Algèbre - exercices 11, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’implication, l’application f.
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[ Baccalauréat C Vientane juin 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Soit f et g deux fonctions numériques définies au moins dans un intervalle ouvert non vide de centre x0. On sait que l’implication (1) :

f continue en x0 et g continue en x0 =⇒ f g continue en x0

g continue en x0

est vraie.

L’implication (2)

f g discontinue en x0 =⇒ f discontinue en x0

ou g discontinue en x0

est-elle vraie ?

2. a. Soit F la fonction numérique définie dans [0 ; 1] par

x ∈ [

0 ; 1

6

]

: F (x) = 6x2+ x+1

x ∈ [

1

6 ; 1

]

: F (x) = 6x+3 2x+5

Étudier la continuité de F en 1

6 .

b. SoitG et H les fonctions numériques définies par :

x ∈ [0 ; ] : G(x) = cos3πx H(x) = cos4πx

Étudier la continuité des fonctions produit FG et FH en 1

6 .

3. L’implication (3) :

f g continue en x0 =⇒ f continue en x0

et g continue en x0

est-elle vraie quelles que soient les fonctions numériques f et g définies au moins dans un intervalle ouvert non vide de centre x0 ?

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère l’application f :

f

C → C (C ensemble des nombres complexes) z 7−→ z4− z3+ z2+2

1. a. Montrer que si l’équation (1) : f (z) = 0 admet pour racine le nombre complexe α , elle admet aussi pour racine α.

b. Montrer que 1+ i et − 1

2 + i

p 3

2 sont racines de l’équation (1) .

c. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation (1) ?

En déduire une factorisation de f (z).

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

2. Montrer que f est le produit de deux polynômes du second degré à coeffi- cients réels.

PROBLÈME 4 POINTS

Soit un plan vectoriel euclidien P rapporté à une base orthonormée (

O, −→ ı ,

−→ )

. On

rappelle que l’ensemble L (P ) des endomorphismes de P , (applications linéaires de P dans P ), muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R.

Partie A

1. Soit p, q, s les éléments de L (P ) définies dans la base (−→ ı ,

−→ )

par :

p (−→ ı )

= −→ ı

p (−→ )

= −→ 0

q (−→ ı )

= −→ 0

q (−→ )

= −→ ı

s (−→ ı )

= −→

s (−→ )

= −→ ı

Montrer que p et q sont des projections. Quelle est la nature de s ?

2. Soit E le sous-espace de L (P ) engendré par p, q, s. Quelle est la dimension de E ?

3. On note F le sous-ensemble de L (P ) constitué par les endomorphismes f

tels que −→ ı · f

(−→ )

= −→ · f

(−→ ı )

.

a. Montrer que f est élément de F si, et seulement si, sa matrice dans la

base (−→ ı ,

−→ )

est de la forme

(

a b

b d

)

a, b, d désignent trois nombres

réels.

b. Montrer que F = E .

4. Soit f un élément de F dematrice

(

a b

b d

)

a,b,ddans la base (−→ ı ,

−→ )

. À tout

réel λ on associe l’ensemble des vecteurs −→ u de P tels que f

(−→ u )

=λ −→ u .

a. Montrer que est un sous-espace vectoriel de P .

b. Montrer qu’il existe en général deux valeurs distinctes λ1 et λ2 de λ pour

lesquelles 6= {−→ 0 }

.

c. Préciser la nature des endomorphismes correspondant aux cas d’excep- tion.

5. a. Établir l’implication :

f F ⇒∀ −→ u ∈P , ∀

−→ v ∈P ,

−→ u · f

(−→ v )

= −→ v · f

(−→ u )

.

b. Siλ1 etλ2 sont les valeurs deλ (distinctes) trouvées au 4. b., montrer que 1 et 2 sont deux sous-espaces vectoriels orthogonaux.

Partie B

Dans cette question on étudie le cas particulier f = p+2s−2q .

1. Quelle est la matrice de f dans la base (−→ ı ,

−→ )

? f est-elle bijective ?

2. Déterminer λ1 et λ2 (on choisira λ1 < λ2) et vérifier que 1 et 2 sont deux droites vectorielles orthogonales dont ondonnera l’équationdans la base

(−→ ı ,

−→ )

.

On note −→ u1 et

−→ u2 deux vecteurs unitaires de 1 et 2 respectivement. Quelle

est la matrice de f dans la base orthonormée (−→ u1 ,

−→ u2

)

?

Vientane 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

Partie C

On appelle P un plan affine euclidien associé au plan vectoriel P et soit O un point de P .

1. Étudier la fonction g :

g :

R → R

x 7−→ 2

5

(

x3−3 p −x2+25

)

et tracer son graphiqueC dans le planP rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

(On prendra 1 cm pour unité).

2. Soit ϕ l’application affine de P telle que son endomorphisme associé soit l’en- domorphisme f étudié en B, et telle que ϕ(0)= 0.

a. Montrer que ϕ est bijective et déterminer analytiquement ϕ−1.

b. Soit C la courbe d’équation x2+ y2−5 = 0 par rapport à (

O, −→ ı ,

−→ )

. On

appelle C ′ l’image de C par ϕ. Déterminer une équation de C ′ par rap-

port à (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Montrer queC ′ est la réunion deC ′1 et d’une courbeC ′ 2 dont on détermi-

nera une équation. Prouver que C ′1 et C ′ 2 sont symétriques par rapport à

O. En déduire le tracé deC ′.

c. Caractériser géométriquement la courbeC . Quelle est son équation dans

le plan rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→ )

? En déduire une équation deC ′ par

rapport à ce repère. Etudier alors la nature de C ′. Quels sont les axes de symétrie deC ′ ? Les tracer sur la figure faite en b.

Vientane 3 juin 1977

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