Algèbre - exercices 8, Exercices de Algèbre linéaire

Algèbre - exercices 8, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique sur l'algèbre 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite géométrique, les coordonnées.
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[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1977 \

EXERCICE 1 5 POINTS

1. Étudier la fonction f

f : R → R x 7−→ x+1−ex

Représenter graphiquement cette fonction dans un repère orthonormé, pré- ciser les branches infinies.

2. Soit λ un nombre réel et la fonction

: R → R x 7−→ λ(x+1)−ex

On note Γλ la courbe représentative de .

Trouver l’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles admet un maximum.

Soit le point d’ordonnée maximale de ; donner une équation de l’en- semble des points ?

EXERCICE 2 3 POINTS

Soit a un nombre réel strictement positif différent de 1.

1. Montrer qu’il existe une suite (un ) à termes positifs définis par

u0 = 2

n ∈N : un+1 = 1+aun a+un

.

Vérifier que la suite (vn) définie par

n ∈N : vn = −1+un 1+un

est une suite géométrique de raison a−1

a+1 .

2. Étudier la limite de la suite (vn) ; en déduire celle de (un ).

PROBLÈME 2 12 POINTS

Soit E un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. On dé-

signe par D la droite passant par O, de vecteur directeur −→ , et par Γ le cercle de

rayon unité ayant pour centre le point de coordonnées (1 ; 0).

1. Soit A l’ensemble des applications affines f de E dans E qui, à tout point M de coordonnées (x ; y), associent le point f (M) dont les coordonnées

(

x′ ; y ′ )

sont de la forme

{

x′ = ax

y ′ = bx+cy +d

a, c sont des réels non nuls, et où b, d sont des réels quelconques.

Montrer que ces applications sont bijectives et laissent la droite D invariante ( f (D)=D).

Réciproquement, montrer que toute application affine bijective de E dans E laissant la droiteD invariante est élément de A .

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

2. Montrer que A est un groupe pour la loi de composition des applications.

3. Quels sont les éléments involutifs de A ?

4. Quelles sont les similitudes directes appartenant à A ? Les caractériser géo- métriquement.

5. À tout point M de coordonnées (x ; y), on associe le nombre complexe z = x+ iy , appelé affixe deM .

Soit s l’application de E dans E qui, à tout point M d’affixe z fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′ = 2z−3i, où z est le complexe conjugué de z.

Montrer que s est un élément de A et construire l’ensemble s(Γ), image de Γ par l’application s.

6. Soit ft l’application de E dans lui-même qui, à tout point M du plan de coor- données (x ; y), fait correspondre le pointM ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

définies par

{

x′ = xet

y ′ = y + t

t est un réel quelconque.

a. Montrer que l’ensemble G des applications ft est un sous-groupe com- mutatif de A .

b. Étant donné un point M de coordonnées (α ; β), on désigne par C(α ; β) l’ensemble des points N = ft (M), où t décrit R.

Écrire une équation cartésienne deC(α ; β).

Construire les ensembles C(−1 ; 0), C(1 ; 0) et C(0 ; 1).

c. On pose ft (Γ)= Γt pour t ∈R⋆.

Montrer que ft est une conique dont on donnera une équation réduite et dont on calculera les coordonnées des sommets en fonction de t .

d. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles Γt est tangente à la droite d’équation y = 0.

Construire les coniques correspondantes.

Strasbourg 2 juin 1977

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