Correction – exercices de mathématique 6, Exercices de Mathématiques Appliquées
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Correction – exercices de mathématique 6, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Correction des exercices de mathématique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Restitution organisée de connaissances, la démonstration, l’enseignement de spécialité.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2006 \

EXERCICE 1 6 points

On se propose de déterminer des valeurs approchées de l’intégrale I = ∫ 1

2

0

10t2

1+ t2 dt

en utilisant deux méthodes distinctes. Les parties A et B sont largement indépendantes l’une de l’autre.

PARTIE A

Utilisation d’une intégration par parties

1. En remarquant que 10t2

1+ t2 = 5t ×

2t

1+ t2 , établir l’égalité

I= 5

2 × ln

(

5

4

)

−5 ∫ 1

2

0 ln (

1+ t2 )

dt .

2. On pose, pour x positif ou nul, f (x)= ln(1+x)−x+ x2

2 et g (x)= ln(1+x)−x.

a. En utilisant les variations de f , démontrer que f (x)> 0. En procédant de lamême façon, on pourrait établir que g (x)6 0, inégalité que l’on admet- tra ici.

b. À l’aide de ce qui précède, montrer que l’encadrement :

t2− t4

2 6 ln

(

1+ t2 )

6 t2.

est vrai pour tout réel t .

c. Déduire de la question précédente que

5

24 6−5

∫ 1 2

0 ln

(

1+ t2 )

dt 6− 37

192 .

3. En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d’amplitude inférieure à 0,02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule.

PARTIE B

Utilisation de la méthode d’Euler

1. On pose ϕ(x)= ∫x

0

10t2

1+ t2 dt pour x

[

0 ; 1

2

]

.

Préciser ϕ(0) ainsi que la fonction dérivée de ϕ.

2. On rappelle que laméthode d’Euler permet de construire une suite de points Mn

(

xn ; yn )

proches de la courbe représentative deϕ. En choisissant comme pas h = 0,1, on obtient la suite de points Mn définie pour n entier naturel par :

{

x0 = 0 y0 = 0

et

{

xn+1 = xn +0,1 yn+1 = y n+ϕ′ (xn )×0,1

Enutilisant, sans la justifier, l’égalité xn = n

10 vérifier que yn+1 = yn+

n2

100+n2 .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Calculer y1, et y2, puis exprimer y3, y4 et y5 sous la forme d’une somme de fractions que l’on ne cherchera pas à simplifier.

Donner maintenant une valeur approchée à 0,001 près de y5.

Le réel x5 étant égal à 1

2 , y5 est donc une valeur approchée de ϕ

(

1

2

)

c’est-à-

dire de I.

4. Avec la méthode d’Euler au pas h = 0,01, on obtient, pour I, la valeur appro- chée 0,354.

Les valeurs de I obtenues avec la méthode d’Euler sont-elles compatibles avec l’encadrement de la question 3. de la partie A ?

EXERCICE 2 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On désigne par A et B les point, d’affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2 cm) qui sera complété selon indications de l’énoncé. La question 1 est indépendante des questions 2 et 3.

1. a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation

z2−4z +6= 0.

b. On désigne par M1 et M2 les points d’affixes respectives

z1 = 2+ i p 2 et z2 = 2− i

p 2.

Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z1−3

z1 .

En déduire que le triangle OBM1 est un triangle rectangle.

c. Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M1 et M2, appar- tiennent à un même cercle C que l’on précisera.

Tracer le cercle C et placer les points M1 et M2 sur le dessin.

2. On appelle f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par l’égalité z ′ = z2−4z +6.

On désigne par Γ le cercle de centre A et de rayon p 2.

Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin,

a. Vérifier l’égalité suivante z ′−2= (z −2)2.

b. Soit M le point de Γ d’affixe z = 2+ p 2eiθ θ désigne un réel de l’inter-

valle ]−π ; π].

Vérifier l’égalité suivante : z ′ = 2+2e2iθ et en déduire que M ′ est situé sur un cercle Γ′ dont on précisera le centre et le rayon.

Tracer Γ′ sur le dessin,

3. On appelle D le point d’affixe d = 2+

p 2+ i

p 6

2 et on désigne par D′ l’image

de D par f .

a. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe d −2.

En déduire que D est situé sur le cercle Γ.

b. À l’aide la question 2. b., donner unemesure de l’angle (−→

u , −−→ AD′

)

et placer

le point D′ sur le dessin.

c. Démontrer que le triangle OAD′ est équilatéral.

Antilles–Guyane 2 septembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 4 points

Partie A

On suppose connu le résultat suivant : Si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre stricte-

ment positif λ alors, pour t réel positif, p(X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

• Démontrer l’égalité suivante : p(X > t)= e−λt . • En déduire que, pour s et t réels positifs, l’égalité suivante est vraie

P(X>t )(X > s + t)= p(X > s) (loi de durée de vie sans vieillissement), P(X>t )(X > s + t) désignant la probabilité de l’évènement (X > s + t) sachant que (X > t) est réalisé.

Partie B

La durée d’attente exprimée enminutes à chaque caisse d’un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif λ.

1. a. Déterminer une expression exacte de λ sachant que p(T 6 10)= 0,7.

On prendra, pour la suite de l’exercice, la valeur 0,12 comme valeur ap- prochée de λ.

b. Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle

P(T>10)(T > 15).

c. Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes.

On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près de la réponse.

On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce supermarché est indé- pendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On désigne par Y la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes.

a. Donner la nature et les paramètres caractéristiques de Y .

b. Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à aumoins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minutes.

Déterminer à 0,01 près la probabilité d’ouverture de nouvelles caisses.

EXERCICE 4 5 points

Dans un cube ABCDEFGH, on désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [GH]. K désigne le centre de la face BCGF. Les calculs seront effectués dans le

repère orthonormal (

A ; −−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

.

1. a. Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un paral- lélogramme. Établir que DIFJ est en fait un losange et montrer que

l’aire de ce losange est égale à

p 6

2 .

A I B

C KD

E F

GJH

×

b. Vérifier que le vecteur −→ n

2 1 −1

 est un vecteur normal au plan (DIJ).

Antilles–Guyane 3 septembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

En déduire une équation cartésienne de ce plan. c. Déterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume

de la pyramide EDIFJ. On rappelle que le volume V d’une pyramide de hauteur h et

de base correspondante B est donné par la formule suivante V = 1

3 ×B×h.

2. Soit (∆) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ)

a. Donner une représentation paramétrique de (∆) et prouver que K est un point de (∆).

b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection L de (∆) et du plan (DIJ).

c. Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG.

3. Soit (S) l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient l’équa-

tion x2+ y2+ z2−2x y z + 4

3 = 0.

a. Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.

b. Montrer que L est un point de (S), Quelle propriété géométrique relative à (S) et au plan (DIJ) peut-un déduire de ce dernier résultat ?

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On désigne par A et C les points d’affixes respectives 1 et 2i. Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB].

1. a. Justifier le fait qu’il existe une unique similitude directe s qui transforme O en I et A en C.

b. Déterminer l’écriture complexe de s. En déduire les éléments caractéris- tiques de s et, en particulier, établir que l’affixe du centre Ω de s vaut 1+3i

5 .

c. Vérifier par un calcul que Ω est situé sur le cercle Γ de centre A passant par O.

2. Soit f l’application du plan complexe d’écriture complexe

z 7−→ −3−4i

5 z +

8+4i

5 .

a. Déterminer les images par f des points A et C. En déduire la nature pré- cise de f , puis démontrer que I est l’image de Ω par la symétrie orthogo- nale d’axe (AC).

b. Construire le cercle Γ sur le dessin et placer également le pointΩ en utili- sant les informations géométriques précédentes.

3. À tout point M d’image M ′ par s, on associe le point M ′′ défini par l’égalité

vectorielle −−−−−→ M M ′′ =

−−−→ ΩM .

a. Quel est le pointΩ′′ associé àΩ ?

b. Construire avec soin le point A′′ en laissant les traits de construction.

c. On suppose maintenant que M a pour affixe z.

Démontrer que M ′′ a pour affixe z ′′ = iz + 4+2i

5 .

En déduire que M ′′ est l’image de M par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques.

d. Déterminer et représenter sur le dessin l’ensembleΓ′′ des points M ′′ lorsque M décrit le cercle Γ.

Antilles–Guyane 4 septembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe (exercice de spécialité)

O −→ u

−→ v

A

I

B C

Antilles–Guyane 5 septembre 2006

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