Algèbre – correction des exercices 1, Exercices de Algèbre linéaire. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Algèbre – correction des exercices 1, Exercices de Algèbre linéaire. Université Bordeaux I

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Algèbre – correction des exercices 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La fonction exponentielle, la fonction définie, les variations de la fonction.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Sud \ 13 novembre 2012

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Restitution organisée de connaissance

L’objet de cette question est de démontrer que lim x→+∞

ex

x =+∞.

On suppose connus les résultats suivants :

• La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée • e0 = 1 • Pour tout réel x, on a ex > x • Soit deux fonctions v et w définies sur l’intervalle [A ; +∞[, où A est un réel positif.

Si pour tout x de [A ; +∞[, v(x)6w(x) et si lim x→+∞

v(x)=+∞, alors lim x→+∞

w(x)=+∞.

a. Soit ϕ la fonction définie sur [0 ; +∞[ par ϕ(x)= ex x2

2 .

Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, ϕ(x)> 1.

b. En déduire que lim x→+∞

ex

x =+∞.

2. Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x)= 1

2 xe−

1 2 x .

a. Étudier la limite de la fonction f en +∞.

b. Étudier les variations de la fonction f , puis dresser son tableaude variations sur [0 ; +∞[.

Partie B

On fait absorber à un animal unmédicament dosé à 1mg de principe actif. Cemédicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle g (t) la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l’instant t exprimé en heures (t > 0). On constate expérimentalement que la fonction g est solution de l’équation différentielle

(E ) : y ′+ 1

2 y =

1

2 e−

1 2 t .

1. On considère l’équation différentielle

(

E ′ )

: y ′+ 1

2 y = 0

a. Déterminer le réel a pour que la fonction u définie par l’équation u(t) = ate− 1 2 t soit

solution de l’équation (E ).

b. Montrer qu’une fonction v est solution de l’équation (E ) si, et seulement si, la fonction

h = v u est solution de l’équation (

E ′ )

.

c. Résoudre l’équation (

E ′ )

.

d. En déduire les solutions de l’équation (E ).

2. On suppose qu’à l’instant t = 0, la quantité de principe actif présente dans le sang est nulle.

Montrer que la solution de l’équation différentielle (E ) qui vérifie cette condition initiale est la fonction f étudiée dans la partie A.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. On donne l’algorithme suivant :

Entrée Affecter la valeur 3 à la variable n. Traitement Tant que f (n)> 0,1

incrémenter la variable n de 1. Fin Tant que

Sortie Afficher la valeur de n.

f est la fonction étudiée dans la partie A.

a. À l’aide de la question 2. a. de la partie A, expliquer pourquoi il est certain que cet algorithme donne une valeur en sortie.

b. Quelle est la valeur n0 de la variable n obtenue à la sortie de l’algorithme ?

c. L’absorption du médicament par l’animal a lieu un matin à 8 h. À quelle question cet algorithme permet-il de répondre ?

Exercice 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique 2 cm). On consi-

dère les points A, B et C d’affixes respectives

zA = i, zB = 2i, et zC = 1.

On considère la transformation f qui à tout point M du plan d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe

z ′ = 2iz

z− i .

On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

1. Déterminer l’ensemble des points invariants par la transformation f .

2. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B′ et C′, images respectives des points B et C par f .

3. a. Montrer que, pour tout point M distinct de A, l’affixe z ′ deM ′ vérifie l’égalité

z ′−2i= −2

z− i .

b. En déduire que si le point M appartient au cercle Γ de centre A et de rayon 1, alors son image M ′ appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

c. Exprimer unemesure de l’angle (−→ u ,

−−−→ BM

)

en fonctiond’unemesure de l’angle (−→ u ,

−−→ AM

)

.

d. On considère le point D d’affixe zD =

p 3

2 + 3

2 i. Vérifier que D appartient au cercle Γ.

Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D′ par f .

4. On noteG l’isobarycentre des points O, B et C.

a. Déterminer l’affixe du point G.

b. On admet que l’imageG ′ du pointG a pour affixe zG ′ =−3− i. Le pointG ′ est-il l’isoba-

rycentre des points O, B′ et C′ ?

Exercice 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère un rectangle direct ABCD tel que AB = L et AD = 1 (L > 1).

Amérique du Sud 2 13 novembre 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Sur les segments [AB] et [CD], on place respectivement les points F et E tels que AFED soit un carré. On suppose qu’il existe une similitude directe f de rapport k telle que :

f (A)=B, f (B)=C, f (C)= E.

Partie A

1. En utilisant des rapports de longueurs, montrer que L = 1+

p 5

2 .

2. a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude f .

On appelle Ω le centre de la similitude f .

b. Déterminer l’image par la composée f f des points Ω, A et B.

c. Quelle est la nature de la transformation f f ? Préciser ses éléments caractéristiques.

d. En déduire queΩ est le point d’intersection des droites (AC) et (BE).

3. a. Déterminer l’image de la droite (CD) par la similitude f .

b. En déduire une construction du point E′, image du point E par la similitude f .

Partie B

Le plan est rapporté au repère orthonormé (

A ; −→ AF ,

−−→ AD

)

.

On appelle z l’affixe du point M , et z ′ l’affixe du point M ′, image du point M par f .

1. Montrer que z ′ =

p 5−1

2 iz+

p 5+1

2 .

2. Déterminer l’image du point D par f .

Exercice 3 4 points

Commun à tous les candidats

Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note Rn l’évènement « le joueur réussit le n-ième service » et Rn l’évènement contraire. Soit xn la probabilité de Rn et yn celle de Rn . La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7. On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées

— si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,8 ; — si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant

vaut 0,7.

1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers ser- vices.

a. Déterminer la loi de probabilité de X . (On pourra utiliser un arbre de probabilité)

b. Calculer l’espérance mathématique E(X ) de la variable aléatoire X .

2. On s’intéresse maintenant au cas général.

a. Donner les probabilités conditionnelles PRn (Rn+1) et PRn (Rn+1).

b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : xn+1 = 0,1xn +0,7.

3. Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel non nul par un = 9xn −7.

Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non

fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Amérique du Sud 3 13 novembre 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Déterminer la nature de la suite (un ).

b. En déduire la limite de la suite (xn).

Exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

SoitP le plan d’équation cartésienne 2xy+3z−1= 0 et soit S le point de coordonnées (1 ; 3 ; 5).

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie. ou fausse, et proposer une démons-

tration de la réponse indiquée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

1. Les points d’intersection du plan P avec les trois axes du repère sont les sommets d’un triangle isocèle.

2. La droite δ1 de représentation paramétrique

x = 1+ t y = 5−4t z = 2−2t

, t ∈R

est incluse dans le plan P .

3. La droite δ2 de représentation paramétrique

x = −t y = 7+4t z = 7+2t

, t ∈R

est la droite parallèle à la droite δ1 passant par le point S.

4. Le projeté orthogonal du point S sur le plan P a pour coordonnées

(

− 6

7 ; 55

14 ; 31

14

)

.

5. Le plan P coupe la sphère de centre S et de rayon 3.

Amérique du Sud 4 13 novembre 2012

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