Algèbre – correction des exercices 8, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Algèbre – correction des exercices 8, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 8 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La courbe représentative de la solution de (E), la fonction définie, les probabilités des évènements.
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[ Baccalauréat S 2012\

L’intégrale demars à novembre 2012

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pondichéry 13 avril 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Amérique du Nord 31 mai 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Libanmai 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Polynésie 10 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Antilles-Guyane 19 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Asie 20 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Centres étrangers 14 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Métropole 21 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Antilles-Guyane 13 septembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Métropole 13 septembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Amérique du Sud 14 novembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

2

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie\ Série obligatoiremars 2012

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Partie A :

On considère le polynôme P défini sur C par

P (z)= z3− ( 2+ i

p 2 ) z2+2

( 1+ i

p 2 ) z−2i

p 2.

1. Montrer que le nombre complexe z0 = i p 2 est solutionde l’équationP (z) = 0.

2. a. Déterminer les réels a et b tels que P (z)= ( z− i

p 2 )( z2+az+b

) .

b. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z)= 0.

Partie B :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra

2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives :

zA = 1+ i, zB = 1− i, zJ = i p 2 et zK = e

3iπ 4 .

1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et àmesure de l’exercice.

2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L est égale à −

p 2.

3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4. Soit D le point d’affixe zD =−1+ i. On considère !a rotation r de centre O qui transforme J en D.

a. Déterminer une mesure de l’angle de la rotation r .

b. Soit C l’image du point L par la rotation r . Déterminer l’affixe du point C.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse.

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont nu- mérotées de 1 à 6. L’urneU1 contient trois boules rouges et une boule noire. L’urneU2 contient trois boules rouges et deux boules noires. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urneU1, sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U2. On considère les évènements suivants : A : « obtenir 1 en lançant le dé » B : « obtenir une boule noire ».

1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.

b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est 3

8 .

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir ob- tenu 1 en lançant le dé.

2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléa- toire égale au nombre de parties gagnées.

a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi aumillième.

b. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le ré- sultat arrondi aumillième.

c. On donne le tableau suivant :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (X < k) 0,009 1 0,063 7 0,211 0 0,446 7 0,694 3 0,872 5 0,961 6 0,992 2 0,999 0 0,999 9

Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : « la personne gagne aumoins N parties ».

À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle

inférieure à 1

10 ?

EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

VRAI ou FAUX?

Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie.

1. Énoncé 1 : Soit (an)n∈N une suite non constante de réels.

Pour tout entier n, on pose un = sin(an). Proposition 1 : « On peut choisir la suite (an)n∈N telle que la suite (un )n∈N

converge vers

p 2

2 . »

2. Énoncé 2 :Dans le plan complexe d’origine O, on considère, pour tout entier

naturel non nul n, les points Mn d’affixe zn = e 2i3 .

Proposition 2 : « Les points O, M1 et M20 sont alignés. »

3. Énoncé 3 :On considère une fonction f , sa dérivée f ′ et son unique primitive F s’annulant en x = 0. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous.

Proposition 3 : « La courbe 3 ci-dessous est la représentation graphique de f ».

2

4

−2

−4

Courbe 1

π2 π 2

π0

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

2

−2

Courbe 2

π2 π 2

π0

0,5

1,0

−0,5

−1,0

Courbe 3

π/2 π/2 π0

4. Énoncé 4 : On considère, dans un repère orthonormé de l’espace, le point A(0 ; 0 ; 3) et le plan P d’équation 2xy + z = 0. Proposition 4 : « La sphère de centre A et de rayon 2 et le plan P sont sécants. »

5. Énoncé 5 : On considère l’équation différentielle (E) : y ′+2y = 4. Parmi les quatre courbes ci-dessous, l’une représente la solution de (E) vérifiant

y(0)= 0. Proposition 5 : «La courbe représentative de la solution de (E) vérifiant y(0)= 0 est la courbe C4. »

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7

C2

C3

C4

C1

0 x

y

EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x)= xex . On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère or-

thogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1]. Sur la courbeC , tracée en annexe, on a placé les points A et B d’abscisses respectives a et 1. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbeC . On a placé les points A′(a ; 0) et B′(1 ; 0). Le but de l’exercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée en annexe est minimale.

PARTIE A :

1. Montrer que ∫1

0 xex dx = 1.

2. a. Donner l’aire du triangle OAA′ et montrer que l’aire du trapèze ABB′A′ est

égale à 1

2

( −a2ea +aea ae+e

) .

b. Endéduire que l’ aire de la partie duplanhachurée est égale à 1

2 (aea ae+e−2).

PARTIE B :

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)= x ( ex −e

) +e−2.

1. Soit g ′ la fonction dérivée de la fonction g . Calculer g ′(x) pour tout réel x de [0 ; +∞[. Vérifier que la fonction dérivée seconde g ′′ est définie sur [0 ; +∞[ par g ′′(x)= (2+ x)ex .

2. En déduire les variations de la fonction g ′ sur [0 ; +∞[.

Nouvelle-Calédonie 6 mars 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

3. Établir que l’équation g ′(x)= 0 admet une solution uniqueα dans l’intervalle [0 ; +∞[. Déterminer une valeur approchée de α à 10−1 près.

4. En déduire les variations de la fonction g sur [0 ; +∞[. 5. En utilisant les réponses aux questions des parties A et B,montrer qu’il existe

une valeur de a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée est mini- male. Donner cette valeur de a.

Nouvelle-Calédonie 7 mars 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

Annexe

CETTE PAGEN’EST PAS À RENDRE AVEC LA COPIE

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

A

B

O

C

A′ B′ x

y

Nouvelle-Calédonie 8 mars 2012

[ Baccalauréat S Pondichéry 18 avril 2012\

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Unmême coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.

1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ?

2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :

— « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50]

— l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.

Variables a,b,c,d ,e sont des variables du type entier Initialisation a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0 Traitement Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b =

c) ou (b = d) ou (b = e) ou (c = d) ou (c = e) ou (d = e) Début du tant que

a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ; c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ; e := rand(1, 50)

Fin du tant que Sortie Afficher a,b,c,d ,e

a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :

L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};L2 = {8,17,41,34,6}; L3 = {12,17,23,17,50};L4 = {45,19,43,21,18} ?

b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?

3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 parti- cipants. Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.

4. Onnote X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course.

a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses pa- ramètres.

b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous formedécimale arrondie audix-millième, les probabilités des évènements suivants :

— il a été contrôlé 5 fois exactement ; — il n’a pas été contrôlé ; — il a été contrôlé aumoins une fois.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on appelle T l’évènement : « le contrôle est positif », et d’après des statistiques, on admet que P (T )= 0,05. On appelle D l’évènement : « le coureur est dopé ». Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100%, on sait que :

— si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ; — si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

1. Calculer P (D).

2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé ?

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

Dans le repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, on considère :

— les plans P et P ′ d’équations :

P : xy z−2= 0 et P ′ : x+ y +3z = 0.

— la droite D ayant pour représentation paramétrique :

  

x = −3−2t y = 2t z = 1+2t

t ∈R.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et jus- tifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

Proposition 1 La droite D est orthogonale au plan P . Proposition 2 La sphère S de centre O et de rayon 2 est tangente au plan P . Proposition 3 L’intersection des plans P et P ′ est la droite ∆ dont une représentation paramé- trique est :

  

x = 1− t y = −1−2t z = t

t ′ ∈R.

Proposition 4 Les droites D et ∆ sont coplanaires.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

On considère les suites (In ) et (Jn ) définies pour tout entier naturel n par :

In = ∫1

0

e−nx

1+ x dx et Jn =

∫1

0

e−nx

(1+ x)2 dx.

Pondichéry 10 18 avril 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

1. Sont représentées ci-dessous les fonctions fn définies sur l’intervalle [0 ; 1] par

fn(x)= e−nx

1+ x pour différentes valeurs de n :

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

f0

f1

f2

f3

O

a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In ) en expli- quant la démarche.

b. Démontrer cette conjecture.

2. a. Montrer que pour tout entier n > 0 et pour tout nombre réel x de l’inter- valle [0 ; 1] :

06 e−nx

(1+ x)2 6

e−nx

1+ x 6 e−nx .

b. Montrer que les suites (In ) et (Jn) sont convergentes et déterminer leur limite.

3. a. Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier n> 1 :

In = 1

n

( 1−

e−n

2 − Jn

) .

b. En déduire lim n→+∞

nIn .

Pondichéry 11 18 avril 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité : |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1z2| = |z1| |z2|.

Partie B : Étude d’une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on dé-

signe par A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit f la transformation du plan qui à tout pointM d’affixe z 6= 1, associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 1− z z−1

1. Soit C le point d’affixe zC =−2+ i. a. Calculer l’affixe zC′ du point C

′ image de C par la transformation f , et placer les points C et C′ dans le repère donné en annexe.

b. Montrer que le point C′ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

c. Montrer que les points A, C et C′ sont alignés.

2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f .

3. Montrer que, pour tout pointM distinct de A, le pointM ′ appartient au cercle C .

4. Montrer que, pour tout nombre complexe z 6= 1, z ′−1 z−1

est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A,M et M ′ ?

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D′ par la transformation f .

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A Restitution organisée de connaissance

Soit a, b, c, d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul. Montrer que si a b (mod n) et c d (mod n) alors ac bd (mod n).

Partie B Inverse de 23modulo 26

On considère l’équation

(E ) : 23x−26y = 1,

x et y désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E ). 2. Résoudre alors l’équation (E ).

3. En déduire un entier a tel que 06 a6 25 et 23a ≡ 1 (mod 26).

Pondichéry 12 18 avril 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient un couple d’entiers (x1 ; x2) où x1 correspond à la première lettre dumot et x2 correspond à la deuxième lettre dumot. Étape 2 (x1 ; x2) est transformé en

( y1 ; y2

) tel que :

(S1)

{ y1 ≡ 11x1+3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1+4x2 (mod 26)

avec06 y1 6 25 et 06 y2 6 25.

Étape 3 ( y1 ; y2

) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de

correspondance donné dans l’étape 1.

Exemple : TE︸︷︷︸ mot en clair

étape1 =⇒ (19,4)

étape2 =⇒ (13,19)

étape3 =⇒ NT︸︷︷︸

mot codé

1. Coder le mot ST.

2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :

a. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du système :

(S2)

{ 23x1 ≡ 4y1+23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1+11y2 (mod 26)

b. À l’aide de la partie B,montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équa- tions du système (S2), vérifie les équations du système

(S3)

{ x1 ≡ 16y1+ y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1+5y2 (mod 26)

c. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équations du système (S1)

d. Décoder le mot YJ.

Pondichéry 13 18 avril 2012

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P.M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

−→ u

−→ v

Ob D

Pondichéry 14 18 avril 2012

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 31mai 2012\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dansune association sportive, unquart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30% des membres de cette association adhèrent à la section tennis. Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note : — F l’évènement « le membre choisi est une femme », — T l’évènement « le membre choisi adhère à la section tennis ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 25 .

2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.

Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme?

Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de ma- nière indépendante pour tenir la loterie.

a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois unmembre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité pour qu’en n semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

Montrer que pour tout entier n non nul, pn = 1− ( 7 10

)n .

c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que pn > 0,99.

2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exacte- ment sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien.

Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 ( puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors 20 euros par jeton ga- gnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne.

On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5() réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X et interpré- ter le résultat obtenu.

EXERCICE 2 5 points Partie A Restitution organisée des connaissances

On rappelle que limt→+∞ et

t =+∞. Démontrer que limx→+∞

ln(x) x = 0.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par f (x)= x− ln(x)x . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par g (x)= x2−1+ ln(x). Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.

2. a. Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[, f ′(x)= g (x) x2

.

b. En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[. c. Montrer que la droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe

C .

d. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.

3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement Mk et Nk les points d’abscisse k de C et D.

a. Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance

MkNk entre les points Mk et Nk est donnée par MkNk = ln(k)

k .

b. Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k0 supérieur ou égal à 2 tel que la distance MkNk soit inférieure ou égale à 10

−2.

Exercice 3 5 points Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1] telle que :

f (0)= 0 et f ′(x)= 1

1+ x2 pour tout x de [0 ; 1].

On ne cherchera pas à déterminer f .

Partie A

1. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; 1].

2. Soit g la fonction définie sur [ 0 ;

π

4

] par g (x)= f (tan(x)).

a. Justifier que g est dérivable sur [ 0 ;

π

4

] , puis que, pour tout x de

[ 0 ;

π

4

] ,

g ′(x)= 1.

b. Montrer que, pour tout x de [ 0 ;

π

4

] , g (x)= x, en déduire que f (1)= π4 .

3. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], 06 f (x)6 π

4 .

Partie B

Soit (In ) la suite définie par I0 = ∫1 0 f (x) dx et, pour tout entier naturel n non nul,

In = ∫1 0 x

n f (x)dx.

1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, I0 = π4 − 1 2 ln(2).

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In > 0.

b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In 6 π

4(n+1) .

c. En déduire la limite de la suite (In ).

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère l’application f du plan dans lui même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = z2. On noteΩ le point d’affixe 1.

Amérique du Nord 16 31 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Déterminer l’ensemble Γ1 des points M du plan tels que f (M)=M . 2. Soit A le point d’affixe a =

p 2− i

p 2.

a. Exprimer a sous forme exponentielle.

b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f .

3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z ′ du point M ′ soit un nombre imaginaire pur.

4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des pointsM dis- tincts deΩ pour lesquels le triangleΩMM ′ est rectangle isocèle direct enΩ.

a. À l’aide de la rotation de centre Ω et d’angle π2 , montrer que M est un point de Γ3 si et seulement si z2− iz−1+ i= 0 et z 6= 1.

b. Montrer que z2− iz−1+ i= (z−1)(z+1− i). c. En déduire l’ensemble Γ3.

5. Soit M un point d’affixe z différente de 0 et de 1.

a. Exprimer (−−−→ OM ,

−−−→ OM

) en fonction d’un argument de z.

b. En déduire l’ensemble Γ4 des points M distincts de O et de Ω tels que O, M et M ′ soient alignés.

EXERCICE 5 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit S la transformation du plan qui, à tout M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = 5iz+6i+4.

Partie A

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S.

2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et imaginaires respectives de z et z ′.

Démontrer que : { x′ =−5y +4 y ′ = 5x+6

Partie B

Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées x et y du point M sont des entiers relatifs tels que −36 x 6 5 et −36 y 6 5. On note E l’ensemble de ces points M . On rappelle que les coordonnées (x′ ; y ′) du pointM ′, image du pointM par la trans- formation S, sont x′ =−5y +4 et y ′ = 5x+6.

1. a. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (a ; b) tels que 4a+ 3b = 5.

b. En déduire l’ensemble des points M de E de coordonnées (x ; y) tels que

−3x′+4y ′ = 37. 2. Soit M un point de l’ensemble E etM ′ son image par la transformation S.

a. Démontrer que x′+ y ′ est un multiple de 5. b. Démontrer que x′− y ′ et x′+ y ′ sont congrus modulo 2.

En déduire que si x′2− y ′2 est multiple de 2 alors x′− y ′ et x′+ y ′ le sont également.

c. Déterminer l’ensemble des points M de E tels que : x′2− y ′2 = 20.

Amérique du Nord 17 31 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

[ Baccalauréat S Libanmai 2012\

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats.

Partie A

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :

g (x)= 2x3−1+2lnx

1. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[. 2. Justifier qu’il existe un unique réel α tel que g (α) = 0. Donner une valeur

approchée de α, arrondie au centième.

3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[.

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :

f (x)= 2x− lnx

x2

On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère

orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. 2. Démontrer que la courbeC admet pour asymptote oblique la droite∆d’équa-

tion y = 2x. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite ∆.

3. Justifier que f ′(x) a même signe que g (x).

4. En déduire le tableau de variations de la fonction f .

5. Tracer la courbe C dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→ ) . On prendra comme unités :

2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie C

Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations respectives x = 1 et x =n.

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2, est donnée par :

In = 2 ∫n

1

lnx

x2 dx.

2. a. Calculer l’intégrale ∫n

1

lnx

x2 dx à l’aide d’une intégration par parties.

b. En déduire l’expression de In en fonction de n.

3. Calculer la limite de l’aire In du domaine D quand n tend vers +∞.

Liban 18 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats.

Les quatre questions sont indépendantes. Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d’indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère

les droites D1 et D2 de représentations paramétriques respectives :

  

x = 4+ t y = 6+2t z = 4− t

, t ∈R, et

  

x = 8+5t y = 2−2t z = 6+ t

, t ′ ∈R.

Affirmation : les droitesD1 etD2 sont coplanaires.

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère

les points A(12 ; 7 ; −13) et B(3 ; 1 ; 2) ainsi que le plan P d’équation 3x + 2y −5z = 1. Affirmation : le point B est le projeté orthogonal du point A sur le planP .

3. On considère les suites u et v définies, pour tout entier naturel n, par :

un = n+1 n+2

et vn = 2+ 1

n+2 Affirmation : ces deux suites sont adjacentes.

4. On considère la suite u définie par son premier terme u0 = 1 et la relation de récurrence :

un+1 = 1

3 un+2, pour tout entier naturel n.

Affirmation : cette suite est majorée par 3.

Liban 19 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats.

On dispose de deux urnesU1 etU2. L’uneU1 contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. L’urneU2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urneU1, à noter son numéro, puis à tirer simul- tanément de l’urneU2 le nombre de boules indiqué par le jeton. On considère les évènements suivants :

J1 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 1 »

J2 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 2 »

J3 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 3 »

J4 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 4 »

B « toutes les boules tirées de l’urneU2 sont blanches »

On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question 4.b) où une valeur arrondie à 10−2 suffit.

1. Calculer P J1 (B), probabilité de l’évènement B sachant que l’évènement J1 est réalisé.

Calculer de même la probabilité P J2 (B).

On admet dans la suite les résultats suivants :

P J3 (B)= 1

30 et P J4 (B)=

1

210

2. Montrer que P (B), probabilité de l’évènement B , vaut 1

7 . On pourra s’aider

d’un arbre de probabilités.

3. On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?

4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes.OnnoteN la variable aléatoire prenant commevaleur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N ?

b. Calculer la probabilité de l’évènement (N = 3).

Liban 20 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Exercice 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. Un triangle

a. On considère les points A, B etC d’affixes respectives a = 2, b = 3+ i p 3 et

c = 2i p 3.

Déterminer une mesure de l’angle ABC . b. Endéduire que l’affixeωdu centreΩdu cercle circonscrit au triangle ABC

est 1+ i p 3.

2. Une transformation du plan

On note (zn) la suite de nombres complexes, de terme initiale zO = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

p 3

2 zn +2, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

a. Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour affixes respectives :

3+ i p 3, 2+2i

p 3 et 2i

p 3

On remarquera que : A1 = 1, A2 =B et A4 =C . b. Comparer les longueurs des segments [A1A2], [A2A3] et [A3A4].

c. Établir que pour tout entier naturel n, on a :

zn+1−ω= 1+ i

p 3

2 (zn ω),

ω désigne le nombre complexe défini à la question 1. b.

d. En déduire que le point An+1 est l’image du point An par une transforma- tion dont on précisera les éléments caractéristiques.

e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An . Déterminer l’affixe du point A2012.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer, pour tout entier naturel n, la longueur du segment [AnAn+1].

Exercice 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note zn la suite de nombres complexes, de terme initiale z0 = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i 2

zn +1, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

1. Calculer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points dans le plan

muni du repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Liban 21 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. a. Montrer que le point An+1 est l’image du point An par une similitude di- recte s, dont on définira le rapport, l’angle et le centreΩ, d’affixe ω.

b. Démontrer que le triangleΩAnAn+1 est isocèle rectangle.

3. a. établir que, pour tout entier naturel n, on a :ΩAn = (p

2

2

)n−1 .

b. À partir de quelle valeur de n les points An sont-ils situés à l’intérieur du disque de centreΩ et de rayon 0,001 ?

4. Pour tout entier naturel n, on note an la longueur AnAn+1 et Ln la somme n

k=0 ak .

Ln est ainsi la longueur de la ligne polygonale A0A1 · · · AnAn+1. Déterminer la limite de Ln quand n tend vers +∞.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points An , Ω et An+4 sont ali- gnés.

Liban 22 mai 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2012\

Exercice 1 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

On considère les points B (100 ; 100) et C

( 50 ;

50 p e

) et la droite (D) d’équation y = x.

On note f la fonction définie sur R dont la courbe représentative, notée Γ , est don- née en annexe. On suppose de plus qu’il existe deux réels a et b tels que :

• pour tout x réel, f (x)= xeax+b . • les points B et C appartiennent à la courbe Γ.

1. a. Montrer que le couple (a ; b) est solution du système :

{ 100a+b = 0

50a+b =− 1

2

b. En déduire que, pour tout x réel, f (x)= xe0,01x−1. 2. Déterminer la limite de f en +∞ .

3. a. Montrer que pour tout x réel, f (x)= 100

e ×0,01xe0,01x

b. En déduire la limite de f en −∞. 4. Étudier les variations de la fonction f .On donnera le tableau de variations

complet.

5. Étudier la position relative de la courbe Γ et de la droite (D).

6. a. Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale ∫100 0 f (t) dt .

b. On désigne par A l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par les droites d’équations x = 0 et x = 100 , la droite (D) et la courbe Γ. Calculer A.

Exercice 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on consi-

dère les points A, B et C d’affixes respectives a =−2+2i, b =−3−6 texti et c = 1.

La figure de l’exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjec- tures, à vérifier des résultats.

1. Quelle est la nature du triangle ABC?

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre B et d’angle π

2 .

b. En déduire l’affixe du point A′ image de A par r .

c. Vérifier que l’affixe s du point S milieu de [AA’] est s =− 13

2 − 3

2 i.

d. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

3. On construit de la même manière C’ l’image de C par la rotation de centre A

et d’angle π

2 , Q le milieu de [CC’], B’ l’image de B par la rotation de centre C

et d’angle π

2 et P le milieu de [BB’].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont q = 1

2 + 5

2 i et p = 2−5i.

Polynésie 23 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Démontrer que sq pa

=−i.

b. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

Exercice 3 5 points

Partie A

On considère l’algorithme suivant : Les variables sont le réelU et les entiers naturels k et N .

Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N .

Traitement Affecter àU la valeur 0 Pour k allant de 0 à N −1

Affecter àU la valeur 3U −2k+3 Fin pour

Sortie AfficherU

Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?

Partie B

On considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un −2n+3.

1. Calculer u1 et u2.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > n.

b. En déduire la limite de la suite (un ).

3. Démontrer que la suite (un ) est croissante.

4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn =un n+1. a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n +n−1. 5. Soit p un entier naturel non nul.

a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe aumoins un entier n0 tel que, pour tout n>n0, un > 10p ?

On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0.

b. Justifier que n0 6 3p.

c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3. d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, af-

fiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n > n0, on ait un > 10p .

Polynésie 24 juin 2012

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Exercice 4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On désigne par x un réel appartenant à l’intervalle [0 ; 80]. Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40%ont leurs facesmarquées d’un cercle, 20%ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. Parmi les cubes rouges, 20% ont leurs faces marquées d’un cercle, x% ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.

Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l’urne.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à 0,12+0,004x.

2. Déterminer x pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un cubemarqué d’une étoile.

3. Déterminer x pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cubemarqué d’un losange » soient indépendants.

4. On suppose dans cette question que x = 50. Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.

Partie B : expérience 2

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne. Les résultats seront arrondis aumillième.

1. Quelle est la probabilité de tirer aumoins un cube rouge ?

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ?

3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle ?

Exercice 4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation (E) : 25x−108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs. 1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation.

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation 25g −108c = 1. On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors ap−1 est congru à 1 modulo p que l’on note ap−1 ≡ 1 [p].

1. Soit x un entier naturel.

Démontrer que si x a [7] et x a [19], alors x a [133].

Polynésie 25 juin 2012

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