Algèbre – correction des exercices 9, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Algèbre – correction des exercices 9, Exercices de Algèbre linéaire

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Algèbre – correction des exercices 9 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer l’espérancemathématique de la variable aléatoire X, En déduire le sens de variation de f.
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[ Baccalauréat S Amérique du Nord 31 mai 2012 \

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30% des membres de cette association adhèrent à la section tennis. Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note : — F l’évènement « le membre choisi est une femme », — T l’évènement « le membre choisi adhère à la section tennis ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 2

5 .

2. On choisit unmembre parmi les adhérents à la section tennis.

Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme?

Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de manière indépen- dante pour tenir la loterie.

a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exacte- ment deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choi- sis.

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité pour qu’en n semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

Montrer que pour tout entier n non nul, pn = 1− (

7

10

)n

.

c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que pn > 0,99.

2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exactement sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien.

Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 ( puis tire au hasard et de façon simul- tanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne.

On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5 () réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérancemathématique de la variable aléatoire X et interpréter le résul- tat obtenu.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points

Partie A Restitution organisée des connaissances

On rappelle que lim t→+∞

et

t =+∞.

Démontrer que lim x→+∞

ln(x)

x = 0.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par f (x)= x− ln(x)

x .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par g (x)= x2−1+ ln(x). Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.

2. a. Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[, f ′(x)= g (x)

x2 .

b. En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[.

c. Montrer que la droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe C .

d. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.

3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement Mk et Nk les points d’abscisse k de C et D.

a. Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance MkNk

entre les pointsMk et Nk est donnée parMkNk = ln(k)

k .

b. Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k0 supérieur ou égal à 2 tel que la distance MkNk soit inférieure ou égale à 10

−2.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1] telle que :

f (0)= 0 et f ′(x)= 1

1+x2 pour tout x de [0 ; 1].

On ne cherchera pas à déterminer f .

Partie A

1. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; 1].

2. Soit g la fonction définie sur [

0 ; π

4

]

par g (x)= f (tan(x)).

a. Justifier que g est dérivable sur [

0 ; π

4

]

, puis que, pour tout x de [

0 ; π

4

]

, g ′(x)= 1.

b. Montrer que, pour tout x de [

0 ; π

4

]

, g (x)= x, en déduire que f (1)= π

4 .

Amérique du Nord 2 31 mai 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], 06 f (x)6 π

4 .

Partie B

Soit (In) la suite définie par I0 = ∫1

0 f (x)dx et, pour tout entier natureln nonnul, In =

∫1

0 xn f (x)dx.

1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, I0 = π

4 − 1

2 ln(2).

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In > 0.

b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In 6 π

4(n+1) .

c. En déduire la limite de la suite (In).

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On considère l’application f du plan dans lui même qui, à tout point M d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = z2. On noteΩ le point d’affixe 1.

1. Déterminer l’ensemble Γ1 des pointsM du plan tels que f (M )=M .

2. Soit A le point d’affixe a = p 2− i

p 2.

a. Exprimer a sous forme exponentielle.

b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f .

3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z ′ du point M ′ soit un

nombre imaginaire pur.

4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des points M distincts de Ω pour lesquels le triangleΩMM ′ est rectangle isocèle direct enΩ.

a. À l’aide de la rotation de centreΩ et d’angle π

2 , montrer queM est un point de Γ3 si

et seulement si z2− iz−1+ i= 0 et z 6= 1.

b. Montrer que z2− iz−1+ i= (z−1)(z+1− i).

c. En déduire l’ensemble Γ3.

5. Soit M un point d’affixe z différente de 0 et de 1.

a. Exprimer (−−−→ OM ,

−−−→ OM

)

en fonction d’un argument de z.

b. En déduire l’ensemble Γ4 des points M distincts de O et de Ω tels que O, M et M

soient alignés.

EXERCICE 5 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Amérique du Nord 3 31 mai 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Soit S la transformation du plan qui, à toutM d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = 5iz+6i+4.

Partie A

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S.

2. On note x et x ′, y et y ′ les parties réelles et imaginaires respectives de z et z ′.

Démontrer que : {

x ′ =−5y +4 y ′ = 5x+6

Partie B

Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées x et y du pointM sont des entiers relatifs tels que −36 x 6 5 et −36 y 6 5. On note E l’ensemble de ces pointsM . On rappelle que les coordonnées (x ′ ; y ′) du point M ′, image du point M par la transformation S, sont x ′ =−5y +4 et y ′ = 5x+6.

1. a. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (a ; b) tels que 4a+3b = 5.

b. En déduire l’ensemble des pointsM de E de coordonnées (x ; y) tels que

−3x ′+4y ′ = 37.

2. Soit M un point de l’ensemble E et M ′ son image par la transformation S.

a. Démontrer que x ′+ y ′ est un multiple de 5.

b. Démontrer que x ′− y ′ et x ′+ y ′ sont congrus modulo 2. En déduire que si x ′2− y ′2 est multiple de 2 alors x ′− y ′ et x ′+ y ′ le sont également.

c. Déterminer l’ensemble des pointsM de E tels que : x ′2− y ′2 = 20.

Amérique du Nord 4 31 mai 2012

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