Algèbre - exercices 6, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les deux réels A et B, l'application de C dans C, l’ensemble des points de P d’ordonnée nulle.
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[ Baccalauréat C Rouen juin 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On considère la fonction f :

f : x 7−→ f (x)= x−2

(2x−3)2 .

Montrer qu’il existe deux réels A et B tels que :

x ∈R−

{

3

2

}

, f (x)= A

(2x−3)2 +

B

2x−3

Calculer I = ∫1

0

x−2

(2x−3)2 dx.

EXERCICE 2 3 POINTS

Soit f une application de C dans C définie par

z ∈C, f (z)= z3+bz2+cz+d

b, c, d sont trois nombres complexes. Déterminer b, c, d sachant que

f (i) = 0 f (1) = −4i f (−i) = −8i

b, c, d étant choisis, résoudre dans C l’équation f (z)= 0.

PROBLÈME 14 POINTS

Dans le plan affine (P) rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→ )

on définit la loi de composi-

tion interne notée ⋆, qui au couple de points (M ; M ′) de coordonnées respectives (x ; y),

(

x′ ; y ′ )

associe le pointm de coordonnées (

xx′ ; xy ′+ xy )

.

Partie A

1. On appelle (

P⋆ )

l’ensemble des points de coordonnées (x ; y) de (P) tels que x soit différent de 0.

Démontrer que (

P⋆ )

est stable pour la loi *.

Par abus de langage, la loi induite par ⋆ sur (

P⋆ )

sera encore notée ⋆.

Démontrer que (

P⋆, ⋆ )

est un groupe commutatif.

Soit (P1) l’ensemble des points de (

P⋆ )

d’ordonnée nulle.

Démontrer que (P1, ⋆) est un sous-groupe de (

P⋆, ⋆ )

isomorphe à (

R ⋆, ×

)

.

2. Soit A(a ; b) un point donné de (

P⋆ )

.

On appelle ϕA l’application de (P) vers (P) qui au point M associe le point M

vérifiant :

ϕA(M)=M ′ =A⋆M

Calculer les coordonnées deM ′ en fonction de celles (x ; y) deM .

Montrer que ϕA est une application affine de (P) .

Donner la matrice de l’endomorphisme associé dans la base (

−→ ı ,

−→ )

.

Reconnaître ϕI où I est l’élément neutre de (

P⋆, ⋆ )

et ϕN où N est un point quelconque de (P1).

Déterminer les points invariants de ϕA. Discuter suivant A.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

Partie B

On se propose de rechercher les fonctions numériques réelles f définies et déri-

vables surR⋆, telles que la représentation graphique (

Γ ⋆ )

de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

soit un sous-groupe de (

P⋆, ⋆ )

.

1. On suppose que le problème admet une solution f de représentation gra- phique

(

Γ ⋆ )

.

Soit M1 et M2 deux points quelconques de (

Γ ⋆ )

d’abscisses respectives x1 et x2. En écrivant que

(

Γ ⋆ )

est stable pour ⋆, établir une relation (1) liant f , x1 et x2.

Soit g la fonction numérique réelle définie par

x ∈R⋆ g (x)= f (x)

x .

Quelle relation (2) lie g , x1 et x2 ?

Cette relation étant vérifiée quels que soient x1 et x2 réels nonnuls, démontrer que g vérifie :

(3)

g (1)= 0 g (−1)= 0 g est une fonction paire

x R⋆, g ′(x)= g ′(1)

x

En déduire la forme générale des fonctions g vérifiant (3), puis celle des fonc- tions f susceptibles de répondre à la question.

2. Vérifier que les représentations graphiques des fonctions f trouvées au B - 1. sont bien des sous groupes de

(

P⋆, ⋆ )

.

3. Soit (Γ1) la courbe représentative dans (P) de la fonction f1 définie par

x ∈R⋆, f1(x)= xLog |x|.

a. Étudier les variations de f1 et construire (Γ1). Montrer que f1 peut être prolongée par continuité pour x = 0 et que la courbe ainsi obtenue ad- met à l’origine une tangente que l’on déterminera.

b. Calculer l’aire A (λ) de la portion de plan comprise entre la courbe, l’axe des abscisses, les droites d’équation x = λ et x = 1 avec 0 < λ < 1. A (λ) admet-elle une limite quand λ tend vers 0 ? Pouvait-on le prévoir ?

4. Soit B le point de (Γ1) d’abscisse e (base des logarithmes népériens), C le point

de (Γ1) d’abscisse 1

e . La droite (IC) recoupe la courbe (Γ1) en un point D. La

droite (IB) recoupe la courbe (Γ1) en un point E.

Démontrer sans calculs que E = B ⋆D

(On admettra que ces points E et D existent et sont uniques).

N. B. - La question B - 3. est indépendante de ce qui précède.

Rouen 2 juin 1977

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