Corrigé – exercices - calcul avancé 9, Exercices de Calculs avancés
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Corrigé – exercices - calcul avancé 9, Exercices de Calculs avancés

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Corrigé – exercices sur les calcul avancé 9 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le barycentre du système de points pondérés, l'équation cartésienne du plan.
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[ Baccalauréat S 2011\

L’intégrale demars à novembre 2011

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Nouvelle-Calédoniemars 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pondichéry 13 avril 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Amérique du Nord 27 mai 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Liban 30 mai 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Polynésie 10 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Antilles-Guyane 18 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Asie 21 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Centres étrangers 14 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

La Réunion 22 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Métropole 23 juin 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Antilles-Guyane septembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Métropole 16 septembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Polynésie septembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Nouvelle-Calédonie novembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Amérique du Sud 16 novembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

2

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie\ mars 2011

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A : Restitution organisée de connaissances

On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y ′ = ay a ∈R sont les fonctions g définies sur R par g (x)=K eax K ∈R.

Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y ′ = ay +b a ∈R∗ et b ∈R.

1. Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)=− b

a est une solution de

(E).

2. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l’équivalence sui- vante : f est solution de (E) ⇐⇒ f u est solution de l’équation différentielle y ′ = ay .

3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).

Partie B

Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v(t) sa vitesse à l’instant t , où t est exprimé en secondes et v(t) en mètres par seconde. On suppose deplus que la fonction v ainsi définie est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[. Unmodèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l’équation différentielle :

10v ′(t)+ v(t)= 30.

Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s’élance, sa vitesse initiale est nulle, c’est- à-dire que v(0)= 0.

1. Démontrer que v(t)= 30 ( 1−e−

t 10

) .

2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0 ; +∞[. b. Déterminer la limite de la fonction v en +∞.

3. On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v ′(t) est inférieure à 0,1 m.s−2. Déterminer, à la se- conde près, la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.

4. La distance d parcourue par ce cycliste entre les instants t1, et t2 est donnée

par d = ∫t2 t1

v(t)dt .

Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières se- condes.

EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats

Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté.

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.

Un concurrent tire au hasard un jeton : — s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, — s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, — s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, — s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de

transport parmi les trois précédents. On observe que lorsqu’un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choi- sit le vélo dans 70% des cas, il choisit le roller dans 20% des cas et il décide de faire le parcours à pied dans 10% des cas.

1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.

Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.

2. Calculer la probabilité qu’un concurrent effectue le trajet à vélo.

3. Sachant qu’un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu’il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ?

4. On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.

L’expérience des années précédentes permet de considérer que la probabi-

lité, pour le vainqueur, d’avoir effectué le trajet à vélo est 2

3 .

Calculer la probabilité qu’au cours des six prochaines années l’épreuve soit remportée aumoins une fois par un concurrent « non cycliste ».

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Soit (un) la suite définie par

{ u0 = 1 un+1 = un − ln

( u2n +1

) pour tout entier naturel n.

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= x− ln ( x2+1

) .

1. Résoudre dans R l’équation f (x)= x. 2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

En déduire que si x ∈ [0 ; 1] alors f (x) ∈ [0 ; 1].

Partie B

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n> 0, un ∈ [0 ; 1]. 2. Étudier le sens de variation de la suite (un ).

3. Démontrer que la suite (un ) est convergente. Déterminer sa limite.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A(−2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) et C(−2 ; 2 ; 2).

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. a. Calculer le produit scalaire −−→ AB ·

−−→ AC puis les longueurs AB et AC.

b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle BAC. c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2xy +2z+2 = 0. 3. Soient P1, et P2 les plans d’équations respectives x+ y −3z+3= 0 et

x−2y +6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont un sys-

tème d’équations paramétriques est

  

x = −2 y = −1+3t z = t

, t ∈R.

4. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

5. Soit S la sphère de centreΩ(1 ; −3 ; 1) et de rayon r = 3. a. Donner une équation cartésienne de la sphère S .

Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incom-

plète, ou d’initiativemêmenon fructueuse, seraprise en compte dans l’éva-

luation.

b. Étudier l’intersection de la sphère S et de la droite D.

c. Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S .

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2011

[ Baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011\

Le sujet est composé de 3 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

EXERCICE 1 10 points Commun à tous les candidats

Partie I Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dansun repère orthonormal, les courbes C1 et C2 représentatives de deux fonctions f1 et f2 définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

1

2

3

−1

1 2 3 4

C1

C2

O

On sait que : — l’axe des ordonnées est asymptote aux courbes C1 et C2 — l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C2 — la fonction f2 est continue et strictement décroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[ — la fonction f1 est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[ — la limite quand x tend vers +∞ de f1(x) est +∞.

Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est

exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justificationn’est

demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l’absence

de réponse n’est pas sanctionnée.

1. La limite quand x tend vers 0 de f2(x) est :

• 0 • +∞ •On ne peut pas conclure

2. La limite quand x tend vers +∞ de f2(x) est :

• 0 • 0,2 •On ne peut pas conclure

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

3. En +∞, C1 admet une asymptote oblique :

• Oui •Non •On ne peut pas conclure

4. Le tableau de signes de f2(x)− f1(x) est :

x 0 +∞ f2(x)− f1(x) + •

x 0 +∞ f2(x)− f1(x) − •

x 0 +∞ f2(x)− f1(x) +0 −

Partie II

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= ln(x)+1− 1

x .

1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de défi- nition.

2. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. 3. En déduire le signe de f (x) lorsque x décrit l’intervalle ]0 ; +∞[. 4. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

F (x)= x lnx− lnx est une primitive de la fonction f sur cet intervalle. 5. Démontrer que la fonctionF est strictement croissante sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

6. Montrer que l’équation F (x)= 1− 1

e admet une unique solution dans l’inter-

valle ]1 ; +∞[ qu’on note α. 7. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−1.

Partie III

Soit g et h les fonctions définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

g (x)= 1

x et h(x)= ln(x)+1.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dansun repère orthonormal, les courbes Cg et Ch représentatives des fonctions g et h.

Pondichéry 7 13 avril 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1

2

3

−1

1 2 3 4O

A

P

t

Ch

Cg

1. A est le point d’intersection de la courbe Ch et de l’axe des abscisses. Déter- miner les coordonnées du point A.

2. P est le point d’intersection des courbes Cg et Ch . Justifier que les coordon- nées du point P sont (1 ; 1).

3. On note A l’aire du domaine délimité par les courbes Cg , Ch et les droites

d’équations respectives x = 1

e et x = 1 (domaine grisé sur le graphique).

a. Exprimer l’aire A à l’aide de la fonction f définie dans la partie II.

b. Montrer que A = 1− 1

e .

4. Soit t un nombre réel de l’intervalle ]1 ; +∞[. On note Bt l’aire du domaine délimité par les droites d’équations respectives x = 1, x = t et les courbes Cg et Ch (domaine hachuré sur le graphique).

On souhaite déterminer une valeur de t telle que A =Bt . a. Montrer que Bt = t ln(t)− ln(t). b. Conclure.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie 1

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

Pondichéry 8 13 avril 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

A

B

C

D

A′

A′ est le centre de gravité du triangle BCD. Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA′] est une médiane du tétraèdre ABCD.

1. On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P1) : Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.

a. Montrer que −−→ AA′ ·−−→BD = 0 et que

−−→ AA′ ·−−→BC = 0. (On pourra utiliser le milieu

I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]).

b. En déduire que la médiane (AA′) est orthogonale à la face BCD.

Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.

2. G est l’isobarycentre des points A, B, C et D.

On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P2) : Les médianes d’un tétraèdre régulier sont concourantes enG.

Enutilisant l’associativité du barycentre,montrer queGappartient à la droite (AA′), puis conclure.

Partie II

Onmunit l’espace d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q(4 ; 2 ; −1) et R(−2 ; 3 ; 0).

1. Montrer que le tétraèdre OPQR n’est pas régulier.

2. Calculer les coordonnées de P′, centre de gravité du triangle OQR.

3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (OQR) est : 3x+2y +16z = 0. 4. La propriété (P1) de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère, dans un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, la surface S d’équation :

z = (xy)2.

Pondichéry 9 13 avril 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. On note E1 l’intersection de S avec le plan P1 d’équation z = 0. Déterminer la nature de E1. On note E2 l’intersection de S avec le plan P2 d’équation x = 1. Déterminer la nature de E2.

Partie B

On considère, dans un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, la surface S ′ d’équation :

z = xy.

1. On note E3 l’intersection de S ′ avec le plan P1 d’équation z = 0. Déterminer la nature de E3

2. On note E4 l’intersection de S ′ avec le plan P3 d’équation z = 1. Déterminer la nature de E4.

Partie C

On note E5 l’intersection de S et de S ′. Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à E5 dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0). On suppose qu’il existe un point M appartenant à E5 et dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.

1. Montrer que si x = 0, alors le point M est le point O. 2. On suppose dorénavant que l’entier x n’est pas nul.

a. Montrer que les entiers x, y et z vérifient x2−3xy + y2 = 0. En déduire qu’il existe alors des entiers naturels x′ et y ′ premiers entre eux tels que x′2−3xy ′+ y ′2 = 0.

b. Montrer que x′ divise y ′2, puis que x′ divise y ′.

c. Établir que y ′ vérifie la relation 1−3y ′+ y ′2 = 0. d. Conclure.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

0 point

5 points

0 point

3 points

Pondichéry 10 13 avril 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.

On note p0 la probabilité d’obtenir 0 point.

On note p3 la probabilité d’obtenir 3 points.

On note p5 la probabilité d’obtenir 5 points.

On a donc p0+p3+p5 = 1. Sachant que p5 = 1

2 p3 et que p5 =

1

3 p0 déterminer

les valeurs de p0, p3 et p

2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes aumaximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On noteG2 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».

On noteG3 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».

On note P l’évènement : « le joueur perd la partie ».

On note p(A) la probabilité d’un évènement A.

a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p (G2)= 5

36 .

On admettra dans la suite que p (G3)= 7

36 b. En déduire p(P ).

3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.

Quelle est la probabilité qu’il gagne aumoins une partie ?

4. Pour une partie, la mise est fixée à 2(.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 (. S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3(. S’il perd, il ne reçoit rien.

On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : −2, 1 et 3. a. Donner la loi de probabilité de X .

b. Déterminer l’espérance mathématique de X . Le jeu est-il favorable au joueur ?

Pondichéry 11 13 avril 2011

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 27mai 2011\

EXERCICE 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1+ i. On note : rA la rotation de centre A, d’angle

π

2 , rB la rotation de centre B, d’angle

π

2 et rO la rotation de centre O, d’angle −

π

2 .

Partie A

On considère le point C d’affixe c = 3i. On appelle D l’image de C par rA, G l’image de D par rB et H l’image de C par rO. On note d ,g et h les affixes respectives des points D, G et H.

1. Démontrer que d =−2+ i. 2. Déterminer g et h.

3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.

Partie B

On considère un point M , distinct de O et de A, d’affixem. On appelle N l’image de M par rA, P l’image de N par rB etQ l’image deM par rO. On note n,p et q les affixes respectives des points N , P etQ .

1. Montrer que n = im+1+ i. On admettra que p =−m+1+ i et q =−im. 2. Montrer que le quadrilatèreMNPQ est un parallélogramme.

3. a. Montrer l’égalité : mn pn

= i+ 1

m .

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer l’ensemble (Γ) des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle.

EXERCICE 2 4 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une salle informatique d’un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d’être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

Partie B

La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de para- mètre λ avec λ> 0. Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie

inférieure à t années, notée p(X 6 t), est donnée par : p(X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Déterminer λ sachant que p(X > 5)= 0,4.

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

2. Dans cette question, on prendra λ= 0,18. Sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de panne au cours des 3 premières an- nées, quelle est, à 10−3 près, la probabilité qu’il ait une durée de vie supé- rieure à 5 ans ?

3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d’un ordinateur est indé- pendante de celle des autres et que p(X > 5)= 0,4. a. On considère un lot de 10 ordinateurs.

Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie aumillième de cette probabilité.

b. Quel nombreminimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la probabi- lité de l’évènement « l’un au moins d’entre eux a une durée de vie supé- rieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ?

EXERCICE 3 5 points

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On considère trois points A, B et C de l’espace et trois réels a,b et c de somme non nulle. Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l’ensemble des points M de

l’espace tels que ∥∥∥a−−→MA +b−−→MB +c−−→MC

∥∥∥= k est une sphère dont le centre est le ba- rycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs a, b et c.

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n’est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

1. Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées (1 ; 0 ; 1) est un vecteur normal

au plan (BCE).

2. Déterminer une équation du plan (BCE).

3. On note (∆) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆).

4. Démontrer que la droite (∆) est sécante au plan (ABC) en un point R, symé- trique de B par rapport à A.

5. a. Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs 1, −1 et 2.

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (S)

des points M de l’espace tels que ‖−−→MR −−−→MB +2−−→MC ‖= 2 p 2.

c. Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l’ensemble (S).

d. Démontrer que l’intersection du plan (BCE) et de l’ensemble (S) est un cercle dont on précisera le rayon.

Amérique du Nord 13 27 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

E

A

B

C

G

F

H

D

EXERCICE 3 5 points Enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p, alors qp−1 ≡ 1 (modulop) ». On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = 2n +3n +6n −1.

1. Calculer les six premiers termes de la suite.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair.

3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.

Onnote (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent aumoins un terme de la suite (un ).

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ?

5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

a. Montrer que : 6×2p−2 ≡ 3 (modulop) et 6×3p−2 ≡ 2 (modulop). b. En déduire que 6up−2 ≡ 0 (modulop). c. Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ?

EXERCICE 4 6 points

Partie A

On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)= ex x−1.

1. Étudier les variations de la fonction g .

2. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

Amérique du Nord 14 27 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

3. En déduire que pour tout x de [0 ; +∞[, ex x > 0.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par

f (x)= ex −1 ex x

.

La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère ortho- normal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. On admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1].

1. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x) ∈ [0 ; 1]. 2. Soit (D) la droite d’équation y = x.

a. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x)− x = (1− x)g (x)

ex x .

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C ) sur [0 ; 1].

3. a. Déterminer une primitive de f sur [0 ; 1].

b. Calculer l’aire, enunités d’aire, dudomaineduplandélimité par la courbe (C ), la droite (D) et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Partie C

On considère la suite (un ) définie par :

{ u0 =

1

2 un+1 = f (un ) , pour tout entier natureln.

1. Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, 1

2 6 un 6 un+1 6 1.

3. En déduire que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite.

Amérique du Nord 15 27 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

ANNEXE

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve

EXERCICE 4

O x

y

1

1

Amérique du Nord 16 27 mai 2011

[ Baccalauréat S Liban 31mai 2011\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dans l’espacemuni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , ondonne les trois points :

A(1 ; 2 ; −1),B(−3 ; −2 ; 3)et C(0 ; −2 ; −3)

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur −→ n (2 ; −1 ; 1) est un vecteur normal au plan

(ABC).

2. Soit (P ) le plan dont une équation cartésienne est x+ y z+2= 0. Démontrer que les plans (ABC) et (P ) sont perpendiculaires.

3. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, −1) et (C, 2). a. Démontrer que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; −5). b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P ).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).

d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P ) avec la droite (CG).

4. Démontrer que l’ensemble (S) des points M de l’espace tels que∥∥∥−−→MA −−−→MB +2−−→MC ∥∥∥ = 12 est une sphère dont on déterminera les éléments

caractéristiques.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’intersection duplan (P ) et de la sphère (S).

EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.

Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre

correspondant à la réponse choisie.

Il sera attribué 0,5 point si la réponse est exacte, 0 sinon.

1. Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d’ordinateur au même prix et de marques M1 et M2. Les deux ordinateurs ont les mêmes ca- ractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc.

D’après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70% des acheteurs ont choisi l’ordinateur M1 et, parmi eux, 60% ont préféré la couleur noire. Par ailleurs, 20% des clients ayant acheté un ordinateur M2 l’ont choisi de couleur blanche.

On utilise la liste des clients ayant acheté l’un ou l’autre des ordinateurs pré- cédemment cités et on choisit un client au hasard.

a. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M2 de couleur noire est :

Réponse A : 3

5 Réponse B :

4

5 Réponse C :

3

50 Réponse D :

6

25

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

b. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est :

Réponse A : 21

50 Réponse B :

33

50 Réponse C :

3

5 Réponse D :

12

25

c. Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu’il soit de marque M2 est :

Réponse A : 4

11 Réponse B :

6

25 Réponse C :

7

11 Réponse D :

33

50

2. Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues.

Les boules sont indiscernables au toucher.

L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne.

a. La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est :

Réponse A : 11

81 Réponse B :

2

7 Réponse C :

5

84 Réponse D :

4

63

b. La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :

Réponse A : 2

7 Réponse B :

1

7 Réponse C :

1

21 Réponse D :

79

84

c. On répète plusieurs fois l’expérience, de manière indépendante, en re- mettant à chaque fois les trois boules dans l’urne.

Le nombre minimal d’expériences à réaliser pour que la probabilité de l’évènement « obtenir au moins une fois trois boules jaunes » soit supé- rieure ou égale à 0,99 est :

Réponse A : 76 Réponse B : 71 Réponse C : 95 Réponse D : 94

EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On suppose connu le résultat suivant :

Quels que soient les nombres complexes nonnuls z et z ′,arg ( z× z

) = arg(z)+arg

( z ′ )

à 2π près. Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z ′, on a :

arg ( z z

) = arg(z)−arg

( z ′ ) à 2π près.

Partie B

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on consi-

dère les points A et B d’affixes respectives :

zA = 1− i et zB = 2+ p 3+ i.

1. Déterminer le module et un argument de zA.

2. a. Écrire zB

zA sous forme algébrique.

Liban 18 31 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

b. Montrer que zB

zA = ( 1+

p 3 ) ei

π 3 .

c. En déduire la forme exponentielle de zB.

3. On note B1 l’image du point B par la rotation r de centre O et d’angle − π

6 .

a. Déterminer l’affixe du point B1.

b. En déduire que le point B1 est le symétrique du point B par rapport à l’axe( O ;

−→ u ) .

Soit M un point du plan. On note M1 l’image du point M par la rotation r et

M ′ le symétrique du point M1 par rapport à l’axe ( O ;

−→ u ) .

On désigne par (E) l’ensemble des points M du plan tels que M ′ =M . a. Montrer que les points O et B appartiennent à l’ensemble (E).

b. Soit M un point distinct du point O.

Son affixe z est égale à ρeiθ ρ est un réel strictement positif et θ un nombre réel.

Montrer que l’affixe z ′ du point M ′ est égale à ρei ( π 6 −θ

) puis déterminer

l’ensemble des valeurs du réel θ telles que M appartienne à l’ensemble (E).

c. Déterminer l’ensemble (E).

EXERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct. Prérequis : L’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z ′ = az+b a et b sont deux nombres complexes tels que a 6= 0.

Démontrer que si A, B, A′ et B′ sont quatre points du plan tels que A 6= B et A′ 6= B′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′.

Partie B

On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

2 modulo2π.

On note D le symétrique de A par rapport au point C. On désigne par s la similitude directe transformant D en C et C en B.

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.

2. On appelle Ω le centre de la similitude s.

a. En utilisant la relation −−→ DC =−−→ΩC −−−→ΩD , démontrer que DC2 =ΩD2.

b. En déduire la nature du triangleΩDC.

3. On pose σ= s s. a. Quelle est la nature de la transformation σ ? Préciser ses éléments carac-

téristiques.

b. Déterminer l’image du point D par la transformation σ.

4. Démontrer que le quadrilatère ADΩB est un rectangle.

5. Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal

direct ( A ;

−→ u ,

−→ v ) , choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient

comme affixes respectives 0, 1, i et 2i.

Liban 19 31 mai 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

a. Démontrer que l’écriture complexe de la similitude s est :

z ′ = (1+i)z+2−i où z et z ′ désignent respectivement les affixes d’un point M et de son imageM ′ par s.

b. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ′.

Démontrer que

{ x′ = xy +2 y ′ = x+ y −1

c. Soit J le point d’affixe 1+3i. Existe-t-il des points M du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que −−−→ AM ′ ·−→AJ = 0, M ′ désignant l’image du point M par s ?

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= x+e−x .

On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Partie A

1. Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[. 2. Déterminer la limite de f en +∞. 3. Montrer que (C ) admet une asymptote oblique dont on précisera une équa-

tion.

Partie B

On considère la suite (un )n>1 à termes positifs définie par :

u1 = 0et, pour tout entier naturelnnon nul,un+1 = f (un )=un +e−un .

1. Démontrer que, pour tout réel x positif, ln(1+ x)6 x. On pourra étudier la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= x− ln(1+ x).

2. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ln(n+1)6 ln(n)+ 1

n .

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, f [ln(n)]= ln(n)+ 1

n .

4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, ln(n)6 un .

5. En déduire la limite de la suite (un )n>1·

Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n supérieur ou égal

à 2, un 6 1+ 1

2 +·· ·+

1

n−1 .

6. a. Démontrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on a : 1

k 6

k

k−1

1

x dx.

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :

un 6 1+ ln(n−1). 7. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a montré que

ln(n)6 un 6 1+ ln(n−1).

Démontrer que la suite

( un

ln(n)

)

n>2 converge vers 1.

Liban 20 31 mai 2011

[ Baccalauréat S Polynésie 10 juin 2011\

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte

aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative,

même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. Soient A le point d’affixe 2−5i et B le point d’affixe 7−3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.

2. Soit (∆) l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z− i| = |z+2i|. Proposition 2 : (∆) est une droite parallèle à l’axe des réels.

3. Soit z = 3+ i p 3.

Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur.

4. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 4 : Si π

2 est un argument de z alors |i+ z| = 1+|z|.

5. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z2+ 1

z2 est un nombre réel.

Exercice 2 5 points

Enseignement obligatoire

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :

• la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ; • s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; • s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.

On note, pour tout entier naturel n non nul : • Gn l’évènement « le joueur gagne la n-ième partie » ; • pn la probabilité de l’évènement Gn ·

On a donc p1 = 0,1.

1. Montrer que p2 = 0,62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la

première.

3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.

4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 1

5 pn +

3

5 .

5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

pn = 3

4 − 13

4

( 1

5

)n .

6. Déterminer la limite de la suite ( pn

) quand n tend vers +∞.

7. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 3

4 −pn < 10−7 ?

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

Exercice 2 5 points

Enseignement de spécialité

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si p est unnombrepremier et a est un entier naturel nondivisible par p, alors ap−1 ≡ 1 (modulop).

On considère la suite (un ) d’entiers naturels définie par :

u0 = 1et, pour tout entier natureln,un+1 = 10un +21.

1. Calculer u1, u2 et u3.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

3un = 10n+1−7. b. En déduire, pour tout entier naturel n, l’ écriture décimale de un ·

3. Montrer que u2 est un nombre premier.

On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (un ) par certains nombres premiers.

4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.

5. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un ≡ 4− (−1)n (modulo11). b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n’est pas divisible par 11.

6. a. Démontrer l’égalité : 1016 ≡ 1(modulo17). b. En déduire que, pour tout entier naturel k, u16k+8 est divisible par 17.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants : • Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].

Pour tous réels α et β, ∫b

a [αu(x)+βv(x)]dx =α

b

a u(x)dx+β

b

a v(x)dx.

• Si u désigne une fonction continue sur un intervalle [a ; b] etU une primitive de u sur [a ; b]

alors ∫b

a u(x)dx = [U (x)]ba =U (b)−U (a).

En utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b], démontrer la formule d’intégration par parties.

Partie B

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= x2 lnx.

La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) est donnée en annexe.

1. a. Déterminer la limite de f en +∞. b. Étudier les variations de f sur ]0 ; +∞[.

Polynésie 22 10 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

2. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer qu’il existe une tangente unique à la courbe (C ) passant par O. Préciser une équation de cette tangente.

3. On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe (Ox) de la région

plane délimitée par la courbe (C ), l’axe (Ox) et les droites d’équations x = 1

e et x = 1. On note V une mesure, exprimée en unités de volume, du volume de ce so- lide et on admet que :

V = ∫1

1 e

π[ f (x)]2 dx.

a. Montrer qu’une primitive de la fonction x 7−→ x4 lnx sur ]0 ; +∞[ est la

fonction x 7−→ x5

25 (5lnx−1).

b. En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, que : V = π

125

( 2−

37

e5

) .

Exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats.

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.

A B

CD

E F

GH

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal ( D ;

−−→ DA ,

−−→ DC ,

−−→ DH

) .

On note K le barycentre des points pondérés (D, 1) et (F, 2).

Partie A

1. Montrer que le point K a pour coordonnées

( 2

3 ; 2

3 ; 2

3

) .

2. Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales.

3. Calculer la distance EK.

Partie B

Soit M un point du segment [HG]. On notem = HM (m est donc un réel appartenant à [0 ; 1]).

Polynésie 23 10 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

1. Montrer que, pour tout réelm appartenant à l’intervalle [0 ; 1], le volume du

tétraèdre EMFD, en unités de volume, est égal à 1

6 .

2. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (MFD) est

(−1+m)x+ y mz = 0. 3. On note dm la distance du point E au plan (MFD).

a. Montrer que, pour tout réelm appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

dm = 1

p 2m2−2m+2

.

b. Déterminer la position deM sur le segment [HG] pour laquelle la distance dm est maximale.

c. En déduire que lorsque la distance dm est maximale, le point K est le pro- jeté orthogonal de E sur le plan (MFD).

Polynésie 24 10 juin 2011

Baccalauréat S : l’intégrale 2011 A. P. M. E. P.

ANNEXE

Exercice 3

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie

1

1 2−1 x

y

O

Polynésie 25 10 juin 2011

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