Calcul avancé - exercice 20, Exercices de Calculs avancés

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Exercices de mathématique sur le calcul avancé 20. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les intégrales, le plan euclidien, l’ensemble des points M de (P).
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[ Baccalauréat C Paris septembre 1972 \

EXERCICE 1

Calculer les intégrales

U = ∫ π

4

0 sin4 x dx et V =

π 4

0 sin4 x cosx dx.

EXERCICE 2

Soit (E) un espace vectoriel sur R, de dimension 2, et une base (−→ ı ,

−→

)

de (E), et soit

a un nombre réel, fixé. Montrer que, parmi toutes les applications linéaires f de (E) dans lui-même pour

lesquelles f (−→ ı

)

= a −→ ı

−→ , il en existe une, et une seule, telle que ( f f )

(−→ ı

)

= f (−→ ı

)

;

on montrera à cet effet qu’on peut déterminer f (−→

)

.

Vérifier que, pour cette application, ( f f ) (−→

)

= f (−→

)

; comparer f f et f ; vérifier

alors que, pour tout vecteur −→ u de (E), le vecteur

−→ n =

−→ u f

(−→ u

)

appartient au noyau

de f .

PROBLÈME

N. B. - Les paragraphes a, b et c de la deuxième question peuvent être traités indé- pendamment du reste du problème.

On désigne par (P) le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé d’axes Ox, Oy (unité de longueur : 3 cm).

1. a. Soit f la fonction de la variable réelle x définie par :

f (x)= (x−1) p 2x.

Quel est son domaine de définition ? Est-elle dérivable en tout point de ce domaine ?

Étudier la variation de cette fonction f et tracer dans (P) la portion (C1) de sa courbe représentative correspondant aux valeurs de x telles que 06 x 6 2.

b. Soit (C ) l’ensemble des points M de (P) dont les coordonnées x et y sa- tisfont à l’équation

y2−2x(x−1)2 = 0 à la condition 06 x 6 2.

Montrer que (C ) est l’union de (C1) et d’une courbe (C2), que l’on dessi- nera, déduite de (C1) par une transformation simple de (P).

Préciser les coordonnées des points communs à (C ) et à la droite (∆) d’équation y = x.

c. Soit (Γ) l’ensemble des points M de (P) dont les coordonnées x et y sa- tisfont à l’équation

(

y2+4x2 )2 −4x2

(

x2+1 )2

= 0 et à la condition −26 x6 2.

Montrer que (Γ) est l’union de (C ) et d’une courbe (C ′), transformée de (C ) dans une symétrie, que l’on précisera.

Dessiner (Γ) sur une figure distincte de la figure utilisée aux paragraphes a et b.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

d. On considère enfin l’ensemble (

Γ ′ )

des points M de (P) dont les coor- données x et y satisfont à l’équation et à la condition −26 x 6 2.

Montrer que (Γ′) se déduit de (Γ) par une symétrie, que l’on précisera (on ne dessinera pas (Γ), dans cette question).

2. a. À tout nombre complexe non nul, α, on associe l’application , de C dans C, définie par

(z)=αz

et l’application de C dans C définie par (z)=αz, où z est le conju- gué de z.

On désigne par E l’ensemble de toutes les applications et ainsi définies.

Soit λ et µ deux nombres complexes non nuls, distincts ou non.

Déterminer les images de z par les applications composées

, , et

et vérifier que ces applications composées appartiennent à E .

Montrer que l’ensemble E constitue un groupe pour la composition des applications (on précisera l’application réciproque de et celle de .

b. Montrer que l’ensemble K = {1, −1, i, −i} est un groupe pour la multipli- cation.

En déduire que l’ensemble (E) des huit applications f1 , f−1, fi, f−i,g1,g−1,

gi, g−i est un groupe pour la composition des applications (sous-groupe de E ) ; on ne demande pas d’écrire la table de ce groupe.

c. À chaque application correspond une transformation du plan (P) qui àM d’affixe z associe le point (M) d’affixe (z).

Demême à chaque application correspond une transformation du plan (P) qui à M d’affixe z associe le point (M) d’affixe (z).

Quelle est la nature géométrique des transformations et ?

Préciser la nature géométrique des huit transformations T1, T−1, Ti,

T−i, S1, S−1, Si, S−i qui correspondent aux huit applications de (E).

Déduire du 2. b. que ces huit transformations forment un groupe (G) pour la composition des transformations.

d. Vérifier que l’ensemble (Γ)∪(Γ′) de la première question est invariant par l’une quelconque des transformations du groupe (G).

En remarquant que Ti = Si S1, montrer que Ti transforme (Γ) en (Γ ′).

Dessiner alors (Γ′) sur le même graphique que (Γ) (le candidat pourra utiliser à cet effet l’une ou l’autre des transformations Si et Ti à son choix).

Paris 2 septembre 1972

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