Algèbre - exercices 7, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction logarithme népérien, l’endomorphisme de P.
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[ Baccalauréat C Rouen septembre 1977 \

EXERCICE 1 2 POINTS

Résoudre dans R l’inéquation

1+Log (x+3)> Log (

x2+2x−3 )

Log désignant la fonction logarithme népérien.

EXERCICE 2 4 POINTS

Un clochard suit une route indéfiniment bordée d’arbres alignés, distants les uns

des autres de 10mètres. Il décide au cours de sa promenade, de jouer au jeu suivant :

devant chaque arbre, il lance son unique pièce de monnaie ; si c’est pile, il continue

dans la même direction, si c’est face, il rebrousse chemin, jusqu’à l’arbre voisin. Au

bout de 6 déplacements, il s’endort au pied de l’arbre où il est.

On appelle x la distance arithmétique, enmètres, entre l’arbre devant lequel il com-

mence son jeu et l’arbre d’arrivée.

Quelles sont les valeurs possibles prises par x ? Dresser la loi de probabilité de cette

variable aléatoire sachant que la pièce n’est pas truquée.

Quelle est la distance ayant la plus grande probabilité ?

Calculer l’espérance et la variance de cette variable aléatoire.

PROBLÈME 14 POINTS

Partie A

Soit P un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonorméeB = (

−→

ı , −→

)

. On

considère l’endomorphisme ϕ de P ayant pour matrice dans la base B

A =

(

−7 −6

12 10

)

1. Trouver les nombres réels λ tels qu’il existe aumoins un vecteur −→

u non nul de

P vérifiant ϕ( −→

u )=λ. −→

u .

Déterminer l’ensemble El des vecteurs −→

v et l’ensemble E2 des vecteurs −→

w qui

vérifient respectivement ϕ( −→

v )= −→

v et ϕ( −→

w )= 2 −→

w .

2. Soit les vecteurs −→

e1 = 3 −→

ı −4 −→

et −→

e2 =−2 −→

ı +3 −→

.

Après avoir vérifié que (

−→

e1 , −→

e2

)

est une base de P, que l’on noteraB′, et précisé

si elle est orthonormée ou non, établir la matrice B de l’application ϕ dans

cette base B′.

3. Soit α l’endomorphisme de P tel que α( −→

ı )= e1 et α( −→

)= e2.

Notant R la matrice de l’application α dans la base B, déterminer R ainsi que

la matrice inverse R−1de R.

Vérifier que A =R ·B ·R−1.

Partie B

Soit M le plan affine euclidien, de plan vectoriel euclidien associé P, rapporté au

repère orthonormé R = (

O, −→

ı , −→

)

.

M0 étant un point donné duplanM on considère la suite (Mn)n∈N de points du plan

définie de la façon suivante :

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

notant, pour tout n ∈ N, (

xn ; yn )

les coordonnées du point Mn dans le repère R,

alors

quel que soitn ∈N

{

xn = −7xn−1−6yn−1 yn = 12xn−1+10yn−1

1. Démontrer que selon la positiondeM0 , les pointsMn sont oubien tous confon- dus, ou bien tous distincts et alignés sur une droite affine que l’on détermi-

nera.

2. La distance du point M au point O a-t-elle pour limite l’infini lorsque n tend vers l’infini ?

3. Calculer la limite lorsque n tend vers l’infini de

x2n+1+ y 2 n+1

x2n + y 2 n

Partie C

Soit a un nombre réel non nul. On note S l’ensemble des applications f de R dans

R, dérivables sur R, et satisfaisant pour tout x ∈R à la condition f ′(x)= a f (x).

1. Montrer que l’application fa définie par fa(x)= eax appartient à S.

2. f étant un élément quelconque de S, quelle est l’application dérivée de l’ap-

plication h = f

fa ?

En déduire que f est de la forme k · fa k est un nombre réel.

Trouver toutes les applications f et g deRdansR, dérivables surR, satisfaisant

pour tout x ∈R aux deux conditions

{

f ′(x) = −7 f (x)−6g (x)

g ′(x) = 12 f (x)+10g (x).

Rouen 2 septembre 1977

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