Calcul avancé - exercice 17, Exercices de Calculs avancés

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 17. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le Logarithme népérien, l’espérance mathématique et la variance de X.
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[ Baccalauréat C Nice juin 1973 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction de ]−1 ; +1[ dans R définie par : 

f (0) = 0

f (x) = xLog 1

|x| si x 6= 0

où Log désigne le Logarithme népérien.

1. f est-elle continue au point x = 0 ? 2. Étudier les variations de f et tracer sa représentation graphique dans un re-

père orthonormé.

Donner une équation de la tangente au point A d’abscisse 1.

3. À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de f . En dé- duire l’aire du domaine défini par

{

0 6 x 6 1 0 6 y 6 f (x)

EXERCICE 2

Une urne contient sept boules rouges et trois boules blanches.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? Une boule rouge ?

2. Une épreuve consiste à tirer successivement 4 boules avec remise dans l’urne après chaque tirage. On considère la variable aléatoire (ou aléa numérique) X qui associe à toute épreuve le nombre de boules blanches tirées.

a. Quel est l’ensemble des valeurs prises par X ?

b. Étudier la fonction de répartition de X ?

c. Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.

N. B. : On suppose que la probabilité de tirer une boule est la même pour chaque boule.

PROBLÈME

Partie A

Dans le plan affine E2 rapporté à un repère R = (

O, −→ ,

−→ k )

, on considère les points

A(2 ; 0), B(0 ; 1), O′(1 ; −2), A′(1 ; a), B′(−1 ; −2)

a désigne un nombre réel.

1. Soit M un point de coordonnées x et y dans le repère :Il . Calculer les coor-

données α et β de M dans le repère (

O, −−→ OA ,

−−→ OB

)

en fonction de x et y .

Au point M de E2 on associe le point M ′ de E2 tel que :

−−−→ O′M′ =α

−−−→ O′A′ +β

−−−→ O′B′

Calculer les coordonnées x′ et y ′ de M ′ dans le repèreR en fonction de x et y .

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

Montrer que l’application F de E2 dans E2 définie par M ′ = F (M) est une ap- plication affine. Quelle est, dans la base

(−→ ,

−→ k )

, la matrice de l’application

linéaire associé à F ?

Comment choisir a pour que F soit bijective ? Quelle est l’image de E2 par F dans le cas où F n’est pas bijective ?

2. On suppose E2 euclidien orienté et le repère (

O, −→ ,

−→ k )

orthonormédirect. On

appelle affixe d’un point M de E2 de coordonnées x et y le nombre complexe z = x + iy . Déterminer a pour que F soit une similitude directe. Calculer dans ce cas l’affixe de F (M) en fonction de celle de M . Déterminer le centre, le rapport et l’angle de cette similitude.

Partie B

Soit le plan euclidien orienté E2 muni du repère orthonormé directR = (

O, −→ ,

−→ k )

.

On considère l’application g de C dans C définie par :

z ′ = g (z)= 2iz +1−2i.

On note T l’application de E2 dans E2 qui, au point M d’affixe z, associe le point M

d’affixe z ′ = g (z).

1. Calculer les coordonnées de T (M) en fonction des coordonnées de M dans le repère R.

Montrer que T est bijective et exprimer les coordonnées de M en fonction de celles de T (M).

Montrer que T admet un seul point fixe H . Quel est le transformé O′ de O par T ?

2. Donner, dans le repère R, une équation de l’ellipse (E ) de centre O, d’excen-

tricité e = p 5

3 et telle que H soit un sommet de son axe focal.

Montrer que l’image (

E ′) de (E ) par T est une ellipse dont on précisera les

foyers et l’excentricité.

3. On considère la symétrie orthogonale S par rapport à la droite OO′. Calculer les coordonnées de S(M) en fonction de celles de M dans le repère R.

Calculer l’affixe de S(M) en fonction du conjugué de l’affixe de M .

On pose T ′ = S T . Calculer l’affixe de T ′(M) en fonction du conjugué de l’affixe de M . Montrer que T ′ est une similitude indirecte dont on déterminera le centre et le rapport.

N. B. : Les parties A et B du problème sont indépendantes.

Nice 2 juin 1973

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