Algèbre - exercitation 1, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Mathématique - exercitation d'algèbre 1 sur l’application de E dans E. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans E l’équation, Démontrer que l’application f est bijective.
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[ Baccalauréat C Dijon septembre 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit E l’anneau Z/39Z. La classe modulo 39 d’un entier n sera noté n.

1. Soit f l’application de E dans E définie par

f (x)= 20.

a. Résoudre dans E l’équation

f (x)= 1.

b. Démontrer que l’application f est bijective.

2. Soit g l’application de E dans E définie par

g (x)= 26x.

a. Résoudre dans l’ensemble N⋆×N⋆ l’équation

2n−3p = 0.

Résoudre alors dans E l’équation

g (x)= 0.

b. L’application g est-elle bijective ?

EXERCICE 2 3 POINTS

Le plan affine (P) est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. À tout point M de

coordonnées (x ; y), on associe son affixe, le nombre complexe z = x+ iy (i désigne un nombre complexe dont le carré est égal à −1).

1. On appelle f l’application de (P) dans (P) qui, à tout pointM d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe

z ′ =−2iz+1+2i,

z désigne le complexe conjugué de z.

Démontrer que f est une similitude indirecte ayant un centre, le déterminer ainsi que l’axe et le rapport.

2. Soit Ω le point d’affixe 1, déterminer l’ensemble (C) des points M de (P) tels

que ∥

−−−→

M ′ ∥

∥= 2.

PROBLÈME 13 POINTS

On désigne par E un espace affine euclidien de dimension 2, par V l’espace vecto-

riel associé à E. Soit (

−→ ı ,

−→

)

une base orthonormée de V, on rapporte E au repère

cartésien (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= 1

2 x+1+

1

2

x2+16.

1. Étudier les variations de f . Quelle est l’image de f ?

2. Soit (C) la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Démontrer

que (C) admet deux droites asymptotes, l’une d’elles ayant pour équation car- tésienne y = x+1.

Préciser la position de (C) par rapport à ses asymptotes. Tracer (C).

3. Démontrer, sans calculs, que f considérée commeapplicationdeR sur ]1 ; +∞[ admet une fonction réciproque, notée g .

Vérifier que g est définie sur ]1 ; +∞[ par

g (x)= x−1− 4

x−1 .

Construire la courbe représentative de g dans le même repère que (C).

4. Calculer l’aire du domaine défini par les conditions

36 x 6 5 et 06 y 6 g (x),

puis en déduire l’aire du domaine défini par les conditions

06 x 6 3 et 06 y 6 g (x),

En déduire la valeur de ∫1

0

x2+16dx

Partie B

Soit I le point de coordonnées (0 ; 1) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. On appelle (C′) l’image

de (C) dans la symétrie par rapport à I, (H) l’ensemble (C) ∪ (C′). On appelle σ l’ap- plication affine qui, à tout point M de coordonnées (x ; y) associe le point M ′ de coordonnées

{

x′ = 2x y ′ = −x+ y.

1. a. Vérifier qu’une équation cartésienne de (H) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

est

y2− xy + x−2y −3 = 0.

b. Écrire une équation cartésienne de (H′), image de (H) par f . En déduire la nature de (H′), son centre, ses sommets, ses asymptotes.

2. On appelle φ l’endomorphisme associé à l’application affine σ. On note φ0

l’application identique, φ1 l’application φ ; n désignant un entier naturel, on désigne par φn+1 l’application φn φ, où ◦ représente le produit de composi- tion des applications.

Démontrer que la matrice de l’application φn dans la base (

−→ ı ,

−→

)

est du type

(

2n 0 an 1

)

an est le terme général de la suite définie sur N par

{

a0 = 0

an+1 = 2an − 1

2

Dijon 2 septembre 1979

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Soit (u) la suite de terme général un = an − 1

2 . Quelle est la nature de la suite

(u) ?

Exprimer un puis an à l’aide de n.

3. Soit A0 le point de (C) d’abscisse 3. On note A1 le point σ(A0), A2 le point σ(A1) , · · · , An+1 le point σ(An) , n étant un entier naturel.

a. Calculer les coordonnées dupoint An et vérifier que les points A0 ,A1, · · · ,An sont situés sur une même droite.

b. On appelle Gn le barycentre du système

{

(A0, 1) ;

(

A1, 1

4

)

; ...;

(

Ap , 1

4p

)

; ...;

(

An , 1

4n

)}

Calculer les coordonnées (Xn ; Yn) deGn dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Les suites (X ) et (Y ) de termes généraux respectifs Xn et Yn sont-elles convergentes ?

Dijon 3 septembre 1979

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