Corrigé – exercices de géométrie – 12, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Corrigé – exercices de géométrie – 12, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Corrigé des exercices de géométrie 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les probabilités de A et de B, Calculer la probabilité de l’évènement T, Représenter par un arbre pondéré les données de l’...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2006 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d’un pays. Elle touche 0,5% de ce cheptel (ou 5 pour mille).

1. On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu’il soit malade ?

2. a. On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la va- riable aléatoire égale au nombre d’animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique.

b. Ondésigne par A l’évènement « aucun animal n’est malade parmi les 10 ».

On désigne par B l’évènement « aumoins un animal est malade parmi les 10 ».

Calculer les probabilités de A et de B

3. On sait que la probabilité qu’un animal ait un test positif à cette maladie sa- chant qu’il est malade est 0,8. Lorsqu’un animal n’est pas malade, la proba- bilité d’avoir un test négatif est 0,9. On note T l’évènement « avoir un test positif à cette maladie » et M l’évènement « être atteint de cette maladie ».

a. Représenter par un arbre pondéré les données de l’énoncé.

b. Calculer la probabilité de l’évènement T.

c. Quelle est la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif ?

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

On considère l’équation (E)

z3− (4+ i)z2+ (7+ i)z−4= 0

z désigne un nombre complexe.

Partie A

1. a. Montrer que (E) admet une solution réelle, note z1.

b. Déterminer les deuxnombres complexes a etb tels que, pour tout nombre complexe z on ait :

z3− (4+ i)z2+ (7+ i)z−4= (zz1) (z−2−2i)(az+b)

2. Résoudre (E).

Partie B

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère les trois

points A, B et C d’affixes respectives 1, 2+2i et 1− i.

1. Représenter A, B et C.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Déterminer le module et un argument de 2+2i

1− i . En déduire la nature du tri-

angle OBC.

3. Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC? Justifier votre affirma- tion.

4. Soit D l’image de O par la rotation d’angle − π

2 et de centre C. Déterminer

l’affixe de D.

5. Quelle est la nature de OCDB?

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. (unité 1 cm).

On construira une figure que l’on complétera au fur et mesure.

1. Soit A le point d’affixe 3, et r la rotation de centre O et d’angle π

3 . On note B,

C, D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation r .

Montrer que B a pour affixe 3

2 + 3 p 3

2 i.

2. Associer à chacun des points C, D, E et F l’une des affixes de l’ensemble sui- vant

{

−3 ; − 3

2 + 3 p 3

2 i ;

3

2 − 3 p 3

2 i ; −

3

2 − 3 p 3

2 i

}

3. a. Déterminer r (F).

b. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?

4. Soit s la similitude directe de centre A, de rapport 1

2 et d’angle

π

3 . Soit s′ la

similitude directe de centre E transformant F en C.

a. Déterminer l’angle et le rapport de s′. En déduire l’angle et le rapport de s′ ◦ s.

b. Quelle est l’image du point D par s′ ◦ s ?

c. Déterminer l’écriture complexe de s′ ◦ s.

5. Soit A′ le symétrique de A par rapport à C.

a. Sans utiliser les nombres complexes, déterminer s(A′) puis l’image de A′

par s′ ◦ s.

b. Calculer l’affixe du point A′. Retrouver alors le résultat du a. en utilisant l’écriture complexe de s′ ◦ s.

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par :

u0 = 1

2 et un+1 =

1

2

(

un + 2

un

)

1. a. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1

2

(

x+ 2

x

)

Étudier le sens de variation de f , et tracer sa courbe représentative dans

le plan muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

. (On prendra comme

unité 2 cm).

Nouvelle-Calédonie 2 16 novembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0, A1, A2 et A3 de l’axe

(

O ; −→ ı )

d’abscisses respectives u0, u1, u2 et u3.

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul un > p 2.

b. Montrer que pour tout x > p 2, f (x)6 x.

c. En déduire que la suite (un ) est décroissante à partir du rang 1.

d. Prouver qu’elle converge.

3. Soit la limite de la suite (un ). Montrer que est solution de l’équation

x = 1

2

(

x+ 2

x

)

En déduire sa valeur.

EXERCICE 4 6 points

Commun tous les candidats

Première partie

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère :

— les points A(0 ; 0 ; 3), B(2 ; 0 ; 4), C(−1 ; 1 ; 2) et D(1 ; −4 ; 0) — les plans (P1) : 7x+4y −3z+9 = 0 et (P2) : x−2y = 0. — les droites (∆1) et (∆2) définies par leurs systèmes d’équations paramétriques

respectifs

x = −1+ t y = −8+2t z = −10+5t

t ∈R

x = 7+2t

y = 8+4t

z = 8− t t ′ ∈R

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat in-

diquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse

choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’ab- sence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

a. b. e. d. 1. Le plan (P1) est Le plan (ABC) Le plan (BCD) Le plan (ACD) Le plan (ABD) 2. La droite (∆1) contient

Le point A Le point B Le point C Le point D

3. Position relative de (P1) et de (∆2)

(∆1) est strictement

parallèle a (P1)

(∆1) est incluse dans (P1)

(∆1) coupe (P1) (∆1) est orthogonale à

(P1) 4. Position relative de (∆1) et de (∆2)

(∆1) est strictement

parallèle à (∆2)

(∆1) et (∆2) sont

confondues

(∆1) et (∆2) ) sont sécantes

(∆1) et (∆2) sont non

coplanaires.

5. L’intersection de (P1) et de (P2) est une droite dont une représentation para- métrique est

x = t

y = −2+ 1

2 t

z = 3t

x = 2t y = t z = 3+6t

x = 5t y = 1−2t z = t

x = −1+ t y = 2+ t z = −3t

Deuxième partie

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère la droite

(D) passant par A(0 ; 0 ; 3) et dont un vecteur directeur est −→ u (1 ; 0 ; −1) et la droite

(D′) passant par B(2 ; 0 ; 4) et dont un vecteur directeur est −→ v (0 : 1 ; 1).

L’objectif est de démontrer qu’il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D′), de la déterminer et de dégager une propriété de. cette droite.

Nouvelle-Calédonie 3 16 novembre 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. On considère un point M appartenant à (D) et un point M ′ appartenant à

(D′), définis par −−→ AM = a

−→ u et

−−−→ BM ′ = b

−→ v , où a et b sont de nombres réels.

Exprimer les coordonnées deM , deM ′ puis du vecteur −−−−→ MM ′ en fonction de

a et b.

2. Démontrer que la droite (MM ′) est perpendiculaire à (D) et à (D′) si et seule- ment si le couple (a ; b) est solution du système

{

2a+b = 1 a+2b = −1

3. Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques pointsM etM ′, que nous noterons ici H et H’, tels que la droite (HH′) soit bien perpen- diculaire commune à (D) et à (D′). Montrer queHH′ =

p 3 unités de longueur.

4. On considère un point M quelconque de la droite (D) et un point M ′ quel- conque de la droite (D′).

a. En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1, démontrer que

MM ′2 = (a+b)2+ (a−1)2+ (b+1)2+3.

b. En déduire que la distance MM ′ est minimale lorsque M est en H et M

est en H′.

Nouvelle-Calédonie 4 16 novembre 2006

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