Algèbre – correction des exercices 3, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Algèbre – correction des exercices 3, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 3 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres réels, les variations de f sur R, tableau de variation sur R.
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[ Baccalauréat S Antilles-Guyane \ 19 juin 2012

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Les parties B et C sont indépendantes.

On note R l’ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie sur R par

f (x)= xex−1+1.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A : étude de la fonction

1. Déterminer la limite de f en −∞. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Déterminer la limite de f en +∞. 3. On admet que f est dérivable sur R, et on note f ′ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout réel x, f ′(x)= (x+1)ex−1. 4. Étudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variation sur R.

Partie B : recherche d’une tangente particulière

Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une tangente à la courbe C au point d’abscisse a, qui passe par l’origine du repère.

1. On appelle Ta la tangente à C au point d’abscisse a. Donner une équation de Ta .

2. Démontrer qu’une tangente àC enunpoint d’abscisse a strictement positive passe par l’origine du repère si et seulement si a vérifie l’égalité

1−a2ea−1 = 0.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle ]0 ; +∞[ de l’équation

1− x2ex−1 = 0.

4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.

Partie C : calcul d’aire

Le graphique donné en Annexe 1 représente la courbe C de la fonction f dans un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Construire sur ce graphique la droite ∆ d’équation y = 2x. On admet que la courbe C est au-dessus de la droite ∆. Hachurer le domaine D limité par la courbe C la droite ∆, la droite d’équation (x = 1) et l’axe des ordonnées.

2. On pose I= ∫1

0 xex−1 dx. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que I =

1

e .

3. En déduire la valeur exacte (en unités d’aire) de l’aire du domaine D.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives

a =−1+2i ; b =−2− i ; c =−3+ i.

1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer b

a , en déduire la nature du triangle OAB.

3. On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z avec z 6= b, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ = z+1−2i z+2+ i

a. Calculer l’affixe c ′ dupoint C′, image deC par f et placer le point C′ sur la figure.

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z avec z 6= b, tels que |z ′| = 1. c. Justifier que E contient les points O et C. Tracer E .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

On appelle J l’image du point A par la rotation r de centre O et d’angle − π

2 .

On appelle K l’image du point C par la rotation r ′ de centre O et d’angle π

2 .

On note L le milieu de [JK].

Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Soit (un ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par

u1 = 1

2 un+1 =

n+1 2n

un

1. Calculer u2,u3 et u4.

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est strictement positif.

b. Démontrer que la suite (un ) est décroissante.

c. Que peut-on en déduire pour la suite (un ) ?

3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose

vn = un

n .

a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique. On précisera sa raison et son pre- mier terme v1.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,

un = n

2n .

Antilles-Guyane 2 19 juin 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4. Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par f (x)= lnxx ln2. a. Déterminer la limite de f en +∞. b. En déduire la limite de la suite (un ).

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait également que 35% des filles et 30% des garçons déjeunent à la cantine.

On choisit, au hasard, un élève du lycée.

Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément.

Combien de tirages différents peut-on faire contenant aumoins un jeton à numéro pair ? 3.

3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1

5 .

Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur ap- prochée du résultat à 10−3.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.

On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évè- nement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».

On suppose que les évènements A et F sont indépendants.

On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil pré- sente le défaut F ?

5. On considère l’algorithme :

A et C sont des entiers naturels, C prend la valeur 0 Répéter 9 fois

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7. Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si

Fin répéter Afficher C.

Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la va- riable aléatoire prenant la valeur C affichée.

Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les quatre questions sont indépendantes.

1. a. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation

(E) 11x−5y = 14.

Antilles-Guyane 3 19 juin 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

23n ≡ 1 (mod 7).

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012 par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caracté- ristiques de la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 3

2 (1− i)z+4−2i.

4.

5. On considère l’algorithme suivant où Ent

(

A

N

)

désigne la partie entière de A

N .

A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1 Tant que N6

p A

Si A

N −Ent

(

A

N

)

= 0 alors Afficher N et A

N Fin si

N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Antilles-Guyane 4 19 juin 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE 1 Exercice 1

À rendre avec la copie

Courbe C représentative de f

1

2

3

4

1−1−2−3−4

Antilles-Guyane 5 19 juin 2012

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