2 α 2

1 + tg2 α 2

= 11cos α

1+cos α

1 + 1cos α 1+cos α

= 1+cos α−1+cos α

1+cos α 1+cos α+1cos α

1+cos α

= 2 cos α

2 = cos α.

3.6. Resolución de ecuaciones trigonométricas

Esta sección la dedicaremos a resolveremos ecuaciones sencillas en las que apare- cen razones trigonométricas.

Resolveremos ecuaciones del tipo P (sen x, cos x, tg x) = 0 donde P es una fun- ción polinómica. La forma común de proceder es, utilizando las relaciones fundamen- tales o fórmulas trigonométricas, reescribir la ecuación en función de una sola razón trigonométrica y posteriormente realizar un cambio de variable para aśı obtener una ecuación polinómica cómoda de resolver.

Ejemplo 3.7. Vamos a resolver las siguientes ecuaciones:

1. sen2 x− sen x = cos2 x

3.6 Resolución de ecuaciones trigonométricas 9

En ecuaciones de este tipo de ecuaciones donde sólo aparecen seno y coseno, utilizando la igualdad sen2 x + cos2 x = 1, la podemos reescribir en función de cualquiera de las dos razones, por lo que hay que ver cual es la mejor opción. En nuestro caso es conveniente cambiar el coseno por seno.

Utilizando cos2 x = 1sen2 x, la ecuación queda sen2 x−sen x = 1sen2 x → → 2 sen2 x−sen x−1 = 0 y haciendo el cambio z = sen x queda 2z2−z−1 = 0 cuya solución es z = 1 y z = 1

2 , por lo que x valdrá:

{ z = 1 sen x = 1 → x = π

2 + 2

z = 1 2 sen x = 1

2 → x = −π

6 + 2kπ, 7π

6 + 2

k ∈ Z

2. sen x + cos x =

2

En esta ecuación con cualquier opción de cambio obtendremos la misma ecuación, por ejemplo cambiemos el seno a coseno.

sen x =

1cos2 x, por lo que la ecuación queda √1cos2 x + cos x = 2, hacemos el cambio de variable z = cos x y queda

1− z2 + z = 2

(z−√2)2 = (−√1− z2)2 → z222z + 2 = 1− z2 2z222z + 1 = 0 cuya solución es z =

2

2 , por lo que x valdrá:

z =

2 2 cos x =

2

2 → x = ±π

4 + 2kπ k ∈ Z, pero la única solución válida

es la positiva.

3. 3 sen(2x) · cos x = 2 sen3 x Teniendo en cuenta que sen(2x) = 2 sen x · cos x, la ecuación se convierte en 6 sen x · cos2 x − 2 sen3 x = 0 2 sen x · (3 cos2 x − sen2 x) = 0. Utilizando cos2 x = 1 sen2 x, queda 2 sen x · (3 4 sen2 x) = 0 y haciendo el cambio z = sen x queda 2z(34z2) = 0 cuya solución es z = 0 y z = ±

3

2 , por lo que

x valdrá:{ z = 0 sen x = 0 → x = kπ z = ±

3

2 sen x = ±

3

2 → x = ±π

3 +

k ∈ Z

4.

{ sen x + cos y =

2

x + y = π

2

Despejando en la segunda ecuación y = π 2 − x y sustituyendo en la primera

queda sen x + cos(π 2 − x) = 2. Teniendo en cuanta que cos(π

2 − x) = sen x,

nos queda 2 sen x =

2 sen x =

2 2 → x = π

4 + 2kπ, 3π

4 + 2kπ.

solución:

{ x = π

4 + 2kπ → y = π

4 2

x = 3π 4

+ 2kπ → y = −π 4 2kπ k ∈ Z

10 Trigonometŕıa.

3.7. Resolución de Triángulos

Resolver un triángulo es hallar todos los elementos de este, es decir, sus tres lado y sus tres ángulos.

A partir de resultados ya vistos y los que veremos a continuación, es posible encontrar todos los elementos de un triángulo cualesquiera conociendo tres de sus elementos, siendo alguno de los datos conocidos la longitud de uno de sus lados.

Figura 3.2: Triángulo

Teorema 3.8 (Seno).

Dado un triángulo cualquiera como el de la figura 3.2, se cumple:

a

sen A =

b

sen B =

c

sen C

Teorema 3.9 (Coseno).

Dado un triángulo cualquiera como el de la figura 3.2, se cumple:

  

a2 = b2 + c2 2b · c · cos A b2 = a2 + c2 2a · c · cos B c2 = a2 + b2 2a · b · cos C

Ejercicio 7. Resolver, si es posible, los siguientes triángulos:

a) a = 25 cm., B = 36o y C = 58o

A = 180o − (B + C) = 86o Utilizando el teorema del seno:

b = a · sen B sen A

= 14,73 cm. c = a · sen C sen A

= 21,25 cm.

3.7 Resolución de Triángulos 11

b) b = 40 cm., c = 45 cm. y A = 62o

Utilizando el teorema del coseno:

a =

402 + 452 + 2 · 40 · 45 · cos 62o = 43,987 cm.

Utilizando el teorema del seno:

sen B = b · sen A

a = 0,8 → B = 53,38o

C = 180o − (A + B) = 64,62o

c) b = 45 cm., c = 50 cm. y B = 40o

Utilizando el teorema del seno: sen C = c · sen B

b = 0,71 → C = 45,6o

A = 180o − (B + C) = 94,4o → a = b · sen A sen B

= 69,8 cm.

d) a = 13 cm., b = 12 cm. y c = 5 cm.

Utilizando el teorema del coseno:

cos A = b2 + c2 − a2

2bc = 0 → A = 90o

Utilizando el teorema del seno:

sen B = b · sen A

a =

12

13 → B = 67,38o

C = 180o − (A + B) = 22,62o

Ejercicio 8. Halla la altura de una torre sabiendo que desde un punto situado a 20 m. de la base se observa el extremo superior de la torre bajo un ángulo de 55o.

α = 55o

h =?

20 m. tg 55o =

h

20 → h = 20 · tg 55o = 28,56 m.

Ejercicio 9. Desde los extremos de una pista del aeropuerto, que mide 2300 m. de largo, se observa un avión bajo los ángulos de 30o y 45o, respectivamente. ¿A qué altura del suelo vuela el avión?. (El pie de la perpendicular del avión se encuentra entre los extremos de la pista).

12 Trigonometŕıa.

45o30o x

h =?

2300 m.

  

tg 30o = h

2300− x tg 45o =

h

x → h = x

tg 30o = h

2300− h → h = 2300 · tg 30o 1 + tg 30o

= 841,85 m.

3.8. Funciones trigonométricas

Propiedades de la función sen x

Es una función continua en R y acotada, su imagen es el intervalo [1, 1]. sen : R[1, 1]

Es una función impar, sen(−x) = sen x, y periódica de periodo 2π. Corta al eje OY en el origen y al eje OX en los puntos {(kπ, 0) : k ∈ Z}. Es positiva en los intervalos {(2kπ, (2k + 1)π) : k ∈ Z} y negativa en {((2k + 1)π, 2) : k ∈ Z}.

Es creciente en los intervalos {(

(4k−1)π 2

, (4k+1)π 2

) : k ∈ Z

} y decreciente en{(

(4k+1)π 2

, (4k+3)π 2

) : k ∈ Z

} . Tiene un máximo relativo en los puntos

{x = (4k+1)π 2

: k ∈ Z} y un mı́nimo relativo en {x = (4k−1)π 2

: k ∈ Z}, los cuales son también absolutos.

Es cóncava en los intervalos {(2kπ, (2k + 1)π) : k ∈ Z} y convexa en {((2k + 1)π, 2) : k ∈ Z}.

Figura 3.3: Gráfica de la función y = sen x

3.8 Funciones trigonométricas 13

Propiedades de la función cos x

Es una función continua en R y acotada, su imagen es el intervalo [1, 1].

cos : R[1, 1]

Es una función par, cos(−x) = cos x, y periódica de periodo 2π.

Corta al eje OY en el punto (0, 1) y al eje OX en los puntos

{( (2k+1)π 2

, 0) : k ∈ Z}. Es positiva en los intervalos {(

(4k−1)π 2

, (4k+1)π 2

) : k ∈ Z

}

y negativa en {(

(4k+1)π 2

, (4k+3)π 2

) : k ∈ Z

} .

Es creciente en los intervalos {((2k + 1)π, 2) : k ∈ Z} y decreciente en {(2kπ, (2k + 1)π) : k ∈ Z}. Tiene un máximo relativo en los puntos {x = 2: k ∈ Z} y un mı́nimo relativo en {x = (2k +1)π : k ∈ Z}, los cuales son también absolutos.

Es cóncava en los intervalos {(

(4k−1)π 2

, (4k+1)π 2

) : k ∈ Z

} y convexa en{(

(4k+1)π 2

, (4k+3)π 2

) : k ∈ Z

} .

Figura 3.4: Gráfica de la función y = cos x

Propiedades de la función tg x

Es una función continua en R excepto en los puntos { (2k+1)π 2

: k ∈ Z}, donde presenta una discontinuidad de salto infinito. Es una función sobreyectiva.

tg : RR

Es una función impar, tg(−x) = tg x, y periódica de periodo π.

14 Trigonometŕıa.

Corta al eje OY en el origen y al eje OX en los puntos {(kπ, 0) : k ∈ Z}. Es positiva en los intervalos {(kπ, (2k+1)π

2 ) : k ∈ Z} y negativa en

{( (2k−1)π 2

, kπ) : k ∈ Z}.

Las rectas x = (2k+1)π 2

son aśıntotas verticales de y = tg x.

ĺım x→ (2k+1)π

2

tg x = +ĺım

x→ (2k+1)π 2

+ tg x = −∞

Es una función creciente en todo su dominio.

Es convexa en los intervalos {(kπ, (2k+1)π 2

) : k ∈ Z} y cóncava en {( (2k−1)π

2 , kπ) : k ∈ Z}.

Figura 3.5: Gráfica de la función y = tg x

3.9. Funciones trigonométricas inversas

Hasta el momento, dado un ángulo nos proponemos obtener las razones trigonométri- cas asociadas a dicho ángulo. Podemos plantearnos la pregunta rećıproca: Si cono- cemos el valor de la razón trigonométrica, ¿podemos conocer el ángulo con el que trabajamos?. La respuesta es afirmativa definiendo de manera adecuada el conjunto donde podemos definir de manera rećıproca las funciones trigonométricas. Aśı, se definen las funciones arcoseno (arc sen), arcocoseno (arc cos) y arcotangente (arc tg) como las funciones inversas del seno, coseno y tangente, respectivamente. Esto es:

  

arc sen x = α ⇔ sen α = x arc cos x = α ⇔ cos α = x arc tg x = α ⇔ tg α = x

Sabemos que hay muchos ángulos que tienen la misma razón trigonométrica, por tanto para quedar bien definidas las funciones inversas debemos de fijar un rango para cada una de ellas, aśı estas funciones quedan:

3.9 Funciones trigonométricas inversas 15

arc sen : [1, 1] [−π 2

, π 2 ] arc cos : [1, 1] [0, π]

Gráfica de la función y = arc sen x Gráfica de la función y = arc cos x

arc tg : R[−π 2

, π 2 ]

Gráfica de la función y = arc tg x

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