Algèbre - exercitation 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Mathématique - exercitation d'algèbre 2 sur la suite. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Montrer que la suite est croissante, définir l’équation.
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[ Baccalauréat C Étranger Groupe I bis juin 1979 \

EXERCICE 1 4 points

On donne une suite (

qn )

n∈N d’entiers naturels, croissante et dont le premier terme q0 est supérieur ou égal à 2. On construit la suite (un )n∈N :

u0 = 1

q0

u1 = 1

q0 +

1

q0q1 · · · = · · ·

un = 1

q0 +

1

q0q1 +·· ·+

1

q0q1 · · ·qn

1. Montrer que la suite (un )n∈N est croissante et peut être majorée par une suite convergente (ne dépendant par exemple que de q0).

En déduire que la suite (un )n∈N a une limite, qui appartient à l’intervalle ]0 ; 1] de R .

2. Montrer que si, pour tout entier n supérieur ou égal à l’entier k, qn = qk ’ la limite de la suite (un )n∈N est un rationnel.

EXERCICE 2 4 points

1. Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé, tracer la courbe C définie par l’équation :

2ay = x2 a réel positif donné.

2. Calculer la pente (ou coefficient directeur) de la tangente à la courbe C au point M1 d’abscisse x1. Quelle relation doivent vérifier les abscisses x1 et x2 de deux points M1 et M2 de C pour que les tangentes à C en ces points soient orthogonales ?

3. Démontrer que la droite M1M2 déterminéepar deuxpoints deC ainsi associés passe par un point fixe qu’on placera sur la figure.

Déterminer l’ensemble décrit par l’intersection des tangentes à C en M1 et M2.

PROBLÈME 12 points

Partie A

C désignant le corps des nombres complexes, on pose :

j= cos 2π

3 + isin

2π

3 .

On vérifiera que 1+ j+ j2 = 0. Soit F l’application polynôme de C dans C :

z 7−→ F (z)= z(z +1) (

z − j2 )

+ 2

9 (j−4).

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Déterminer les coefficients complexes a et b de façon que l’application σ de C dans C : z 7−→σ(z)== az +b vérifie les deux conditions :

{

σ (

j2 )

= 0 σ(0) = −1.

Comparer alors σ(−1) et j2.

2. On considère l’application s de C dans C, dépendant du paramètre complexe m :

z 7−→ s(z)= mz −1.

Peut-on déterminer m de façon que ∀z ∈C) F [s(z)]= F (z) ?

(On admet que deux applications polynômes sont égales si et seulement si les polynômes ordonnés ont les mêmes coefficients).

Comparer au résultat de 1.

3. Soit r l’application de C dans C : z 7−→ r (z)= jz −1.

Déterminer l’unique complexe z0 invariant par r .

Vérifier z20 =− 1

3 j2.

Calculer r r r . Vérifier que, pour tout z, dansCmuni de sa structure d’espace affine réel, z0 est l’isobarycentre du triplet

(

z, r (z), r 2(z) )

.

4. Pour λ complexe, développer et ordonner F (z0+λ).

En déduire que l’équation F (z) = 0 admet trois racines complexes, préciser celles-ci et les situer sur une figure du plan complexe.

Partie B

Soit E un plan vectoriel réel (espace vectoriel de dimension 2 sur R). Un endomor- phisme f de E est dit ternaire si f 0 f 0 f = IdE, application identique de E. (Dans la suite on notera f f f = f 2 ◦ f = f 3, f 3 ◦ f = f 4, etc.)

1. On suppose dans cette question que f est un endomorphisme ternaire de E,

et −→ u un vecteur non nul de E tel que le système (

−→ u , f

(

−→ u

)

) soit lié. Montrer

que f (

−→ u

)

= −→ u .

En déduire qu’on peut trouver une base de E dans laquelle lamatrice de f soit

de la forme A =

(

1 h 0 k

)

, h, k étant deux réels.

Démontrer que f est nécessairement l’application identique. (

On calculera A3 )

.

2. On suppose dans cette question que f est un endomorphisme de E, et que,

pour tout vecteur −→ u non nul de E, le système (

−→ u , f

(

−→ u

)

) est libre. Soit −→ u un

vecteur non nul de E, et −→ v = f

(

−→ u

)

; alors il existe deux réels p, q tels que la

matrice de f dans la base (

−→ u ;

−→ v

)

soit B =

(

0 p 1 q

)

.

Calculer p et q de façon que f soit ternaire.

p, q ayant les valeurs trouvées, et π désignant un plan affine attaché à E, dé- montrer, analytiquement ou par tout autre procédé, que toute application af- fine g de π dans π admettant f comme endomorphisme associé admet un point invariant unique et vérifie g g g = Idπ.

3. Plus généralement, soit F l’endomorphisme de E dont la matrice, dans une

base (

−→ u ;

−→ v

)

de E, est : C =

(

1 −1 1 2cosθ

)

θ est un réel donné appartenant à

l’intervalle ]0 ; π[.

On définit sur E une forme bilinéaire symétrique Φ par :

Étranger Groupe I bis 2 juin 1979

Terminale C A. P. M. E. P.

Φ

(

−→ u ,

−→ u

)

= 1, Φ (

−→ v ,

−→ v

)

= 1, Φ (

−→ u ,

−→ v

)

= cosθ

Montrer que Φ est un produit scalaire sur E, et que F est un automorphisme orthogonal de l’espace euclidien (E,Φ) ?

E étant supposé orienté par la base (

−→ u ;

−→ v

)

, déterminer le vecteur −→ w de E de

façon que (

−→ u ;

−→ w

)

soit une base directe et orthonormée relativement àΦ.

Former la matrice de F dans cette nouvelle base.

Quelle est la nature de F dans (E,Φ) ? À quelle condition, n étant un entier donné supérieur ou égal à 3, a-t-on F n = IdE ?

Étranger Groupe I bis 3 juin 1979

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