Algèbre - exercitation 14, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Mathématique - exercitation d'algèbre 14 sur la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur R, Étudier les variations de f et construire sa courbe représen...
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[ Baccalauréat C Montpellier juin 1979 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Soit f la fonct+ion de R dans R définie par :

{

f (x) = xe1+2x pour x 6 0 f (x) = x(1− logx) pour x > 0

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur R.

2. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative.

EXERCICE 2 3 POINTS

Quatre nombres entiers strictement positifs a, b, c, d forment, dans cet ordre, une suite geométrique dont la raison est un nombre entier premier avec a. Trouver ces nombres sachant qu’ils vérifient en outre la relation :

10a2 = d b.

PROBLÈME 3 POINTS

I.

1. Soit λ un nombre complexe non nul. On considère la suite des nombres com-

plexes : S : N → C

n 7−→ zn définie par z0 = 0 et la relation :

(1) zn+1 =λzn + i pour tout n ∈N.

a. Calculer z z z z puis z en fonction dt’ À . l’ 2’ 3’ 4’ . n . Étudier particuliè- rement les cas À = 1 , À. = - l .

b. Deux termes de la suite S, d’indices différents, peuvent-ils être égaux ? Montrer que, dans l’affirmative, S t’st périodique.

c. Démontrer la relation : (2) z 2 (l + À) z 1 n+ n+ Àz n pour tout nE IN Montrer qu’inversement, toute suite complexe

(zn)ntlN vérifiant Zo = 0 , = i , d la relation (2) est égale à S .

2. On considère un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé.

L’affixe d’un point M de coordonnées (x ; y) est le nombre complexe z = x+iy .

On donne des réels r, θ, tels que r > 0 ; 0< θ < π

2 .

On notera u le nombre complexe de module r, d’argument 8 . On définit une suite de points (A ) par les conditions : n nEIN Ao est l’origine du repère Al est le point d’affixe i Pour tout nE IN , le point A 2 est l’image de A 1 par la similitude n+ n+ de centre A , de rapport r, d’angle 8 . n

On note z l’affixe du pointA . n n Écrire une relation entre z , z l’ Z 2’ Muntrer. en utilisant la question J, que A 2 est l’image de A par une similitude indépendante n+ n de n dont on précisera le centre, le rapport f’t l’angle. On suppose r = 2 cos 8 . Que pt !ut-on dire de la similitude ? La suite (An) peut-elle être périodique ? nEIN 1 4. On suppose maintenant r = –8-’ Préciser dans ce cas les caractéristiques de la similitude . Démontrer que tous les points An appartiennent à l’une ou l’autre de deux –..dr oi tesper pendi cul ai r es,et quelesvecteur s A Al A1A2sontnn+n+n+ or thog onaux.Représenter sur undessi nlespoi nt s AoAl ′...,A5,ensupposant8 = etenpr enant2cmpour un

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

II.

4 eX - 2 eX + 1 Etudier les variations de g et tracer sa courbe représentative cr) dans le même repère que puur (C). Montrer que la fonction g admet une fonction réci- proque g -1 ; déterminer g - x) . En déduire une particularité géométrique entre les courbes cr) et (C) . Soit la fonction réelle g de la variable réelle x définie par g(x)

III.

1. Vérifier que la fonction G définie par G(x) = - 2x + 6 Log (ex + 1) est une pri- mitive de g . Calculer l’aire de la portion de plan comprise entre l’axe des x, la courbe cr) et les droites d’équatiuns x = 0 et x = Log (4) . En donner une valeur ’ ’10-2 ,

approchée a pres.

IV.

Soit le mouvement du point M défini par : x(t) 2 Log t 4 t2 - 2 t2 + 1 y(t) où l est strictement positif.

1. Quelle est la trajectoire dumouvement du point M?

2. Donner les coordonnées des vecteurs vitesse V(t) et accélération r(t) dumuuV/ :mt’nl du point M à l’instant 1. -+

3. Pour quelle valeur Lo de t le vecteur accélération r(to) est-il parallèle à l’axe des x ’( Déterminer alors la position M(Lo) du point M sur la trajectoire, le vecteur vitesse Veto) et le vecteur accaération r(to) à l’instant

Montpellier 2 juin 1979

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