Algèbre - exercitation 15, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

Algèbre - exercitation 15, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Mathématique - exercitation d'algèbre 15 sur le système de base y. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien, l’image m de z.
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[ Baccalauréat C Montpellier septembre 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Résoudre dans Z×Z l’équation :

5x−4y = 1.

2. Un entier naturel n s’écrit 52 dans un système de numération de base x et 43 dans un autre système de base y .

Quelles sont les valeurs possibles de x et de y ?

EXERCICE 2 4 POINTS

À tout nombre complexe z on associe son image m dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Pour tout nombre complexe z différent de i, on pose :

Z = 2z−4

z− i

1. Comment choisir l’imagem de z pour que Z soit réel ?

2. Comment choisir l’imagem de z pour que Z ait pour argument − π

2 ?

On peut traiter cet exercice par le calcul ou par un raisonnement géométrique.

PROBLÈME 13 POINTS

Les parties A et B sont deux exemples d’une même situation mathématique, dans un

plan affine euclidien d’une part, en analyse d’autre part. Elles peuvent être traitées

indépendamment.

Partie A

On donne un plan vectoriel euclidien E muni d’une base orthonormée (−→ ı ,

−→  j

)

.

On dira qu’un endomorphisme ϕ de E possède la propriété (A) lorsqu’il existe un

réel k ∈]0 ; 1[ tel que, pour tout −→ u ∈E,

ϕ (−→ u )∥

∥6 k

−→ u

∥ .

1. ϕ est défini par sa matrice dans la base (−→ ı ,

−→  j

)

2

3 − 1

3 1

2

1

2

On pose −→ u = r cosθ

−→ ı + r sinθ

−→ (r > 0 ; 06 θ < 2π).

Calculer en fonction de r et θ :

F (r, θ)= ∥

ϕ (

r cosθ −→ ı + r sinθ

−→ )∥

2 .

et démontrer que ϕ possède la propriété (A), par exemple pour k =

p 3

2 on

pourra mettre F (r, θ) sous la forme A+B cos2θ+C sinθcosθ.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. Soit P unplan affine euclidien associé au plan vectoriel E,muni d’un repère or-

thonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

et f une application affine de P dans P dont l’endomor-

phisme associé, noté ϕ, possède la propriété (A). 1E est l’application identité de E. Démontrer que l’endomorphisme ϕ−1E est bijectif.

En déduire que f possède un point invariant et un seul, Ω, déterminé par l’équation :

ϕ (−−→ OΩ

)

− −−→ OΩ =

−−−→ O′O oùO′ = f (O).

Soit M0 un point du plan P. On définit la suite M0, M1, . . . , par :

Mn = f (Mn−1) n = 1, 2, . . .

Démontrer que lim n→+∞

−−−−→ ΩMn

∥= 0.

3. On considère les suites numérique (xn ) , (

yn )

définies par

x0 = y0 = 0

xn = 2

3 xn−1−

1

3 yn−1+2

yn = 1

2 xn−1+

1

2 yn−1−1

Démontrer que les suites (xn )n∈N et (

yn )

n∈N sont convergentes et déterminer leurs limites,

Partie B

a est un réel strictement positif. On donne l’application :

f : ]0 ; +∞[ → R

x 7−→ 2

3 x+

a3

3x2

1. Construire la courbe représentative.On étudiera particulièrement le point d’in- tersection avec la droite y = x et la tangente en ce point.

2. Soit x0 ∈R; x0 > a. On pose

xn = f (xn−1) pourn ∈N ⋆

Démontrer que l’on a :

a < xn < xn−1 pour toutn ∈N ⋆

Etablir l’inégalité :

06 f ′(x)6 2

a (xa) pour x > a

En déduire l’inégalité :

xn a6 2

a (xn−1−a)

2 pour toutn ∈N⋆

Montpellier 2 septembre 1979

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

3. Démontrer une inégalité de la forme :

xn a

a 6 An

(x0−a

a

)

un , n ∈N ⋆

où les An et les un sont des entiers que l’on déterminera en fonction de n.

On suppose x0−a

a 6

1

10 . Quel est le plus petit entier n pour lequel

xn a

a 6 10−8 ?

Montpellier 3 septembre 1979

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