Correction - exercices – algèbre – 13, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S11 avril 2014

Correction - exercices – algèbre – 13, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Correction des exercices d'algèbre – 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la représentation graphique de la fonction f, le sens de variation de la suite, la forme algébrique.
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Durée : 4 heures

Baccalauréat S Polynésie septembre 2004

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f

définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= lnx p x +1− x.

0 1 2 3

-4

-3

-2

-1

0

1

O

−→

−→ ı

C

α

1. a. Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f ′(x)

est du signe de

N (x)=− [

2 (

x p x−1

)

+ lnx. ]

b. Calculer N (1) et déterminer le signe de N (x) en distinguant les cas

0< x < 1 et x > 1.

c. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ et les coordonnées du point de C d’ordonnée maximale.

2. On note A (α) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan grisée sur

la figure, où α désigne un réel de ]0 ; 1[.

a. Exprimer A (α) en fonction de α (on pourra utiliser une intégration par

parties).

b. Calculer la limite de A (α) lorsque α tend vers 0. Donner une interpréta-

tion graphique de cette limite.

3. On définit une suite (un )n∈N par son premier terme u0 élément de [1 ; 2] et :

pour tout entier naturel n, un+1 = lnun p un

+1.

a. Démontrer, pour tout réel x élément de [1 ; 2], la double inégalité

06 lnx p x 6 1.

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient

à [1 ; 2].

4. En remarquant que, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un)+un , détermi- ner le sens de variation de la suite (un ).

5. a. Montrer que la suite (un )n∈N est convergente. On note sa limite.

b. Déterminer la valeur exacte de .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On prendra 2 cm pour

unité graphique.

Pour tout point M du plan d’affixe z on considère les points M ′ et M ′′ d’affixes res-

pectives

z ′ = z−2 et z ′′ = z2.

1. a. Déterminer les points M pour lesquels M ′′ =M .

b. Déterminer les points M pour lesquels M ′′ =M ′.

2. Montrer qu’il existe exactement deuxpointsM1 etM2 dont les imagesM ′ 1 , M

′′ 1 , M

′ 2

et M′′2 appartiennent à l’axe des ordonnées. Montrer que leurs affixes sont

conjuguées.

3. On pose z = x+ iy x et y sont des nombres réels.

a. Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe z ′′− z

z ′− z .

b. En déduire l’ensemble E des points M du plan pour lesquels les points

M , M ′ etM ′′ sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur.

4. On pose z = p 3eiθ θ

[

0 ; π

2

]

.

a. Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z ainsi définis et chacun

des ensembles Γ′ et Γ′′ des points M ′ et M ′′ associés àM .

b. Représenter Γ, Γ′ et Γ′′ sur la figure précédente

c. Dans cette question θ = π

6 . Placer le point M3 obtenu pour cette valeur

de θ, et les points M′3 et M ′′ 3 qui lui sont associés. Montrer que le triangle

M3M ′ 3M

′′ 3 est rectangle. Est-il isocèle ?

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On prendra, sur la fi-

gure 1 cm pour unité graphique.

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives −1 + i, 3+2i et i p 2.

1. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à tout point M

d’affixe z associe le point M ′ = f (M) d’affixe z ′ définie par :

z ′ = 1+ i p 2 z−1+ i

(

1+ p 2 )

.

a. Calculer les affixes des points A′ = f (A) et C′ = f (C).

b. En déduire la nature de f et caractériser cette transformation.

c. Placer les points A, B et C puis construire le point B′ = f (B).

2. a. Donner l’écriture complexe de l’homothétie h de centre A et de rapportp 2.

b. Montrer que la composée g = f h a pour écriture complexe

z ′′ = (1+ i)z−1+3i.

3. a. Soit M0 le point d’affixe 2 - 4 i.

Déterminer l’affixe du point M′′0 = g (M0) puis vérifier que les vecteurs −−→ AB

et −−−→ AM′′0 sont orthogonaux.

Polynésie 2 septembre 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. On considère un point M d’affixe z. On suppose que la partie réelle x et

la partie imaginaire y de z sont des entiers.

Démontrer que les vecteurs −−→ AB et

−−−→ AM ′′ sont orthogonaux si, et seule-

ment si 5x+3y =−2.

c. Résoudre dans Z2 l’équation 5x+3y =−2.

d. En déduire les points M dont les coordonnées sont des entiers apparte-

nant à l’intervalle [−6 ; 6] tels que −−→ AB et

−−−→ AM ′′ sont orthogonaux. Placer

les points obtenus sur la figure.

EXERCICE 3 6 points

Commun à tous les candidats

On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés.

Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres

−2, −1, 0, 1, 2 et 3. Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent

le nombre 1 et un carton le nombre −1. On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables.

On note a le nombre lu sur le canon de U et b celui lu sur le carton de V.

1. Justifier que les points pondérés (A, a), (B, b) et (C, 4) admettent un bary-

centre. On le noteG.

2. a. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E1 «G appartient à la droite (BC) » ;

E2 «G appartient au segment [BC] ».

b. Montrer que la probabilité de l’évènement E3 : «G est situé à l’intérieur du

triangle ABC et n’appartient à aucun des côtés » est égale à 2

5 . On pourra

faire appel des considérations de signe.

3. Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois dans les mêmes conditions

l’épreuve qui consiste à tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis à

considérer le barycentreG de la question 1.

On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de

réalisations de l’évènement E3.

a. Déterminer l’entier n pour que l’espérance de la variable aléatoire X soit

égale à 4.

b. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d’avoir au moins

un des barycentres situé à l’intérieur du triangle ABC soit supérieure ou

égale à 0,999.

Polynésie 3 septembre 2004

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