Corrigé – exercices - calcul avancé 6, Exercices de Calculs avancés
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Corrigé – exercices - calcul avancé 6, Exercices de Calculs avancés

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Corrigé – exercices sur les calcul avancé 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les éléments caractéristiques de la similitude, la représentation graphique d’une fonction f.
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[ Baccalauréat S Antilles-Guyane \ septembre 2011

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x lnx−1.

Partie A : Étude d’une fonction

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. b. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. Soit f ′ la fonctiondérivée de la fonction f . Calculer f ′(x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[.

3. Montrer que l’équation f (x)= 0 admet une unique solution dans ]0 ; +∞[. On note α cette solution. Déterminer un encadrement de α à la précision 10−2.

4. Déterminer le signe de f (x) lorsque x appartient à ]0 ; +∞[.

5. Montrer que lnα= 1

α .

Partie B : Calcul d’une intégrale

On donne en annexe la courbe C , représentation graphique de la fonction f dans un re- père orthonormé. On considère l’intégrale suivante :

I = ∫4

α

f (x)dx.

1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale

J = ∫4

α

x lnx dx.

3. Montrer l’égalité : I = α 2

4 + α

2 +16ln2−8.

En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A(−1 ; 2 ; 1) , B(1 ; −6 ; −1) et C (2 ; 2 ; 2).

1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b. Montrer que le vecteur −→ n

1 1

−3

 est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soit P le plan d’équation : xy + z−4= 0.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Montrer que les plans (ABC) et P sont sécants.

b. Soit D la droite intersection des plans P et (ABC). Déterminer une représenta- tion paramétrique de la droiteD.

3. On considère la sphère S de centre Ω(3 ; 1 ; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1). On admet que la droite D a pour représentation paramétrique :

x = 1+ t y = −3+2t z = t ,

t ∈R.

a. Montrer que le point I appartient à la droiteD.

b. Montrer que le point I appartient à la sphère S.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que la droiteD coupe la sphère S en un deuxième point.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On considère l’ensemble P des points M(x ; y ; z) de l’espace tels que :

z = x2+ y2.

Les trois questions sont indépendantes.

1. a. Montrer que l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation z = 5 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

b. Déterminer la nature de l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation y = 1.

2. On considère la sphère S de centre O et de rayon p 6.

a. Donner une équation de la sphère S.

b. Montrer que l’intersection de la sphère S et de l’ensemble P est un cercle.

3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’ensemble P , dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation −3x+2y = 1 et vérifiant z6 25. a. Donner un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E) : −3x+2y = 1. b. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équa-

tion (E). Déterminer les points de l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant :

−3x+2y = 1 et z6 25.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 4 cm.

Partie A :

On note P le point d’affixe p = − 1

2 + i

p 3

2 , Q le point d’affixe q = −

1

2 − i

p 3

2 , et K le point

d’affixe −1.

Antilles-Guyane 2 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O et de rayon 1.

b. Faire une figure et construire les points P et Q.

2. a. Déterminer l’ensemble D des pointsM d’affixe z tels que |z| = |z+1|. Représen- ter cet ensemble sur la figure.

b. Montrer que P et Q sont les points d’intersection de l’ensemble D et du cercle Γ.

Partie B :

On considère trois nombres complexes non nuls a, b et c. On note A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c.

On suppose que l’origine O du repère (

O, −→ u ,

−→ v )

est à la fois le centre de gravité et le centre

du cercle circonscrit du triangle ABC.

1. a. Montrer que |a| = |b| = |c|. En déduire que ∣

b

a

= ∣

c

a

∣= 1.

b. Montrer que a+b+c = 0.

c. Montrer que

b

a

= ∣

b

a +1

= 1.

d. En utilisant la partie A, en déduire que b

a = p ou

b

a = q .

2. Dans cette question, on admet que b

a = p et

c

a = q .

a. Montrer que q−1 p−1

= ei π

3 .

b. Montrer que q−1 p−1

= ca ba

.

c. Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

Un site internet propose des jeux en ligne. Partie A :

Pour un premier jeu : • si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est

égale à 2

5 .

• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4

5 .

Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gn l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note pn la probabilité de l’évènement Gn . L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

Gnpn

Gn+1. . .

Gn+1. . .

Gn1−pn

Gn+1. . .

Gn+1. . .

Antilles-Guyane 3 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn+1 = 1

5 pn +

1

5 .

3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose un = pn − 1

4 .

a. Montrer que (un )n∈N est une suite géométrique de raison 1

5 et de premier terme

u1 à préciser.

b. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn = 3

4 × (

1

5

)n−1 + 1

4 .

c. Déterminer la limite de pn .

Partie B :

Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes.

La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1

4 .

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.

1. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.

b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2 près.

c. Déterminer l’espérance de X.

2. Le joueur doit payer 30 ( pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rap- porte 8(.

a. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.

b. Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40( ? Le résultat sera arrondi à 10−5 près.

Antilles-Guyane 4 septembre 2011

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE

Commun à tous les candidats

À rendre avec la copie

Exercice 1

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2 x

y

O

C

Antilles-Guyane 5 septembre 2011

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