Calcul avancé - exercice 14, Exercices de Calculs avancés

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, les variations de la fonction f, lamultiplication externe par les nombres réels.
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[ Baccalauréat C Maroc juin 1973 \

EXERCICE 1

Résoudre dans C l’équation :

z3+2(i−1)z2−3iz + i+1= 0.

(Donner les racines sous la forme a + ib, avec a ∈ R,b ∈ R. Remarquer une racine évidente). Le plan affine euclidien étant rapporté à un repère orthonormé, montrer que les points ayant pour affixes les racines de cette équation, sont les sommets d’un tri- angle rectangle.

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique, définie sur R, par :

{

f (x) = Log x si x > e2

f (x) = ax +b si x < e2

a et b sont des nombres réels.

1. Déterminer a et b pour que la fonction f soit continue et dérivable sur R.

2. On suppose maintenant a = e−2 et b = 1.

Étudier les variations de la fonction f , et la représenter graphiquement dans un repère orthonormé.

3. Montrer que f admet une fonction réciproque f −1, définie sur R.

Pour tout nombre réel y , expliciter l’expression de x = f −1(y), en fonction de y , (distinguer selon les valeurs de y).

Montrer que la fonction f −1 est dérivable, et donner l’expression de sa dérivée au point y , en fonction de y .

PROBLÈME

On rappelle que l’ensemble F des fonctions numériques définies sur R, muni de l’addition :

f + g : x 7−→ f (x)+ g (x)pour tout ( f , g )∈F ×F

et de la multiplication externe par les nombres réels :

λ f : x 7−→λ f (x)pour tout (λ, f ) ∈R×F

est un espace vectoriel sur R. Soient A, B, C , les fonctions numériques définies sur R par :

A(x)= xex , B(x)= ex , C (x)= e−x pour tout x ∈R.

Soit E le sous-espace vectoriel de F engendré par A,B,C , c’est-à-dire l’espace vec- toriel des fonctions f , de la forme f = a A+bB +cC a,b,c sont des nombres réels quelconques.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

1. Montrer que toute fonction f appartenant à E est dérivable, et que sa dérivée appartient à E.

Soient α, β, γ des nombres réels. Déterminer les fonctions f ∈ E telles que f (0)=α, f ′(0)=β, f ′′(0)= γ.

En déduire que les fonctions A,B,C , sont linéairement indépendantes. Quelle est la dimension de E ?

2. Pour tout nombre réel λ, soit la fonction : (x)= xe x +λe−x . Étudier, selon

les valeurs de λ, les limites à l’infini de la fonction ainsi que de la fonction x 7−→ (x). (Distinguer λ< 0, λ= 0, λ> 0).

Étudier les variations de la fonction f0 et tracer sa courbe représentative.

Quelles sont les variations de la fonction g définie par :

g (x)= 1

2e2 f0(2(x +1))?

En s’aidant de la fonction g , étudier les variations de la fonction selon les

valeurs de λ. Tracer la courbe représentative de la fonction pour λ=− 1

2e3 et pour λ= 1.

3. Montrer que l’application D de E dans E, définie par D( f ) = f ′, pour toute f EE , est une application linéaire bijective. Déterminer les coefficients réels a,b,c de façon que la fonction f = a A+bB +cC ait pour dérivée une fonction donnée h = r A+ sB + tC , appartenant à E.

4. Montrer que si ac = 0, la fonction f = a A +bB + cC , et les fonctions f ′ et f ′′, sont linéairement indépendantes. Exprimer dans ce cas f ′′′ commecombinai- son linéaire de f , f ′, f ′′, et vérifier que la relation ainsi obtenue entre f , f ′, f ′′

et f ′′′, reste valable pour toute f ∈ E.

Maroc 2 juin 1973

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