Algèbre - exercitation 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Mathématique - exercitation d'algèbre 4 sur l'entier naturel supérieur ou égal à 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démontrer que la suite est strictement croissante, Trouver, à l’aide du résultat précéd...
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[ Baccalauréat C HO–CHI–MINH Ville juin 1979 \

EXERCICE 1 4,5 POINTS

1. a. p étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, on définit la suite

(Vn)n∈N⋆ , par : Vn = pn

n+1 .

Démontrer que cette suite est strictement croissante.

En déduire que : (∀p > 2), (∀n > 1), pn

n+1 > 1

et : (∀p > 5), (∀n > 1), pn

n+1 > 2.

b. Trouver, à l’aide du résultat précédent, tous les couples (p ; n) où p est un entier naturel premier, et n un entier strictement positif, qui vérifient

16 pn

n+1 6 2.

2. Soit a un entier naturel non nul, qui s’écrit

a = 11 ·p α2 2 · · · · ·p

αk

k ,

p1 ,p2, · · · , pk sont des entiers naturels premiers, deux à deux distincts, et α1, α2, · · · , αk des entiers naturels non nuls. On admettra que le nombre de diviseurs de a dans N est

d(a)= (α1+1)(α2+1) · · · (αk +1) .

En utilisant 1. b., déterminer les entiers naturels non nuls a tels que a = 2d(a).

EXERCICE 2 4,5 POINTS

Soit ABC un triangle, non équilatéral, d’un plan affine euclidien P et soit

a = ∥

−−→ BC

∥ , b = ∥

−−→ CA

∥ , c = ∥

−−→ AB

∥.

Soit G le centre de gravité du triangle.

1. Démontrer que GA2 = 2b2+2c2−a2

9 .

2. Déduire du 1. la valeur de

(

b2−c2 )

GA2+ (

c2−a2 )

GB2+ (

a2−b2 )

GC2.

3. Déterminer l’ensemble D des points M du plan P tels que

(

b2−c2 )

MA2+ (

c2−a2 )

MB2+ (

a2−b2 )

MC2 = 0.

(Onmettra en évidence deux points de D.)

PROBLÈME 11 POINTS

Partie A

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

Soit f la fonction de R dans R définie par :

f (x)= x+1+ √

x2+4x .

On appelle P unplan affine euclidien rapporté à un repère orthonorméR = (

O, −→ ı ,

−→

)

.

(On prendra pour unité : 1 cm).

1. a. Étudier la fonction f .

b. Construire la courbeC représentant f dans le repère R du plan P.

2. a. Soit C ′ la courbe représntative dans R de la fonction g de R dans R défi- nie par :

g (x)= x+1− √

x2+4x.

Démontrer que C et C ′ sont symétriques par rapport au point Ω de co- ordonnées (−2 ; −1) , (On ne demande pas d’étudier g ).

b. Comment obtient-on à partir de C la courbe Γ, ensemble des points du plan P dont les coordonnées dans R vérifient :

y2−2(x+1)y −2x+1 = 0.

Représenter Γ sur le dessin fait au 1.

3. a. Démontrer que f définit une bijection de [0 ; +∞[ sur [1 ; +∞[, dont la bijection réciproque est l’application h, qui peut s’écrire sur [1 ; +∞[ :

h(x)= (x+1)2−4(x+1)+4

2(x+1)

b. Calculer ∫2+

p 5

1 h(x) dx, puis l’aire en cm2 du domaine limité par l’axe

des abscisses, la courbeC , et les droites d’équations x = 0 et x = 1. On donnera le résultat à 10−2 près).

Partie B

On considère à présent le repère R′ = (

Ω, −→ I ,

−→ J

)

du plan, oùΩ est le point de coor-

données (−2 ; −1) et où −→ I =

−→ ı ,

−→ J =

−→ ı +2

−→ .

1. a. Étant donné un point M du plan P, on note (x ; y) ses coordonnées dans R, (X ; Y ) ses coordonnes dans R′.

Exprimer x et y en fonction de X et Y .

b. Écrire l’équat ion de Γ dans le repèreR′, et reconnaître cette courbe.

2. Pour tout nombre réel non nul k, on note∆k la droite d’équation Y = kX dans R

′.

a. k et k ′ étant deux réels nonnuls distincts, exprimer analytiquement dans R

′, la symétrie d’axe ∆k parallèlement à ∆k ′ .

b. Démontrer que pour tout nombre réel non nul k, il existe k ′ ∈R⋆, unique tel que la symétrie par rapport à ∆k parallèlement à ∆k ′ échange le sup- port des axes du repèreR′. On note Sk cette symétrie.

c. Vérifier que, quel que soit le réel k non nul, Sk conserve la courbe Γ.

HO–CHI–MINH Ville 2 juin 1979

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