Algèbre – correction des exercices 15, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Algèbre – correction des exercices 15, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé, La tangente à la courbe C.
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MetropoleS21juin2012.dvi

[ Baccalauréat S Métropole 21 juin 2012 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle [−3 ; 2]. On dispose des informations suivantes :

f (0)=−1. • la dérivée f ′ de la fonction f admet la courbe représentative C ′ ci -dessous.

C ′

−→ ı

−→

O

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Pour tout réel x de l’intervalle [−3,−1], f ′(x)6 0.

2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2].

3. Pour tout réel x de l’intervalle [−3 ; 2], f (x)>−1.

4. Soit C la courbe représentative de la fonction f .

La tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ; 0).

EXERCICE 2 5 points

Commun à tous les candidats

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40% des dossiers re- çus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70% d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés.

1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat.

On considère les évènements suivants :

D : « Le candidat est retenu sur dossier », — E1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien », — E2 : « Le candidat est recruté ».

a. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

D. . .

E1. . .

E2. . .

E2. . .

E1. . .

D. . .

b. Calculer la probabilité de l’évènement E1.

c. On note F l’évènement « Le candidat n’est pas recruté ».

Démontrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 0,93.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.

On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.

a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10−3.

3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher aumoins un candidat soit supérieure à 0,999 ?

EXERCICE 3 6 points

Commun à tous les candidats

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par

f (x)= 1

x+1 + ln

( x

x+1

)

.

1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; +∞[, f ′(x)= 1

x(x+1)2 .

Dresser le tableau de variation de la fonction f .

3. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.

Partie B

Soit (un ) la suite définie pour tout entier strictement positif par

un = 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n − lnn.

1. On considère l’algorithme suivant :

Variables : i et n sont des entiers naturels. u est un réel.

Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de n. Initialisation : Affecter à u la valeur 0. Traitement : Pour i variant de 1 à n.

Affecter àu la valeuru+ 1

i Sortie : Afficher u.

Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3.

2. Recopier et compléter l’algorithmeprécédent afinqu’il affiche la valeur deun lorsque l’utilisateur entre la valeur de n.

3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10−3.

n 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1500 2000 un 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577

À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un) et son éventuelle convergence.

Métropole 2 21 juin 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie C

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (un ) telle que pour tout entier strictement positif n,

un = 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n − lnn.

1. Démontrer que pour tout entier strictement positif n,

un+1−un = f (n)

f est la fonction définie dans la partie A.

En déduire le sens de variation de la suite (un ).

2. a. Soit k un entier strictement positif.

Justifier l’inégalité ∫k+1

k

(

1

k

1

x

)

dx> 0.

En déduire que ∫k+1

k

1

x dx6

1

k .

Démontrer l’inégalité ln(k+1)− lnk 6 1

k (1).

b. Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement k par 1, 2, . . . , n et démontrer que pour tout entier strictement positif n,

ln(n+1)6 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n .

c. En déduire que pour tout entier strictement positif n,un > 0.

3. Prouver que la suite (un ) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On appelle f l’application qui à tout point M d’affixe z différente de −1, fait correspondre le point M

d’affixe 1

z+1 .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D d’équation x =− 1

2 .

1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives

zA =− 1

2 , zB =−

1

2 + i et zC =−

1

2 − 1

2 i.

a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.

b. Calculer les affixes des points A′ = f (A),B′ = f (B) et C′ = f (C) et placer les points A’, B’et C’ sur la figure.

c. Démontrer que les points A′, B′ et C′ ne sont pas alignés.

2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M1 d’affixe z+1.

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g .

b. Sans donner d’explication, placer les points A1, B1 et C1, images respectives par g de A, B et C et tracer la droite D1, image de la droite D par g .

c. Démontrer que D1 est l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z−1| = |z|.

Métropole 3 21 juin 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le point M2 d’affixe 1

z .

a. Justifier que h (A1)= A′,h (B1)=B′ et h (C1)=C′.

b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

1

z −1

= 1 ⇐⇒ |z−1| = |z|.

c. En déduire que l’image par h de la droiteD1 est incluse dans un cercleC dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

On admet que l’image par h de la droite D1 est le cercle C privé de O.

4. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives

zA =−1+ i, zB = 2i et zC = 1+3i.

et D la droite d’équation y = x+2.

1. Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite D.

Sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite D.

2. Résoudre l’équation (1+ i)z+3− i= 0 et vérifier que la solution de cette équation est l’affixe d’un point qui n’appartient pas à la droiteD.

Dans la suite de l’exercice, on appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de

−1+2i, fait correspondre le point M ′ d’affixe 1

(1+ i)z+3− i .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D.

3. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M1 d’affixe (1+ i)z+3− i.

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g .

b. Calculer les affixes des points A1, B1 et C1, images respectives par g des points A, B et C.

c. Déterminer l’image D1 de la droite D par la transformation g et la tracer sur la figure.

4. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, fait correspondre le point M2 d’affixe 1

z .

a. Déterminer les affixes des points h (A1) , h (B1) et h (A1) et placer ces points sur la figure.

b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

1

z − 1

2

= 1

2 ⇐⇒ |z−2| = |z|.

c. En déduire que l’image par h de la droiteD1 est incluse dans un cercleC dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

d. Démontrer que tout point du cercle C qui est distinct de O est l’image par h d’un point de la droite D1.

5. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

Métropole 4 21 juin 2012

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