Algèbre - exercices 10, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans E l’équation, Déterminer a pour que F(a) soit égale à 1.
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[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit E l’anneau Z /33Z ; la classe d’un entier n sera notée n.

1. Soit f l’application de E dans E définie par :

f (x)= 17x+9.

Trouver l’inverse de 17.

Résoudre dans E l’équation : f (x)= 0.

Montrer que f est une bijection dont on donnera la bijection réciproque.

2. Soit g l’application de E dans E définie par :

g (x)= 22x+7.

Quel est l’ensemble des images des éléments de E par g ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Soient f et g les fonctions numériques de la variable réelle x définie par :

f (x) = x−1+ Log x

x g (x) = x2+1−Log x.

1. Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif x, on a : g (x)> 0.

(On pourra montrer que g passe par unminimum strictement positif).

Étudier la fonction f et la représenter graphiquement dans un plan affine eu- clidien muni d’un repère orthonormé.

Construire les tangentes à la courbe représentative de f aux points d’abscisses 1 et e.

2. Calculer l’aire F (a) du domaine limité par la courbe représentative de f et les droites d’équations y = x − 1, x = 1 et x = a (a étant un réel strictement positif),

Déterminer a pour que F (a) soit égale à 1.

PROBLÈME 12 POINTS

)

Partie A

Soit V un plan vectoriel euclidien de base orthonormée directe (

−→ ı ,

−→

)

.

À tout nombre réel k, on associe l’endomorphisme Fk de V dont la matrice relative-

ment à la base (

−→ ı ,

−→

)

est

Ak = 1

5

(

2+2k 4k−1 4−k −2−k

)

Soient −→ u = 2

−→ ı

−→ et

−→ v =

−→ ı +2

−→ deux vecteurs de V.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Montrer qu’il existe un réel positif λ tel que −→ u′ = λ

−→ u ,

−→ v ′ = λ

−→ v forment une

base orthonormée directe de V.

Déterminer les images par Fk de −→ u et

−→ v .

En déduire pour quelle valeur de k l’application Fk n’est pas bijective ; déter- miner alors son image et son noyau.

2. Pour quelle valeur de k, l’application Fk est-elle involutive ? Caractériser l’ap- plication obtenue.

3. Pour quelles valeurs de k, l’application Fk est-elle une transformation ortho- gonale ? Caractériser chaque fois l’application obtenue,

Partie B

Soit P le plan affine euclidien de repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. L’affixe du point M

de P de coordonnées (x ; y) est le nombre complexe z = x+ iy, (

i2 =−1 )

.

1. Soit f l’application de P dans P qui, au point M d’affixe z, associe le point M

d’affixe z ′ déterminée par :

z ′ = 4+3i

5 z−1+3i

(

z = x− iy est le conjugué de z = x+ iy )

Montrer que f est une symétrie orthogonale par rapport à une droite dont on donnera l’équation,

2. À tout réel non nul α, on associe l’application et qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ donnée par : z ′ = iαz+2.

a. Reconnaître la nature de l’application et la caractériser. Soit ωα le point invariant de . Quel est l’ensemble des points ωα quand α décrit l’ensemble des réels non nuls ? (On pourra utiliser l’image O′ du point O par ).

b. On définit, pour tout entier naturel n, le point Mn par M0 =O,

Mn+1 = g 1 2 (Mn ).

Soit zn = xn+ iyn l’affixe deMn et a l’affixe du point A, point invariant de g 1

2 .

Montrer que la suite (un ) définie par un = |zn a| est géométrique.

(|zn a| désigne le module du nombre complexe zn a).

En déduire les limites des suites (un ) , (xn ) et (

yn )

quand n tend vers l’in- fini.

Toulouse 2 septembre 1977

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