Contrôle - sciences mathématique  9, Exercices de Mathématiques Appliquées
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 mai 2014

Contrôle - sciences mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Contrôle de sciences mathématique 9 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices, Le triangle GBI, Le produit scalaire, Le volume du tétraèdre.
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Terminale S

Terminale S juin 2010

Asie

1. Exercice 1 (4 points)

Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À chaque question, une seule des trois réponses notée a, b ou c est exacte. On demande au candidat d’indiquer sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n’enlèvent pas de point.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal

( ; , , )O i j k , on considère les points :

A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(1, 2,0), D(1, 0, 1), E(1, 1, 1), F(1, 2, 1), G(0, 0, 1), H(0, 1, 1), I(0, 2, 1), J(O, 1, 0), K(0, 2, 0) comme indiqués sur la figure ci –contre.

1. Question 1 : Le triangle GBI est :

Réponse a : isocèle Réponse b : équilatéral Réponse c : rectangle

2. Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés {(O, 2), (A, −1), (C, 1)} est :

Réponse a : le point K Réponse b : le point I Réponse c : le point J

3. Question 3 : Le produit scalaire .AH FC est égal à :

Réponse a : 1 Réponse b : −1 Réponse c : 2

4. Question 4 : Les points B, C, I, H :

Réponse a : sont non coplanaires Réponse b : forment un rectangle Réponse c : forment un carré.

5. Question 5 : Une représentation paramétrique de paramètre t de la droite (KE) est :

Réponse a : 2

x t

y t

z t

   

 

Réponse b :

3 4

4

x t

y t

z t

   

 

Réponse c :

1

1

1

x t

y t

z t

    

  

6. Question 6 : Une équation cartésienne du plan (GBK) est :

Réponse a : 2x + 2y − z − 2 = 0 Réponse b : x + y − 3 = 0 Réponse c : x + y + 2z = 2

7. Question 7 : La distance du point C au plan (ADH) est :

Réponse a : 2 Réponse b : 2 Réponse c : 1

2

8. Question 8 : Le volume du tétraèdre HJKB est égal à :

Réponse a : 1

2 Réponse b :

1

6 Réponse c :

1

3

2. Exercice 2 (4 points)

Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.

L’évènement : « le n-ième sondage est positif » est noté Vn, on note pn la probabilité de l’évènement Vn.

L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :

- si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d’être aussi positif ;

- si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d’être aussi négatif.

On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire : p1 = 1.

1. Calculer les probabilités des évènements suivants :

a. A : « les 2e et 3e sondages sont positifs » ;

b. B : « les 2e et 3e sondages sont négatifs ».

2. Calculer la probabilité p3 pour que le 3e sondage soit positif.

3. n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Recopier et compléter l’arbre ci-contre en fonction des données de l’énoncé :

4. Pour tout entier naturel n non nul, établir que :

pn+1 = 0,5pn +0,1.

5. On note u la suite définie, pour tout entier naturel n non nul par : un = pn − 0,2.

a. Démontrer que u est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.

b. Exprimer pn en fonction de n.

c. Calculer la limite, quand n tend vers  , de la probabilité pn.

3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . L’unité graphique est 1 cm. On

note i le nombre complexe demodule 1 et d’argument 2

 .

On considère les points A, B, C et P d’affixes respectives : a = −2, 2 2 3b i  , 3 3 3c i  et p = 10.

PARTIE A : Étude de la configuration

1. Construction de la figure.

a. Placer les points A et P dans le repère.

b. Déterminer les modules des nombres complexes b et c.

c. Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C.

2. Démontrer que le triangle BCP est équilatéral.

3. On note rA la rotation de centre A et d’angle 3

 .

a. Vérifier que l’image Q du point C par rA a pour affixe : 4 4 3q i   .

b. Vérifier l’égalité : q = −2b. Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ?

4. Soit R le symétrique de C par rapport à O.

a. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O.

b. Établir que : AP = BQ = CR.

PARTIE B

On note f l’application qui, à tout point M du plan, associe le réel f(M) défini par : f(M) = MA+MB+MC.

1. Calculer f(O).

2. Soient M un point quelconque et N son image par la rotation rA.

Démontrer que : MA =MN puis que MC = NQ.

np

1nV

1nV

1nV

1nV

1 np

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point M du plan,   12f M  .

4. Exercice 3 (5 points, spécialistes)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )A u v . L’unité graphique est 1 cm. On

note i le nombre complexe demodule 1 et d’argument 2

 .

On considère les points B, C et H d’affixes respectives : b = 5i, c = 10 et h = 2 + 4i.

Construire une figure que l’on complétera au fur et àmesure des questions.

1. Étude de la position du point H

a. Démontrer que le point H appartient à la droite (BC).

b. Calculer h

h c , et en déduire que    , 2

2 HC HA

   .

2. Étude d’une première similitude

a. Calculer les rapports : BH

AH ,

BA

AC ,

AH

CH .

b. Démontrer qu’il existe une similitude directe S1 qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB.

c. Déterminer l’écriture complexe de cette similitude S1 ainsi que ses éléments caractéristiques.

3. Étude d’une seconde similitude

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On note S2 la similitude qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

 ' 1 2 10z i z    .

Démontrer que S2 est composée d’une symétrie orthogonale d’axe (  ), et d’une similitude directe dont le centre  appartient à (  ). Préciser ( ).

4. Étude d’une composée

a. Calculer le rapport de la similitude composée 2 1S S .

b. En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC.

5. Exercice 4 (7 points)

L’objectif de l’exercice est l’étude d’une fonction et d’une suite liée à cette fonction.

PARTIE A

On note f la fonction définie sur l’intervalle  0 ;  par :   1

2

1 xf x e

x  . On note C la courbe

représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j . L’unité graphique est 1 cm.

1. Étude des limites

a. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0.

b. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers  .

c. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe C ?

2. Étude des variations de la fonction f

a. Démontrer que f’, la fonction dérivée de la fonction f s’exprime, pour tout réel x strictement positif, par :

    1

4

1 ' 2 1xf x e x

x    .

b. Déterminer le signe de f’ et en déduire le tableau de variation de f sur l’intervalle  0 ;  .

c. Démontrer que l’équation f(x) = 2 a une unique solution notée  appartenant à l’intervalle  0 ;  et donner la valeur approchée de  arrondie au centième.

3. Tracer la courbe C dans le repère orthonormal ( ; , )O i j .

PARTIE B. Étude d’une suite d’intégrales

Pour tout entier naturel n > 2 on considère l’intégrale In définie par :

12

1

1 x

n n I e dx

x   .

1. Calculer I2.

2. Une relation de récurrence

a. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier naturel n > 2 :

 1 1 12 n nn

e I e n I     .

b. Calculer I3.

3. Étude de la limite de la suite de terme général In

a. Établir que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [1 ; 2], on a :

1 1

0 x n n

e e

x x   .

b. En déduire un encadrement de In puis étudier la limite éventuelle de la suite (In).

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