Algèbre - exercitation 12, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Mathématique - exercitation d'algèbre 12 sur le repère orthonormé direct. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: retrouver la nature et les éléments géométriques caractéristiques, retrouver par le calcul les él...
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[ Baccalauréat C Lyon septembre 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit k un élément de Z. Démontrer que les nombres 2k+1 et 9k+4 sont premiers entre eux. Démontrer que le PGCD des nombres 2k−1 et 9k+4 est nécessairement 1 ou 17. Pour quelles valeurs de k ce PGCD est-il égal à 17 ?

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On identifiera le plan P au plan complexe en associant à tout point M ∈ P , de co- ordonnées x et y , le nombre complexe z = x+ iy . Soit u un nombre complexe et fu l’application, de P dans P , associant à tout point M(z) le point M

(

z ′ )

z ′ =−u2z+2u.

1. Trouver la nature et les éléments géométriques caractéristiques de chacune des applications suivantes :

a. f = fu pour u = 1 ;

b. g = fu pour u = 1+ i p 2 .

2. On pose h = g f

a. Déduire la nature de h de celles de f et g .

b. Construire géométriquement le centre de h.

c. Retrouver par le calcul les éléments de h.

PROBLÈME 12 POINTS

Première partie

Pour tout couple de réels (a ; b) on note f(a, b) la fonction, de ]0 ; +∞[ vers R, définie par

f(a, b)(x)= ax+bLog x,

et on appelle C (a, b) la courbe représentative de f(a, b) dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Démontrer que la courbe C (−a ; −b) est l’image de la courbe C (a ; b) dans une symétrie que l’on précisera.

2. Etudier les variations de f(a, b) suivant les valeurs de a et b.

3. Construire les courbes C (1, 0), C (0, 1), C (1, 1) et C

(

1

e , −1

)

en prenant 2 cm

pour unité de longueur.

4. a. Justifier, pour tout x > 0, l’existence de l’intégrale

A(a, b) = ∫x

1 f(a, b)(t)dt

et calculer sa valeur.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

b. Étudier la limite de A(a,b)(x) lorsque x tend vers zéro, puis celle de 1

x2 A(a,b)(x)

lorsque x tend vers +∞.

c. En supposant a = 1

e et b = −1, calculer, pour λ > 0, l’aire du domaine

limité par la courbeC (a, b), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = h.

Deuxième partie

1. On appelle F l’ensemble des fonctions f(a, b). Démontrer que F est un espace vectoriel sur R lorsqu’on le munit des lois d’addition des fonctions et de mul- tiplication des fonctions par un nombre réel.

Donner une base de F . Quelle est la dimension de F ?

2. On désigne par R⋆+ l’ensemble des réels strictement positifs. Déterminer les éléments de F qui sont des isomorphismes du groupe multiplicatif (R, ×) sur le groupe additif (R, +). Forment-ils un espace vectoriel ?

Troisième partie

On désigne par P le plan affine euclidien muni du repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. a. Déterminer l’ensemble H des points M du plan P dont le produit des coordonnées est égal à leur somme. Montrer que H admet un centre de symétrie O.

Écrire l’équation de H dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

et donner la nature de

H .

b. Déterminer l’ensemble des points M du plan P, de coordonnées (x ; y), tels que l’on ait :

f(a, b)(xy)= f(a, b)(x)+ f(a, b)(y)

pour tout couple (a ; b) de R×R.

2. On appelle P′ l’ensemble P privé du point A(1 ; 0). On considère l’application h, de P′ dans P, qui à tout point M d’affixe le nombre complexe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que zz ′ = z+ z ′.

a. Prouver que M ′ est un élément de P′.

b. Démontrer que h et involutive et déterminer ses points invariants.

c. Calculer (z−1) (

z ′−1 )

.

En déduire l’image par h du cercle Γ de centre A et de rayon 1. Quelle est la nature de la restriction de h à ce cercle Γ ?

d. Montrer que l’image M ′ d’un point M de P′ d’affixe réelle x est un point d’affixe réelle x′. Quelle est la liaison avec l’ensemble H de 1. ?

Lyon 2 septembre 1979

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