BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S ..., Examens de Mathématiques

Télécharge BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S ... et plus Examens au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Session 2010 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement Obligatoire Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 . Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Page 1 / 6 EXERCICE 1 (4 points ) (Commun à tous les candidats) Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À chaque question, une seule des trois réponses notée a, b ou c est exacte. On demande au candidat d’indiquer sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou une absence de réponses n’enlèvent pas de point. x y z A B C K D O E F G H I J Dans l’espace rapporté à un repère or- thonormal ( O, −→ i , −→ j , −→ k ) , on consi- dère les points : A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(1, 2, 0), D(1, 0, 1), E(1, 1, 1), F (1, 2, 1), G(0, 0, 1), H(0, 1, 1), I(0, 2, 1), J(0, 1, 0), K(0, 2, 0) comme indiqués sur le figure ci-contre : Question 1. Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. Question 2. Le barycentre du système de points pondérés {(O, 2), (A,−1), (C, 1)} est : Réponse a : le point K. Réponse b : le point I . Réponse c : le point J . Question 3. Le produit scalaire −−→ AH. −→ FC est égal à : Réponse a : 1. Réponse b : −1. Réponse c : 2. Question 4. Les points B, C, I , H : Réponse a : sont non copla- naires. Réponse b : forment un rec- tangle. Réponse c : forment un carré. Question 5. Une représentation paramétrique de paramètre t de la droite (KE) est : Réponse a :    x = t y = 2 + t z = t . Réponse b :    x = 3 + 4t y = t z = 4t . Réponse c :    x = 1 − t y = 1 + t z = 1 − t . Question 6. Une équation cartésienne du plan (GBK) est : Réponse a : 2x + 2y − z − 2 = 0. Réponse b : x + y − 3 = 0. Réponse c : x + y + 2z = 2. Question 7. La distance du point C au plan (ADH) est : Réponse a : √ 2. Réponse b : 2. Réponse c : 1 2 . Question 8. Le volume du tétraèdre HJKB est égal à : Réponse a : 1 2 . Réponse b : 1 6 . Réponse c : 1 3 . Page 2 / 6 EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) L’objectif de l’exercice est l’étude d’une fonction et d’une suite liée à cette fonction. Partie A On note f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f(x) = 1 x2 e 1 x . On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( O, −→ i , −→ j ) . L’unité graphique est 1 cm. 1. Etude des limites a) Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0. b) Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers +∞. c) Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe C ? 2. Etude des variations de la fonction f a) Démontrer que la fonction dérivée de la fonction f s’exprime, pour tout réel x strictement positif, par : f ′(x) = − 1 x4 e 1 x (2x + 1). b) Déterminer le signe de f ′ et en déduire le tableau de variation de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. c) Démontrer que l’équation f(x) = 2 a une unique solution notée α appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ et donner la valeur approchée de α arrondie au centième. 3. Tracer la courbe C dans le repère orthonormal ( O, −→ i , −→ j ) . Partie B Etude d’une suite d’intégrales Pour tout entier naturel n > 2, on considère l’intégrale In définie par : In = ∫ 2 1 1 xn e 1 x dx. 1. Calculer I2. 2. Une relation de récurrence a) Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout entier naturel n > 2 : In+1 = e − √ e 2n−1 + (1 − n)In. b) Calculer I3. Page 5 / 6 3. Etude de la limite de la suite de terme général In a) Etablir que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [1 ; 2], on a : 0 6 1 xn e 1 x 6 e xn . b) En déduire un encadrement de In puis étudier la limite éventuelle de la suite (In). Page 6 / 6