Calcul avancé - exercice 12, Exercices de Calculs avancés

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique f de la variable réelle x, le logarithme népérien, les variations, la matrice A.
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[ Baccalauréat C Limoges juin 1973 \

EXERCICE 1

Déterminer le reste de la division par 5 de 81974.

EXERCICE 2

Soit la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :

f (x)= Log x+11

x−1 Log désigne le logarithme népérien

1. Étudier ses variations, tracer sa courbe représentative.

2. Résoudre l’équation f (x)= a a est un réel donné.

EXERCICE 2

Soit P le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

; m et M

sont deux points de ce plan de coordonnées respectives (x ; y) et (X ; Y ) ; f est une application du plan dans lui-même qui au pointm associe le point M ; l’application est définie par

X = x

2 +ay

Y = bx+ y

2 (a et b étant deux nombres réels donnés).

1. π étant le plan vectoriel associé à P donner la matrice A de l’application li- néaire qui au vecteur de coordonnées (x ; y) fait correspondre le vecteur de coordonnées (X ; Y ).

Déterminer suivant les valeurs de a et b le noyau et l’image de cette applica- tion linéaire. À quelle condition portant sur a et b est-elle bijective ?

Quels sont les points invariants de l’application f ?

Si f est bijective déterminer la bijection réciproque.

2. a. Pour quelles valeurs de a et b l’application f est-elle une isométrie ? Pré- ciser la nature des isométries trouvées.

b. On considère la matrice A

A =

1

2 −

p 3

2p 3

2

1

2

Déterminer A×A = A2, puis A3 ; en déduire A4, A5, A6, puis An , (n entier naturel).

c. L’application f est déterminée par

X = x

2 −

p 3

2 y

Y =

p 3

2 x+

y

2

Si le point m décrit la droite (d) d’équation 3x+2y −6= 0, construire la courbe décrite par M (une figure précise est demandée).

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

3. On prend maintenant a =−b =λ.

a. Montrer que f est une similitude. Quel est son centre ? Calculer en fonc- tion de λ le rapport k de cette similitude.

Construire la courbe représentant les variations de k lorsque λ décrit l’ensemble des réels,

b. (d) est une droite passant par le point fixe A(0 ; 1) ; montrer que sa trans- formée (D) par la similitude correspondant à λ = 1 passe par un point fixe A′ que l’on déterminera.

À quelle courbe appartient le point d’intersection I de (d) et (D) lorsque (d) varie en passant par A ?

4. Dans cette question on choisit a = 1 et b = 2 ; m décrit la courbe d’équation 2x2− y2 = 1.

Quelle est la nature de cette courbe ? Déterminer la courbe décrite par le point M transformé dem par f .

N. B. Les questions 2, 3, 4 sont indépendantes les unes des autres.

Limoges 2 juin 1973

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