Correction des travaux pratiques en algorithmique  –  15, Exercices de Algorithmique et programmation des applications
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Correction des travaux pratiques en algorithmique – 15, Exercices de Algorithmique et programmation des applications

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Correction des travaux pratiques en algorithmique – 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la continuité de f, l’encadrement, la dérivabilité, la nature de l’application f.
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[ Baccalauréat S Pondichéry 31 mars 2005 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f , définie sur [1 ; +∞[ par

f (t)= et

t .

1. a. Justifier la continuité de f sur [1 ; +∞[.

b. Montrer que f est croissante sur [1 ; +∞[.

2. Restitution organisée de connaissances

On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni.

Pour tout réel x0 de [1 ; +∞[, on note A (x0) l’aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = x0.

On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur [1 ; +∞[ est une primitive de f .

a. Que vaut A (1) ?

b. Soit x0 un réel quelconque de [1 ; +∞[ et h un réel strictement positif. Justifier l’encadrement suivant :

f (x0)6 A (x0+h)−A (x0)

h 6 f (x0+h).

c. Lorsque x0 > 1, quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que x0+h> 1 ?

d. En déduire la dérivabilité en x0 de la fonction A ainsi que le nombre dé- rivé en x0 de la fonction A .

e. Conclure.

0

1

2

3

4

5

0 1 2

e

x0 x0+h

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On désigne par I le point d’affixe zI = 1, par A le point d’affixe zA = 1−2i, par B le point d’affixe −2+2i et par (C ) le cercle de diamètre [AB]. On fera une figure que l’on complètera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.

1. Déterminer le centreΩ du cercle (C ) et calculer son rayon.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Soit D le point d’affixe zD = 3+9i

4+2i .

Écrire zD sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle (C ).

3. Sur le cercle (C ), on considère le point E, d’affixe zE, tel qu’une mesure en

radians de (−→ ΩI ,

−−→ ΩE

)

est π

4 .

a. Préciser le module et un argument de zE+ 1

2 .

b. En déduire que zE = 5 p 2−2

4 + 5 p 2

4 i.

4. Soit r l’application du plan P dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′+ 1

2 = ei

π

4

(

z+ 1

2

)

.

a. Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.

b. Soit K le point d’affixe zK = 2.

Déterminer par le calcul l’image de K par r . Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat ?

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On consi-

dère l’application f qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 3+4i

5 z+

1−2i

5 .

1. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ′.

Démontrer que :

x′ = 3x+4y +1

5 y ′ =

4x−3y −2

5 2. a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f .

b. Quelle est la nature de l’application f ?

3. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que z ′ soit réel.

4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.

a. Donner une solution particulière (x0, y0) appartenant à Z2 de l’équation 4x−3y = 2.

b. Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à Z2 de l’équation

4x−3y = 2.

5. On considère les points M d’affixe z = x+ iy tels que x = 1 et y ∈Z. Le point M ′ = f (M) a pour affixe z ′.

Déterminer les entiers y tels que Re(z ′) et Im(z ′) soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

L’espace E est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère les

points A, B et C de coordonnées respectives (1 ; 0 ; 2), (1 ; 1 ; 4) et (−1 ; 1 ; 1).

1. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Pondichéry 2 31 mars 2005

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Soit −→ n le vecteur de coordonnées (3 ; 4 ; −2).

Vérifier que le vecteur −→ n est orthogonal aux vecteurs

−−→ AB et

−−→ AC .

En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives 2x+ y +2z+1= 0 et

x−2y +6z = 0.

a. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d’équations paramétriques.

b. La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?

3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentreG des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et t .

a. Justifier l’existence du pointG pour tout réel positif t .

Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.

Exprimer le vecteur −→ IG en fonction du vecteur

−→ IC .

b. Montrer que l’ensemble des pointsG lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.

Pour quelle valeur de t , le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avecG ?

EXERCICE 4 6 points

Commun à tous les candidats

Pour tout entier naturel n, on pose un = n10

2n . On définit ainsi une suite (un )n∈N.

1. Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l’équivalence suivante :

un+1 6 0,95un si et seulement si

(

1+ 1

n

)10

6 1,9.

2. On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par

f (x)=

(

1+ 1

x

)10

.

a. Étudier le sens de variation et la limite en +∞ de la fonction f .

b. Montrer qu’il existe dans l’intervalle [1 ; +∞[ un unique nombre réelα tel que f (α)= 1,9.

c. Déterminer l’entier naturel n0 tel que n0−16α6 n0.

d. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a :

(

1+ 1

n

)10

6 1,9.

3. a. Déterminer le sens de variation de la suite (un ) à partir du rang 16.

b. Que peut-on en déduire pour la suite ?

4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier natu- rel n supérieur ou égal à 16, l’encadrement :

06 un 6 0,95 n−16u16.

En déduire la limite de la suite (un )n∈N.

Pondichéry 3 31 mars 2005

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