Correction - exercices – algèbre – 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S11 avril 2014

Correction - exercices – algèbre – 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Correction des exercices d'algèbre – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite, lamonotonie de la suite, la limite de la suite.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Métropole juin 2004 \

EXERCICE 1 3 points

Commun à tous les candidats

On considère la suite (un ) définie par

{

u0 = 1 un+1 = un +2n+3 pour tout entier naturel n.

1. Étudier la monotonie de la suite (un ).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un >n2.

b. Quelle est la limite de la suite (un ) ?

3. Conjecturer une expression de un , en fonction de n, puis démontrer la pro- priété ainsi conjecturée.

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et

d’argument π

2 .

1. Montrer que (1+ i)6 =−8i.

2. On considère l’équation (E) : z2 =−8i.

a. Déduire de 1. une solution de l’équation (E).

b. L’équation (E) possèdeune autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique.

3. Déduire également de 1. une solution de l’équation (E’) z3 =−8i.

4. On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle 2π

3 .

a. Déterminer l’affixe b du point B , image de A par r , ainsi que l’affixe c du point C , image de B par r .

b. Montrer que b et c sont solutions de (E′).

5. a. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C .

b. Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ?

c. Déterminer le centre de gravité de cette figure.

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x :

(x−1) (

1+ x+ x2+·· ·+ xk−1 )

= xk −1.

Dans toute la suite de l’exercice, on considère un nombre entier a supérieur ou égal à 2.

2. a. Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n : n = dk.

Montrer que ad −1 est un diviseur de an −1.

b. Déduire de la question précédente que 22004−1 est divisible par 7, par 63 puis par 9.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Soientm et n deux entiers naturels non nuls et d leur pgcd.

a. On définitm′ et n′ parm = dm′ et n = dn′. En appliquant le théorème de Bezout àm′ et n′, montrer qu’il existe des entiers relatifs u et v tels que : munv = d .

b. On suppose u et v strictement positifs.

Montrer que : (amu −1)− (anv −1)ad = ad −1.

Montrer ensuite que ad −1 est le pgcd de amu −1 et de anv −1.

c. Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de 263−1 et de 260−1.

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat in- diquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 1/2 point l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on donne le point

S(1 ; −2 ; 0) et le plan P d’équation x+ y −3z+4= 0.

1. Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et per- pendiculaire au plan P est :

A :

x = 1+ t y = 1−2t z = −3

, t ∈R B :

x = 2+ t y = −1+ t z = 1−3t

, t ∈R

C :

x = 1+ t y = −2−2t z = 3t

, t ∈R D :

x = 2+ t y = −1+ t z = −3−3t

, t ∈R.

2. Les coordonnées du point d’intersection H de la droite D avec le plan P sont :

A : (−4 ; 0 ; 0) B :

(

6

5 ; −9

5 ; 3

5

)

C :

(

7

9 ; −2

3 ; 1

3

)

D;

(

8

11 ; −25

11 ; 9

11

)

3. La distance du point S au plan P est égale à :

A :

p 11

3 B :

3 p 11

C : 9

p 11

D : 9

11

4. On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale

A : au point I(1 ; −5 ; 0)

B : au cercle de centre H et de rayon r = 3

10

11 C : au cercle de centre S et de rayon r = 2

D : au cercle de centre H et de rayon r = 3 p 10

11 .

EXERCICE 4 4 points

Commun à tous les candidats

On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électro- nique. Onmodélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans

Métropole 2 juin 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

vieillissement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est

p([0 ; t [)= ∫t

0 λe−λx dx.

Une étude statistique, montrant qu’environ 50% d’un lot important de ces com- posants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p([0 ; 200[)= 0,5.

1. Montrer que λ= ln2

200 .

2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une du- rée de vie supérieure ? 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une va- leur approchée décimale au centième près.

3. On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite

quand A tend vers +∞ de ∫A

0 λxe−λx dx.

a. Montrer que ∫A

0 λxe−λx dx =

λAe−λA −e−λA+1

λ

b. En déduire dm on donnera la valeur exacte et une valeur approchée déci- male à la semaine près.

Exercice 5 4 points

Commun à tous les candidats

O H

−→ F

x

Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est

soumis à une force d’entraînement constante −→ F de valeur 50 N. Les forces de frot-

tement sont proportionnelles ? la vitesse et de sens contraire ; le coefficient de pro- portionnalité a pour valeur absolue 25 N.m−1.s. La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l’ori- gine O du repère en fonction du temps t , exprimé en secondes. On prendra t dans l’intervalle [0 ; +∞[. Les lois de Newton conduisent à l’équation différentielle du mouvement

(E) 25x′+200x′′ = 50, où

x′ est la dérivée de x par rapport au temps t , x′′ est la dérivée seconde de x par rapport au temps t .

1. On note v(t) la vitesse du chariot au temps t ; on rappelle que v(t)= x′(t).

Prouver que x est solution de (E) si et seulement si x′ est solution de l’équa-

tion différentielle (F) v ′ =− 1

8 v +

1

4 .

Résoudre l’équation différentielle (F).

Métropole 3 juin 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. On suppose que, à l’instant t = 0, on a : x(0)= 0 et x′(0)= 0.

a. Calculer, pour tout nombre réel t positif, x′(t).

b. En déduire que l’on a, pour tout nombre réel t positif,

x(t)= 2t −16+16e −t 8 .

3. Calculer V = lim t→+∞

v(t) . Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle

inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V ?

4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes ? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

Métropole 4 juin 2004

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