Correction – exercices de mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliquées
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Correction – exercices de mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Correction des exercices de mathématique 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La probabilité cherchée, L’ensemble des points M.
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[ Baccalauréat S 2006\

L’intégrale d’avril à novembre 2006

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Pondichéry avril 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Amérique du Nord juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Antilles-Guyane juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Asie juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Centres étrangers juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Métropole juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

La Réunion juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Libanmai 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Polynésie juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Antilles-Guyane septembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Métropole et Réunion septembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Polynésie spécialité septembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Amérique du Sud novembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Nouvelle-Calédonie novembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat S Pondichéry 3 avril 2006\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont propo- sées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’affirma- tion, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a Pour tous les réels a et b : (ea )b = e (

ab )

.

Affirmation 1. b Pour tous les réels a et b : eab = ea

eb .

Affirmation 1. c La droite d’équation y = x + 1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1.

2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Affirmation 2. b Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.

Affirmation 2. c Si f est dérivable en a, alors la fonction

h 7→ f (a+h)− f (a)

h admet une limite finie en 0.

3. On considère deux suites (un ) et (vn) définies surN.

Affirmation 3. a Si limun =+∞ et si limvn =−∞ alors lim(un + vn)= 0.

Affirmation 3. b Si (un ) converge vers un réel non nul et si limvn =+∞,

alors la suite (

un, × vn )

ne converge pas.

Affirmation 3. c Si (un ) converge vers un réel nonnul, si (vn) est positive

et si limvn = 0, alors la suite (

un vn

)

ne converge pas.

Affirmation 3. d Si (un ) et (vn) convergent alors la suite

(

un vn

)

converge.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra

pour unité graphique 5 cm.

On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 = 1+ i 2

zn . On note An le point du

plan d’affixe zn .

1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel.

Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

2. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. Justifier que la suite (un ) est une suite géométriquepuis établir que, pour tout entier naturel n,

un = 2 (

1 p 2

)n

.

3. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

4. a. Établir que, pour tout entier naturel n, zn+1− zn

zn+1 = i.

En déduire la nature du triangle OAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ℓn la longueur de la ligne brisée A0A1A2 . . . An−1An .

On a ainsi : ℓn = A0A1+ A1A2+ . . .+ An−1An . Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

EXERCICE 2 4 points Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra

5 cm pour unité graphique. Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z

définie par :

z ′ = (

1

2 + 1

2 i

)

z+1.

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’af- fixeω), le rapport k et l’angle θ.

2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose An+1 = f (An). a. Déterminer les affixes des points A1 A2, A3 puis placer les points A0 , A1, A2

et A3.

b. Pour tout entier naturel n, on pose un = ΩAn . Justifier que la suite (un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,

un = p 2

(

1 p 2

)n

.

c. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centreΩ et de rayon 0,1 ?

3. a. Quelle est la nature du triangleΩA0A1 ?

En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangleΩAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ℓn la longueur de la ligne brisée

A0A1A2 . . . An−1An . On a ainsi : ℓn = A0A1+A1A2+. . .+An−1An . Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)

Pondichéry 4 3 avril 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

Soit a,b,c et d des réels tels que (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Soit P le plan d’équation ax+by +cz+d = 0. On considère le point I de coordonnées

(

xI , yI , zI )

et le vecteur −→ n de coordonnées

(a, b, c). Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à ∣

axI +byI +czI +d

p a2+b2+c2

.

1. Soit ∆ la droite passant par I et orthogonale au plan P .

Déterminer, en fonction de a, b, c, xI , yI et zI , un système d’équations pa- ramétriques de ∆.

2. On note H le point d’intersection de ∆ et P .

a. Justifier qu’il existe un réel k tel que −−→ IH = k

−→ n .

b. Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d , xI , yI et zI .

c. En déduire que IH = ∣

axI +byI +czI +d

p a2+b2+c2

.

Partie B

Le plan Q d’équation xy+z−11 = 0 est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coordonnées (1, −1, 3).

1. Déterminer le rayon de la sphère S .

2. Déterminer un systèmed’équations paramétriques de la droite∆passant par Ω et orthogonale au plan Q

3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphèreS et du plan Q.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes. Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.

Partie A

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effec- tif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l’origine 2000). D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement posi- tive sur [0 ; +∞[, et satisfait l’équation différentielle :

(E) y ′ =− 1

20 y(3− ln y).

1. Démontrer l’équivalence suivante : Une fonction f , dérivable, strictement

positive sur [0 ; +∞[, vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[, f ′(t) = − 1

20 f (t)[3−

ln (

f (t) )

] si et seulement si la fonction g = ln( f ) vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[,

g ′(t)= 1

20 g (t)−

3

20 .

2. Donner la solution générale de l’équation différentielle :

(H) z ′ = 1

20 z

3

20 .

Pondichéry 5 3 avril 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

3. En déduire qu’il existe un réel C tel que, pour tout t de [0 ; +∞[

f (t)= exp [

3+Cexp (

t

20

)]

.

(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle x 7→ ex ). 4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par :

f (t)= exp [

3−3exp (

t

20

)]

.

a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +∞[. c. Résoudre dans [0 ; +∞[ l’inéquation f (t)< 0,02.

Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?

Partie B

En 2005, ce laboratoire de recherchemet au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : « La popu- lation testée comporte 50% d’animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 0,1% des cas ».

On note M l’évènement « l’animal est malade »,M l’évènement contraire et T l’évè- nement « le test est positif ».

1. Déterminer P (M), PM (T ), PM (T ).

2. En déduire P (T ).

3. Le laboratoire estime qu’un test est fiable, si sa valeur prédictive, c’est-à-dire la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?

Pondichéry 6 3 avril 2006

[Baccalauréat S Amérique du Nordmai 2006\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ». Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire en- suite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.

Question 1 Le jeu est : A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable

Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire aumoins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à

A : 216

625 B :

544

625 C :

2

5 Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne.

Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes dif- férentes est égale à :

A : 4

15 B :

11

30 C :

11

15

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité

graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2, zB = 1+ i

p 3 et zC = 1− i

p 3.

Partie A

1. a. Donner la forme exponentielle de zB puis de zC.

b. Placer les points A, B et C.

2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.

3. Déterminer et construire l’ensemble D des points M du plan tels que

|z| = |z−2|.

Partie B

À tout point M d’affixe z tel que z 6= zA, on associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par

z ′ = −4 z−2

.

1. a. Résoudre dans C l’équation z = −4 z−2

.

b. En déduire les points associés aux points B et C.

c. Déterminer et placer le point G′ associé au centre de gravité G du triangle OAB.

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

2. a. Question de cours :

Prérequis : le module d’un nombre complexe z quelconque, noté |z|, vérifie |z|2 = zz où z est le conjugué de z. Démontrer que :

• pour tous nombres complexes z1 et z2, |zz2| = |z1|× |z2|.

• pour tout nombre complexe z non nul, ∣

1

z

= 1

|z| .

b. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2,

z ′−2 ∣

∣= 2|z| |z−2|

.

c. On suppose dans cette question queM est un point quelconque deD, où D est l’ensemble défini à la question 3. de la partie A.

Démontrer que le point M ′ associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ.

EXERCICE 2 5 points Exercice de spécialité

Le plan estmuni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 4 cm).

SoitΩ le point d’affixe 2.

On appelle r la rotation de centreΩ et d’angle π

4 et h l’homothétie de centreΩ et de

rapport

p 2

2 .

1. On pose σ= h r . a. Quelle est la nature de la transformation σ ? Préciser ses éléments carac-

téristiques.

b. Montrer que l’écriture complexe de σ est : z 7−→ 1+ i 2

z+1− i.

c. Soit M un point quelconque du plan d’affixe z. On désigne par M ′ son image par σ et on note z ′ l’affixe deM ′. Montrer que zz ′ = i

(

2− z ′ )

.

2. a. Question de cours

Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.

Démontrer que : si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point

P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle π

2 est le pointQ d’affixe

q telle que qa = i(pa). b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle ΩMM ′ , pour M

distinct deΩ.

3. Soit A0 le point d’affixe 2+ i. On considère la suite (An) de points du plan définis par :

pour tout entier naturel n, An+1 =σ(An) .

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’affixe an de An est donnée par :

an = (p

2

2

)n

ei (n+2)π

4 +2.

b. Déterminer l’affixe de A5.

Amérique du Nord 8 mai 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l’on ait : pour n> n0, le point An est dans le disque de centreΩ et de rayon 0,01.

EXERCICE 3 5 points

1. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par

g (x)= lnx− 2

x

On donne ci-dessous le tableau de variations de g .

x 0 2,3 x0 2,4 +∞ +∞

g (x) 0 −∞

Démontrer toutes les propriétés de la fonction g regroupées dans ce tableau.

2. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 5lnx

x

a. Montrer que f (x0)= 10

x20 où x0 est le réel apparaissant dans le tableau ci-

dessus.

b. Soit a un réel. Pour a > 1, exprimer ∫a

1 f (t)dt en fonction de a.

3. On a tracé dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

ci-dessous les courbes re-

présentatives des fonctions f et g notées respectivement (

C f )

et (

Cg )

.

On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0), P0 le point d’intersection de (

Cg )

et de l’axe des abscisses, M0 le point de (

C f )

ayant même abscisse que P0 et H0 le projeté orthogonal deM0 sur l’axe des ordonnées.

On nomme (D1) le domaine du plan délimité par la courbe (

C f )

et les seg- ments [IP0] et [P0M0]. On nomme (D2) le domaine du plan délimité par le rectangle construit à par- tir de [OI] et [OH0].

Démontrer que les deux domaines (D1) et (D2) ont même aire, puis donner un encadrement d’amplitude 0,2 de cette aire.

O −→ ı

−→

H0 M0

I P0

(

C f )

(

Cg )

Amérique du Nord 9 mai 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

EXERCICE 4 7 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

On s’intéresse aux fonctions f dérivables sur [0 ; +∞[ vérifiant les conditions {

(1) : pour tout réel x appartenant à[0 ; +∞[, f ′(x)= 4− [

f (x) ]2

(2) : f (0)= 0

On admet qu’il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2). Les deux parties peuvent être traitées demanière indépendante. L’annexe sera com- plétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A. Étude d’une suite

Afin d’obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f on utilise la méthode itérative d’Euler avec un pas égal à 0,2. Onobtient ainsi une suite depoints notés (Mn ), d’abscisse xn et d’ordonnée yn telles que :

{

x0 = 0 et pour tout entier naturel n, xn+1 = xn +0,2 y0 = 0 et pour tout entier naturel n, yn+1 =−0,2y2n + yn +0,8

1. a. Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l’annexe.

Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10−4 près.

b. Placer, sur le graphique donné en annexe, les points Mn pour n entier naturel inférieur ou égal à 7.

c. D’après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite

(

yn )

et sur sa convergence ?

2. a. Pour x réel, on pose p(x)=−0,2x2+x+0,8. Montrer que si x ∈ [0 ; 2] alors p(x) ∈ [0 ; 2].

b. Montrer que pour tout entier naturel n, 06 yn 6 2.

c. Étudier le sens de variation de la suite (

yn )

.

d. La suite (

yn )

est-elle convergente ?

Partie B. Étude d’une fonction

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= 2 (

e4x −1 e4x +1

)

et (

Cg )

sa courbe repré-

sentative.

1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2).

2. a. Montrer que (

Cg )

admet une asymptote ∆ dont on donnera une équa- tion.

b. Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[. 3. Déterminer l’abscisse α du point d’intersection de ∆ et de la tangente à

(

Cg )

à l’origine.

4. Tracer, dans le repère de l’annexe, la courbe (

Cg )

et les éléments mis en évi- dence dans les questions précédentes de cette partie B.

Amérique du Nord 10 mai 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

Cette page sera complétée et remise avec la copie avant la fin de l’épreuve

Exercice 4 : Annexe

Partie A

n 0 1 2 3 4 5 6 7 xn 0 0,2 0,4 yn 0 0,8000 1,4720

Partie B

0 1 2 0

1

2

0

1

2

0 1 2

Amérique du Nord 11 mai 2006

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2006\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée des connaissances

Pré-requis :

— la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa fonction

dérivée est la fonction inverse

(

x 7→ 1

x

)

.

— ln(1)= 0 Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x,

ln(ax)= ln(a)+ ln(x).

2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que

ln

(

1

b

)

=− ln(b) et que ln (a

b

)

= ln(a)− ln(b)

pour tous réels strictement positifs a et b.

3. On donne 0,696 ln26 0,70 et 1,096 ln36 1,10.

En déduire des encadrements de ln6, ln

(

1

6

)

, et ln

(

3

8

)

.

EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats

QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0. Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.

1. L’équation e2x −3ex −4= 0 admet dans R :

a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2 so- lutions

2. L’expression −e−x

a. n’est jamais négative

b. est toujours négative

c. n’est négative que si x est po- sitif

d. n’est néga- tive que si x est négatif

3. lim x→+∞

2ex −1 ex +2

=

a. − 1

2 b. 1 c. 2 d. +∞

4. L’équation différentielle y = 2y ′−1 a pour ensemble de solutions :

a. x 7→ ke2x − 1 avec k ∈R

b. x 7→ ke 1 2 x + 1

avec k ∈R c. x 7→ ke

1 2 x − 1

avec k ∈R d. x 7→ ke2x +

1

2 avec k ∈R

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats Partie A

Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

On rappelle que P (X 6 a)= ∫a

0 λe−λtdt .

La courbe donnée en ANNEXE 1 représente la fonction densité associée.

1. Interpréter sur le graphique la probabilité P (X 6 1).

2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ.

Partie B

On pose λ= 1,5. 1. Calculer P (X 6 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à

10−3 près par excès.

2. Calculer P (X > 2).

3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P (1 6 X 6 2) = 0,173 à 10−3 près.

4. Calculer l’intégrale F (x)= ∫x

0 1,5te−1,5tdt .

Déterminer la limite quand x tend vers +∞ de F (x) ; on obtient ainsi l’espé- rance mathématique de la variable X .

Partie C

Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de milli- mètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1,5.

Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.

a. Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10−3 près.

b. Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une recti- fication ?

2. On prélève demanière indépendante dix cylindres de la production. On sup- pose que le nombre de cylindres suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.

a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?

b. Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé ?

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

, on consi-

dère les points

A d’affixe a, a ∈R — B d’affixe b+ i, b ∈R — C image de B dans la rotation de centre A et d’angle

π

3 .

a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à

l’axe (

O ; −→ v )

.

Antilles-Guyane 13 juin 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

b. Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a.

2. Dans cette question, on pose a = p 3 et b = 0. On considère les points C d’af-

fixe c =−i etD d’affixe d = 2+ p 3−2i

p 3.

a. Quelle est la nature du triangle ABC ?

b. Calculer le quotient d a ca

; que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?

c. Déterminer l’affixe du point E image deD dans la rotation de centre A et

d’angle π

3 .

d. Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation de vecteur −−→ AC .

e. Déterminer la nature du triangle BEF .

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Sur la figure donnée en ANNEXE 2, on considère les carrésOABC etOCDE tels que :

(−−→ OA ;

−−→ OC

)

= (−−→ OC ;

−−→ OE

)

= π

2 .

On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC ] et par H le point d’intersection des segments [AD] et [IE ].

1. Justifier l’existence d’une similitude directe s transformant A en I et D en E .

2. Déterminer le rapport de cette similitude s.

On admet que l’angle de la similitude s est égal à π

2 .

3. Donner, sans justifier, l’image de B par s.

4. Déterminer et placer l’image deC par s.

5. SoitΩ le centre de la similitude s.

a. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [AI ] et à celui de dia- mètre [DE ].

b. Montrer queΩ ne peut être le point H .

c. ConstruireΩ.

6. On considère le repère orthonormal direct (

O ; −−→ OA ,

−−→ OC

)

.

a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s.

b. En déduire l’affixe du centreΩ de s.

EXERCICE 5 5 points Commun à tous les candidats

Partie A

On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la

manière suivante : sur un axe orienté (

O ; −→ u )

donné en ANNEXE 3, le point A0 a pour

abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An+1 est le barycentre des points (An , 2) et (Bn , 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An , 1) et (Bn , 3).

1. Sur le graphique placer les points A2,B2.

Antilles-Guyane 14 juin 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

2. Ondéfinit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn . Montrer que :

an+1 = 2an +bn

3 .

On admet de même que bn+1 = an +3bn

4 .

Partie B

1. On considère la suite (un ) définie, pour tout entier natureln, par un = bnan . a. Montrer que la suite (un) est géométrique. En préciser la raison.

b. Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n.

c. Déterminer la limite de (un ). Interpréter géométriquement ce résultat.

2. a. Démontrer que la suite (an) est croissante (on pourra utiliser le signe de un ).

b. Étudier les variations de la suite (bn).

3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an) et (bn) ?

Partie C

1. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par

vn = 3an +4bn .

Montrer que la suite (vn) est constante.

2. Déterminer la limite des suites (an) et (bn).

ANNEXE 1

1

2

1 2 3 4

ANNEXE 2

Antilles-Guyane 15 juin 2006

Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S

D I C B

H

J

E O A

ANNEXE 3

b A0 b

A1 b

B0 b

B1 −→ u

0 2 4 6 8 10 12

Antilles-Guyane 16 juin 2006

[ Baccalauréat S Asie juin 2006\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité gra-

phique : 2 cm).

On rappelle que pour tout vecteur −→ w non nul, d’affixe z, on a : |z| = ‖

−→ w ‖ et

arg(z)= (−→ u ,

−→ w

)

à 2π près.

Partie A. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On sait que si z et z ′ sont deux nombres complexes non nuls, alors :

arg(zz ′)= arg(z)+arg(z ′).

Soient z et z ′ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :

arg ( z

z

)

= arg(z)−arg(z ′)

Partie B

On note A et B les points d’affixes respectives −i et 3i. On note f l’application qui, à tout point M du plan, d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = iz+3 z+ i

1. Étude de quelques cas particuliers.

a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB].

Placer ces points sur le dessin.

b. On note C le point d’affixe c =−2+ i. Démontrer que le point C′, image de C par f , appartient à l’axe des abscisses.

2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que

arg (

z ′ )

= (−−→ MA ,

−−→ MB

)

+ π

2 à 2π près.

3. Étude de deux ensembles de points.

a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′ soit un nombre complexe imaginaire pur.

b. Soit M d’affixe z un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point M ′ ?

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exer-

cice, l’espace est rapporté au repère orthonormal (

A ; −−→ AB ;

−−→ AD ;

−→ AE

)

.

On note I le point de coordonnées

(

1

3 ; 1 ; 1

)

.

1. Placer le point I sur la figure.

2. Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.

Baccalauréat S Baccalauréat S

3. On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC).

a. Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées :

i. Il existe un réel k tel que −−→ AR = k

−−→ AC .

ii. −→ IR ·

−−→ AC = 0.

b. Calculer les coordonnées du point R,

c. En déduire que la distance IR s’exprime par IR = p 11

3 .

4. Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées (3 ; −3 ; 2) est normal au plan

(ACI).

En déduire une équation cartésienne du plan (ACI).

5. Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est 5

p 22

.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Étant donné un entier naturel n > 2, on se propose d’étudier l’existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x2+ y2+ z2 ≡ 2n −1 modulo 2n .

Partie A : Étude de deux cas particuliers

1. Dans cette question on suppose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.

2. Dans cette question, on suppose n = 3. a. Soit m un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous

donnant le reste r de la division euclidienne dem par 8 et le reste R de la division euclidienne dem2 par 8.

r 0 1 2 3 4 5 6 7 R

b. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que

x2+ y2+ z2 ≡ 7 modulo 8 ?

Partie B Étude du cas général où n> 3

Supposons qu’il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x2+ y2+ z2 ≡ 2n −1 modulo 2n .

1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.

2. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q , y = 2r, z = 2s+1 où q, r, s sont des entiers naturels. a. Montrer que x2+ y2+ z2 ≡ 1 modulo 4. b. En déduire une contradiction.

3. On suppose que x, y, z sont impairs.

a. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k2+k est divisible par 2. b. En déduire que x2+ y2+ z2 ≡ 3 modulo 8. c. Conclure.

Asie 18 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8. Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements :

• Gn : « Pierre gagne la n-ième partie ». • Pn : « Pierre perd la n-ième partie ».

On pose : pn = p(Gn ) et qn = p(Pn).

1. Recherche d’une relation de récurrence.

a. Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles pG1 (G2) et pP1 (G2).

b. Justifier l’égalité pn +qn = 1. c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 0,5pn +0,2.

2. Étude de la suite (

pn )

.

On pose, pour tout entier naturel n non nul, vn = pn − 2

5 .

a. Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n.

b. En déduire l’expression de pn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (

pn )

quand n tend vers +∞.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

Partie A

On considère l’équation différentielle

(E) : y ′+ y = e−x .

1. Démontrer que la fonction u définie sur l’ensemble R des nombres réels par u(x)= xe−x est une solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E0) : y ′+ y = 0. 3. Démontrer qu’une fonction v , définie et dérivable sur R, est solution de (E) si

et seulement si v u est solution de (E0). 4. En déduire toutes les solutions de (E).

5. Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

Partie B

k étant un nombre réel donné, on note fk la fonction définie sur l’ensemble R par :

fk (x)= (x+k)e−x .

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Déterminer les limites de fk en −∞ et +∞. 2. Calculer f k (x) pour tout réel x.

3. En déduire le tableau de variations de fk .

Asie 19 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

Partie C

1. On considère la suite d’intégrales (In ) définie par I0 = ∫0

−2 e−x dx et pour tout

entier naturel n> 1 par : In = ∫0

−2 xne−x dx.

a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I0.

b. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité :

In+1 = (−2)n+1e2+ (n+1)In .

c. En déduire les valeurs exactes des intégrales I1 et I2.

2. Le graphique ci-dessous représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’une fonction fk définie à la partie B.

a. À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déter- miner la valeur du nombre réel k correspondant. b. SoitS l’aire de la partie hachu- rée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I1 et I0 et en dé- duire sa valeur exacte.

1

2

3

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4 O x

y

Asie 20 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

ANNEXE

Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

D

A B

C

H

E F

G

Asie 21 juin 2006

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2006\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

Partie A. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants : i. Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :

{

|z| = r arg z = θ à 2π près ⇐⇒

{

z = r (cosθ+ isinθ) r > 0

ii. Pour tous nombres réels a et b : {

cos(a+b) = cosa cosb− sina sinb sin(a+b) = sina cosb+ sinb cosa

Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :

|z1z2| = |z1| |z2| et arg(z1z2)= arg (

z1)+arg(z2 )

à 2π près

Partie B.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une dé- monstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la dé- monstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstra- tion ne rapporte pas de point. On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et |z| dé- signe le module de z.

1. Si z =− 1

2 + 1

2 i, alors z4 est un nombre réel.

2. Si z+ z = 0, alors z = 0.

3. Si z+ 1

z = 0, alors z = i ou z =−i.

4. Si |z| = 1 et si |z+ z ′| = 1, alors z ′ = 0.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée. Pour k ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note pi la probabilité d’obtenir le nombre k sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

1. Sachant que p4 = 0,4 démontrer que p1 = 0,1, p2 = 0,2 et p3 = 0,3. 2. On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux

indépendants.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?

Baccalauréat S Baccalauréat S

3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépen- dants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.

a. Pour 16 i 6 10, exprimer en fonction de i la probabilité de l’évènement

(X = i ). b. Calculer l’espérance mathématique de X . Interpréter le résultat obtenu.

c. Calculer la probabilité de l’évènement (X > 1). On donnera une valeur arrondie aumillième.

4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux.

On noteUn la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au n- ième lancer.

a. Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu’elle est convergente.

b. Calculer Sn = n

i=1 Ui puis étudier la convergence de la suite (Sn).

c. Déterminer le plus petit entier n tel que Sn > 0,999.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier 4n−1, lorsque n est un entier naturel. On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors ap−1−1≡ 0 mod p ».

Partie A. Quelques exemples

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.

2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428−1 est divisible par 29. 3. Pour 1 6 n 6 4 , déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire

que, pour tout entier k, le nombre 44k −1 est divisible par 17. 4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4n −1 est-il divisible par 5 ? 5. À l’aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de

428−1.

Partie B.Divisibilité par un nombre premier

Soit p un nombre premier différent de 2.

1. Démontrer qu’il existe un entier n> 1 tel que 4n ≡ 1 mod p. 2. Soit n > 1 un entier naturel tel que 4n ≡ 1 mod p. On note b le plus petit

entier strictement positif tel que 4b ≡ 1 mod p et r le reste de la division euclidienne de n par b.

a. Démontrer que 4r ≡ 1 mod p. En déduire que r = 0. b. Prouver L’équivalence : 4n −1 est divisible par p si et seulement si n est

multiple de b.

c. En déduire que b divise p−1.

EXERCICE 3 6 points Commun à tous les candidats

On désigne par f la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par

Centres étrangers 23 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

f (x)= 1

1+e−x .

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

,

(unité graphique : 5 cm).

Partie A. Étude de la fonction f

1. Vérifier que pour tout nombre réel x : f (x)= ex

1+ex .

Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞. Interpréter graphiquement les résul- tats obtenus.

Calculer f ′(x) pour tout nombre réel x. En déduire les variations de f sur R.

Dresser le tableau des variations de f .

Tracer la courbe C et ses asymptotes éventuelles dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Partie B. Quelques propriétés graphiques

1. On considère les points M et M ′ de la courbe C d’abscisses respectives x et −x. Déterminer les coordonnées dumilieu A du segment [MM ′]. Que repré- sente le point A pour la courbe C ?

2. Soit n un entier naturel. On désigne par Dn le domaine du plan limité par la droite d’équation y = 1, la courbe C et les droites d’équations x = 0 et x =n, An désigne l’aire du domaine Dn exprimée en unité d’aire. a. Calculer An .

b. Étudier la limite éventuelle de An , lorsque n tend vers +∞.

Partie C. Calcul d’un volume.

Soit λ un réel positif, On note V (λ) l’intégrale ∫0

λ π[ f (x)]2 dx.

On admet que V (λ) est une mesure. exprimée en unité de volume, du volume en- gendré par la rotation autour de l’axe des abscisses, de la portion de la courbe C obtenue pour −λ6 x 6 0.

1. Déterminer les nombres réels a et b tels que :

pour tout nombre réel x : e2x

(ex +1)2 =

aex

ex +1 +

bex

(ex +1)2

2. Exprimer V (λ) en fonction de λ.

3. Déterminer la limite de V (λ) lorsque λ tend vers +∞.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

ABCDEFGH est le cube d’arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée

et rendue avec la copie. L’espace est rapporté au repère orthonormal (

A ; −−→ AB ;

−−→ AD ,

−→ AE

)

Partie A.Un triangle et son centre de gravité.

1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.

a. Calculer les coordonnées de I.

Centres étrangers 24 juin 2006

Baccalauréat S Baccalauréat S

b. Démontrer que −→ AI =

1

3

−−→ AG . Que peut-on en déduire pour les points A, I,

G ?

3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).

Partie B.Une droite particulière

Pour tout nombre réel k, on définit deux points Mk et Nk , ainsi qu’un plan Pk de la façon suivante :

Mk est le point de la droite (AG) tel que −−−→ AMk = k

−−→ AG ;

• Pk est le plan passant par Mk et parallèle au plan (BDE) ; • Nk est le point d’intersection du plan Pk et de la droite (BC).

1. Identifier P 1 3 , M 1

3 et N 1

3 en utilisant des points déjà définis. Calculer la dis-

tance M 1 3 N 1

3 .

2. Calcul des coordonnées de Nk .

a. Calculer les coordonnées deMk dans le repère (

A ; −−→ AB ;

−−→ AD ,

−→ AE

)

.

b. Déterminer une équation du plan Pk dans ce repère.

c. En déduire que le point Nk a pour coordonnées (1 ; 3k−1 ; 0). 3. Pour quelles valeurs de k la droite (MkNk ) est-elle orthogonale à la fois aux

droites (AG) et (BC) ?

4. Pour quelles valeurs de k la distance MkNk est-elle minimale ?

5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan P 1 2 .

Tracer la droite (

M 1 2 N 1

2

)

sur la même figure.

Centres étrangers 25 juin 2006

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